Продолжительная дробь Роджерса-Рамануджана

Непрерывная дробь Роджерса -Рамануджана — это непрерывная дробь, открытая Роджерсом (1894) и независимо Шринивасой Рамануджаном и тесно связанная с тождествами Роджерса-Рамануджана . Его можно явно оценить для широкого класса значений его аргумента.

раскраски домена Представление сходящейся $A_{400}(q)/B_{400}(q)$ функции $q^{-1/5}R(q)$, где $R(q)$ — это цепная дробь Роджерса-Рамануджана.

Определение

Представление аппроксимации $q^{1/5}A_{400}(q)/B_{400}(q)$ продолжающейся фракции Роджерса-Рамануджана.

Учитывая функции $G(q)$ и $H(q)$ появляющихся в тождествах Роджерса-Рамануджана, и предположим, что $q=e^{2\pi i\tau }$,

${\begin{aligned}G(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}\\[6pt]&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}}\\[6pt]&={\sqrt[{60}]{q\,j}}\,\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60}},{\tfrac {19}{60}};{\tfrac {4}{5}};{\tfrac {1728}{j}}\right)\\[6pt]&={\sqrt[{60}]{q\left(j-1728\right)}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60}},{\tfrac {29}{60}};{\tfrac {4}{5}};-{\tfrac {1728}{j-1728}}\right)\\[6pt]&=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \end{aligned}}$

и,

${\begin{aligned}H(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}\\[6pt]&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}j^{11}}}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60}},{\tfrac {31}{60}};{\tfrac {6}{5}};{\tfrac {1728}{j}}\right)\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}\left(j-1728\right)^{11}}}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60}},{\tfrac {41}{60}};{\tfrac {6}{5}};-{\tfrac {1728}{j-1728}}\right)\\[6pt]&=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+2q^{7}+\cdots \end{aligned}}$

с коэффициентами q -разложения равными OEIS : A003114 и OEIS : A003106 соответственно, где $(a;q)_{\infty }$ обозначает бесконечный символ q-Похгаммера , j — j-функция , а ₂ F ₁ — гипергеометрическая функция . Тогда непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана будет равна

${\begin{aligned}R(q)&={\frac {q^{\frac {11}{60}}H(q)}{q^{-{\frac {1}{60}}}G(q)}}=q^{\frac {1}{5}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}=q^{1/5}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{(n|5)}\\[8pt]&={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}$

$(n\mid m)$ — символ Якоби.

Следует быть осторожным с обозначениями, поскольку формулы, использующие j-функцию $j$ будет согласовываться с другими формулами только в том случае, если $q=e^{2\pi i\tau }$ (квадрат нома ) используется на протяжении всего этого раздела, поскольку q -разложение j-функции (а также известной эта-функции Дедекинда ) использует $q=e^{2\pi i\tau }$. Однако Рамануджан в своих примерах к Харди и приведенных ниже использовал имя $q=e^{\pi i\tau }$вместо.

Особые значения

Если q — ном или его квадрат, то $q^{-{\frac {1}{60}}}G(q)$ и $q^{\frac {11}{60}}H(q)$, а также их частное $R(q)$, связаны с модулярными функциями $\tau$. Поскольку они имеют целые коэффициенты, теория комплексного умножения предполагает, что их значения для $\tau$ с участием мнимого квадратичного поля — это алгебраические числа , которые можно вычислить явно.

Примеры R(q)

Учитывая общую форму, в которой Рамануджан использовал этот ном $q=e^{\pi i\tau }$,

$R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}$

жкогда $\tau =i$,

$R{\big (}e^{-\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {\pi }{5}}}}{1+{\cfrac {e^{-\pi }}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\tfrac {1}{2}}\varphi \,({\sqrt {5}}-\varphi ^{3/2})({\sqrt[{4}]{5}}+\varphi ^{3/2})=0.511428\dots$

когда $\tau =2i$,

$R{\big (}e^{-2\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi }{5}}}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+\ddots }}}}}}={{\sqrt[{4}]{5}}\,\varphi ^{1/2}-\varphi }=0.284079\dots$

когда $\tau =4i$,

$R{\big (}e^{-4\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {4\pi }{5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-8\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\tfrac {1}{2}}\varphi \,({\sqrt {5}}-\varphi ^{3/2})(-{\sqrt[{4}]{5}}+\varphi ^{3/2})=0.081002\dots$

