Пермутоассоциэдр

В математике пермутоассоциэдр — это $n$ -мерный многогранник которого соответствуют скобкам перестановок , вершины $n+1$ термины и ребра которых соединяют две скобки, которые можно получить друг из друга либо перемещением пары скобок с помощью ассоциативности , либо транспонированием двух последовательных терминов, не разделенных скобкой.

Пермутоассоциэдр был впервые определен как комплекс CW Михаилом Капрановым Мак Лейна , который отметил, что эта структура неявно появляется в теореме когерентности для симметричных и сплетенных категорий , а также в Владимира Дринфельда работе над уравнениями Книжника – Замолодчикова . ^[1] Он был построен как выпуклый многогранник Виктором Райнером и Гюнтером М. Циглером . ^[2]

Примеры [ править ]

Когда $n=2$ вершины пермутоассоциэдра можно представить, заключив в скобки все перестановки трех членов $a$ , $b$ , и $c$ . Таких перестановок шесть. $abc$ , $acb$ , $bac$ , $bca$ , $cab$ , и $cba$ , и каждый из них допускает две скобки (полученные друг из друга ассоциативностью). Например, $abc$ можно взять в скобки как $(ab)c$ или как $a(bc)$ . Следовательно, $2$ -мерный пермутоассоциэдр – это додекагон с вершинами $a(bc)$ , $a(cb)$ , $(ac)b$ , $(ca)b$ , $c(ab)$ , $c(ba)$ , $(cb)a$ , $(bc)a$ , $b(ca)$ , $b(ac)$ , $(ba)c$ , и $(ab)c$ .

Когда $n=3$ , вершина $((ab)c)d$ смежна ровно с тремя другими вершинами пермутоассоциэдра: $(ab)(cd)$ , $(a(bc))d$ , и $((ba)c)d$ . Первые две вершины достигаются из $((ab)c)d$ через ассоциативность и третий через транспозицию. Вершина $(ab)(cd)$ смежна с четырьмя вершинами. Двое из них, $((ab)c)d$ и $a(b(cd))$ , достигаются посредством ассоциативности, а два других, $(ba)(cd)$ и $(ab)(dc)$ , посредством транспозиции. Это иллюстрирует, что в размерности $3$ и выше, пермутоассоциэдр не является простым многогранником . ^[3]

Свойства [ править ]

The $n$ -мерный пермутоассоциэдр имеет

n!{2n \choose n}

вершины. Это произведение количества перестановок $n+1$ членов и количество всех возможных заключений в скобки любой такой перестановки. Первое число равно факториалу $(n+1)!$ и чем позже $n$ каталонский номер .

Согласно своему описанию в терминах перестановок в квадратных скобках, 1-скелет пермутоассоциэдра представляет собой флип-граф с двумя различными видами флипов (ассоциативностью и транспозициями).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Капранов, Михаил М. (1993). «Пермутоассоциэдр, теорема когерентности Мак Лейна и асимптотические зоны для уравнения КЗ». Журнал чистой и прикладной алгебры . 85 (2): 119–142. дои : 10.1016/0022-4049(93)90049-Y .
^ Райнер, Виктор; Циглер, Гюнтер М. (1994). «Коксетер-ассоциэдры». Математика . 41 (2): 364–393. дои : 10.1112/S0025579300007452 .
^ Баралич, Джордже; Иванович, Елена; Петрич, Зоран (декабрь 2019 г.). «Простой пермутоассоциэдр». Дискретная математика . 342 (12): 111591. arXiv : 1708.02482 . дои : 10.1016/j.disc.2019.07.007 .

[1] Капранов, Михаил М. (1993). «Пермутоассоциэдр, теорема когерентности Мак Лейна и асимптотические зоны для уравнения КЗ». Журнал чистой и прикладной алгебры . 85 (2): 119–142. дои : 10.1016/0022-4049(93)90049-Y .

[2] Райнер, Виктор; Циглер, Гюнтер М. (1994). «Коксетер-ассоциэдры». Математика . 41 (2): 364–393. дои : 10.1112/S0025579300007452 .

[3] Баралич, Джордже; Иванович, Елена; Петрич, Зоран (декабрь 2019 г.). «Простой пермутоассоциэдр». Дискретная математика . 342 (12): 111591. arXiv : 1708.02482 . дои : 10.1016/j.disc.2019.07.007 .

[1]

[2]

[3]