Форма Якоби

В математике форма Якоби — это автоморфная форма группы Якоби , которая является полупрямым произведением симплектической группы Sp(n;R) и группы Гейзенберга . $H_{R}^{(n,h)}$. Теория была впервые систематически изучена Эйхлером и Загиром (1985) .

Определение

Форма Якоби уровня 1, веса k и индекса m — это функция $\phi (\tau ,z)$ двух комплексных переменных (с τ в верхней полуплоскости) таких, что

• $\phi \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},{\frac {z}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{k}e^{\frac {2\pi imcz^{2}}{c\tau +d}}\phi (\tau ,z){\text{ for }}{a\ b \choose c\ d}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$
• $\phi (\tau ,z+\lambda \tau +\mu )=e^{-2\pi im(\lambda ^{2}\tau +2\lambda z)}\phi (\tau ,z)$ для всех целых чисел λ, m.
• $\phi$ имеет разложение Фурье

$\phi (\tau ,z)=\sum _{n\geq 0}\sum _{r^{2}\leq 4mn}C(n,r)e^{2\pi i(n\tau +rz)}.$

Примеры

Примеры с двумя переменными включают тета-функции Якоби , функцию Вейерштрасса ℘ и коэффициенты Фурье – Якоби модулярных форм Зигеля рода 2. Примеры с более чем двумя переменными включают характеры некоторых неприводимых представлений со старшим весом аффинных алгебр Каца – Муди . Мероморфные формы Якоби появляются в теории моковых модулярных форм .

Ссылки

• Эйхлер, Мартин; Загер, Дон (1985), Теория форм Якоби , Progress in Mathematics, vol. 55, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, номер номера : 10.1007/978-1-4684-9162-3 , ISBN.  978-0-8176-3180-2 , МР   0781735