когда $\tau =2{\sqrt {5}}i$,

$R{\big (}e^{-2{\sqrt {5}}\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi }{\sqrt {5}}}}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}={\frac {\sqrt {5}}{1+{\big (}5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1{\big )}^{1/5}}}-\varphi =0.0602094\dots$

когда $\tau =5i$,

$R{\big (}e^{-5\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-\pi }}{1+{\cfrac {e^{-5\pi }}{1+{\cfrac {e^{-10\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\frac {1+\varphi ^{2}}{\varphi +{\big (}{\frac {1}{2}}(4-\varphi -3{\sqrt {\varphi -1}})(3\varphi ^{3/2}-{\sqrt[{4}]{5}}){\big )}^{1/5}}}-\varphi =0.0432139\dots$

когда $\tau =10i$,

$R{\big (}e^{-10\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-10\pi }}{1+{\cfrac {e^{-20\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\frac {1+\varphi ^{2}}{\varphi +{\big (}3{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}-4-\varphi {\big )}^{1/5}}}-\varphi =0.00186744\dots$

когда $\tau =20i$,

$R{\big (}e^{-20\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-20\pi }}{1+{\cfrac {e^{-40\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\frac {1+\varphi ^{2}}{\varphi +{\big (}{\frac {1}{2}}(4-\varphi -3{\sqrt {\varphi -1}})(3\varphi ^{3/2}+{\sqrt[{4}]{5}}){\big )}^{1/5}}}-\varphi =0.00000348734\dots$

и $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ это золотое сечение . Обратите внимание, что $R{\big (}e^{-2\pi }{\big )}$ является положительным корнем уравнения четвертой степени ,

$x^{4}+2x^{3}-6x^{2}-2x+1=0$

пока $R{\big (}e^{-\pi }{\big )}$ и $R{\big (}e^{-4\pi }{\big )}$ — два положительных корня одной октики ,

$y^{4}+2\varphi ^{4}y^{3}+6\varphi ^{2}y^{2}-2\varphi ^{4}y+1=0$

(с $\varphi$ имеет квадратный корень), что объясняет сходство двух замкнутых форм. В более общем смысле, для положительного целого числа m тогда $R(e^{-2\pi /m})$ и $R(e^{-2\pi \,m})$ являются двумя корнями одного и того же уравнения, а также,

${\bigl [}R(e^{-2\pi /m})+\varphi {\bigr ]}{\bigl [}R(e^{-2\pi \,m})+\varphi {\bigr ]}={\sqrt {5}}\,\varphi$

Алгебраическая k степень $R(e^{-\pi \,n})$ для $n=1,2,3,4,\dots$ является $k=8,4,32,8,\dots$ ( ОЭИС : A082682 ).

Кстати, эти цепные дроби можно использовать для решения некоторых уравнений пятой степени, как показано в следующем разделе.

Примеры G ( q ) и H ( q )

Интересно, что существуют явные формулы для $G(q)$ и $H(q)$ в терминах j-функции $j(\tau )$ и продолжающаяся фракция Роджерса-Рамануджана $R(q)$. Однако, поскольку $j(\tau )$ использует квадрат имени $q=e^{2\pi \,i\tau }$, то следует быть осторожным с обозначениями такими, что $j(\tau ),\,G(q),\,H(q)$ и $r=R(q)$ используйте то же самое $q$.

${\begin{aligned}G(q)&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}}\\[6pt]&=q^{1/60}{\frac {j(\tau )^{1/60}}{(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{1/20}}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}H(q)&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\[6pt]&={\frac {-1}{q^{11/60}}}{\frac {(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{11/20}}{j(\tau )^{11/60}\,(r^{10}+11r^{5}-1)}}\end{aligned}}$

Разумеется, из второстепенных формул следует, что $q^{-1/60}G(q)$ и $q^{11/60}H(q)$ являются алгебраическими числами (хотя обычно высокой степени) для $\tau$ с участием мнимого квадратичного поля . Например, приведенные выше формулы упрощаются до:

${\begin{aligned}G(e^{-2\pi })&=(e^{-2\pi })^{1/60}{\frac {1}{(5\,\varphi )^{1/4}}}{\frac {1}{\sqrt {R(e^{-2\pi })}}}\\[6pt]&=1.00187093\dots \\[6pt]H(e^{-2\pi })&={\frac {1}{(e^{-2\pi })^{11/60}}}{\frac {1}{(5\,\varphi )^{1/4}}}{\sqrt {R(e^{-2\pi })}}\\[6pt]&=1.00000349\ldots \end{aligned}}$

и,

${\begin{aligned}G(e^{-4\pi })&=(e^{-4\pi })^{1/60}{\frac {1}{(5\,\varphi ^{3})^{1/4}\,(\varphi +{\sqrt[{4}]{5}})^{1/4}}}{\frac {1}{\sqrt {R(e^{-4\pi })}}}\\[6pt]&=1.000003487354\dots \\[6pt]H(e^{-4\pi })&={\frac {1}{(e^{-4\pi })^{11/60}}}{\frac {1}{(5\,\varphi ^{3})^{1/4}\,(\varphi +{\sqrt[{4}]{5}})^{1/4}}}{\sqrt {R(e^{-4\pi })}}\\[6pt]&=1.000000000012\dots \end{aligned}}$

и так далее, с $\varphi$ как золотое сечение.

Вывод специальных значений

Тангенциальные суммы

Ниже мы выражаем основные теоремы о цепных дробях Роджерса-Рамануджана R и S, используя тангенциальные суммы и тангенциальные разности:

$a\oplus b=\tan {\bigl [}\arctan(a)+\arctan(b){\bigr ]}={\frac {a+b}{1-ab}}$

$c\ominus d=\tan {\bigl [}\arctan(c)-\arctan(d){\bigr ]}={\frac {c-d}{1+cd}}$

Эллиптический ном и дополнительный ном имеют такое отношение друг к другу:

$\ln(q)\ln(q_{1})=\pi ^{2}$

Дополнительный ном модуля k равен ному дополнительного пифагорейского модуля:

$q_{1}(k)=q(k')=q({\sqrt {1-k^{2}}})$

Это теоремы отражения для цепных дробей R и S:

$S(q)\oplus S(q_{1})=\Phi$

$R(q^{2})\oplus R(q_{1}^{2})=\Phi ^{-1}$

Письмо $\Phi$ точно представляет золотое число :

$\Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)=\cot[{\tfrac {1}{2}}\arctan(2)]=2\cos({\tfrac {1}{5}}{\pi })$

$\Phi ^{-1}={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)=\tan[{\tfrac {1}{2}}\arctan(2)]=2\sin({\tfrac {1}{10}}{\pi })$

Теоремы для квадрата нома строятся следующим образом:

$R(q)^{2}R(q^{2})^{-1}\oplus R(q)R(q^{2})^{2}=1$

$S(q)^{2}R(q^{2})^{-1}\ominus S(q)R(q^{2})^{2}=1$

Даны следующие соотношения между цепными дробями и тэта-функциями Якоби:

$S(q)\oplus R(q^{2})={\frac {\vartheta _{00}(q^{1/5})^{2}-\vartheta _{00}(q)^{2}}{5\,\vartheta _{00}(q^{5})^{2}-\vartheta _{00}(q)^{2}}}$

$R(q)\ominus R(q^{2})={\frac {\vartheta _{01}(q)^{2}-\vartheta _{01}(q^{1/5})^{2}}{5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}-\vartheta _{01}(q)^{2}}}$

Вывод лемнискатических значений

В показанные теперь теоремы вставлены определенные значения:

$S{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}\oplus S{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=\Phi$

Следовательно, справедливо следующее тождество:

$S{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ){\bigr ]}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}$

В аналоговом шаблоне мы получаем такой результат:

$R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}$

Следовательно, справедливо следующее тождество:

$R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-1}){\bigr ]}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}$

Кроме того, мы получаем то же соотношение, используя вышеупомянутую теорему о тэта-функциях Якоби:

$S{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=S(q)\oplus R(q^{2}){\bigl [}q=\exp(-\pi ){\bigr ]}=$

$={\frac {\vartheta _{00}(q^{1/5})^{2}-\vartheta _{00}(q)^{2}}{5\,\vartheta _{00}(q^{5})^{2}-\vartheta _{00}(q)^{2}}}{\bigl [}q=\exp(-\pi ){\bigr ]}=1$

Этот результат появляется из-за формулы суммирования Пуассона , и это уравнение можно решить следующим образом:

$R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=1\ominus S{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=1\ominus \tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}$

Используя другую упомянутую теорему о тэта-функциях Якоби, можно определить следующее значение:

$R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}\ominus R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=R(q)\ominus R(q^{2}){\bigl [}q=\exp(-\pi ){\bigr ]}=$

$={\frac {\vartheta _{01}(q)^{2}-\vartheta _{01}(q^{1/5})^{2}}{5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}-\vartheta _{01}(q)^{2}}}{\bigl [}q=\exp(-\pi ){\bigr ]}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}-1}{{\sqrt[{4}]{5}}+1}}={\sqrt[{4}]{5}}\ominus 1=\tan {\bigl [}\arctan({\sqrt[{4}]{5}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}$

Эта цепочка уравнений приводит к тангенциальной сумме:

$R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}\oplus \tan {\bigl [}\arctan({\sqrt[{4}]{5}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}$

И поэтому появляется следующий результат:

$R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2)+\arctan({\sqrt[{4}]{5}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}$

На следующем шаге мы снова используем теорему отражения для цепной дроби R:

$R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-4\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}$

$R{\bigl [}\exp(-4\pi ){\bigr ]}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(2){\bigr ]}\ominus R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}$

И появляется дальнейший результат:

$R{\bigl [}\exp(-4\pi ){\bigr ]}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2)-\arctan({\sqrt[{4}]{5}}\,)+{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}$

Вывод нелемнискатических значений

Теорема отражения теперь используется для следующих значений:

$R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}$

Тета-теорема Якоби приводит к следующему соотношению:

$R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\ominus R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=R(q)\ominus R(q^{2}){\bigl [}q=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=$

$={\frac {\vartheta _{01}(q)^{2}-\vartheta _{01}(q^{1/5})^{2}}{5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}-\vartheta _{01}(q)^{2}}}{\bigl [}q=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\tan {\bigl [}2\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}$

Путем тангенциального сложения уже упомянутых двух теорем мы получаем следующий результат:

$R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}\oplus \tan {\bigl [}2\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}$

$R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\tan {\bigl [}\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccot}(2){\bigr ]}$

При тангенциальном вычитании этот результат получается:

$R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}\ominus \tan {\bigl [}2\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}$

$R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccot}(-2)-\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,){\bigr ]}$

В альтернативном способе решения мы используем теорему для квадрата имени:

$R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{-1}\oplus R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}=1$

${\bigl \{}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{-1}+1{\bigr \}}{\bigl \{}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}+1{\bigr \}}=2$

Теперь снова берется теорема об отражении:

$R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}\ominus R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}$

$R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}={\frac {1-\Phi R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}}{\Phi +R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}}}$

Вставка последнего упомянутого выражения в теорему о квадрате имени дает это уравнение:

${\biggl \{}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}{\frac {\Phi +R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}}{1-\Phi R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}}}+1{\biggr \}}{\biggl \langle }R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}{\frac {{\bigl \{}1-\Phi R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}}{{\bigl \{}\Phi +R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}}}+1{\biggr \rangle }=2$

Стирание знаменателей дает уравнение шестой степени:

$R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{6}+2\,\Phi ^{-2}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{5}-{\sqrt {5}}\,\Phi ^{-1}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{4}+$

$+2\,{\sqrt {5}}\,\Phi R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{3}+{\sqrt {5}}\,\Phi ^{-1}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}+2\,\Phi ^{-2}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}-1=0$

Решением этого уравнения является уже упомянутое решение:

$R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\tan {\bigl [}\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccot}(2){\bigr ]}$

Отношение к модульным формам

$R(q)$ может быть связано с эта-функцией Дедекинда , модульной формой веса 1/2, как:

${\frac {1}{R(q)}}-R(q)={\frac {\eta ({\frac {\tau }{5}})}{\eta (5\tau )}}+1$

${\frac {1}{R^{5}(q)}}-R^{5}(q)=\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}+11$

Непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана также может быть выражена через тэта-функции Якоби . Напомним обозначения,

${\begin{aligned}\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\end{aligned}}$

Обозначения $\theta _{n}$ немного легче запомнить, так как $\theta _{2}^{4}+\theta _{4}^{4}=\theta _{3}^{4}$, с четными индексами в левой части. Таким образом,

$R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}+{\frac {\theta _{4}(x^{1/5})[5\,\theta _{4}(x^{5})^{2}-\theta _{4}(x)^{2}]}{2\,\theta _{4}(x^{5})[\theta _{4}(x)^{2}-\theta _{4}(x^{1/5})^{2}]}}{\biggr ]}{\biggr \}}$

$R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}+{\bigg (}{\frac {\theta _{2}(x^{1/10})\,\theta _{3}(x^{1/10})\,\theta _{4}(x^{1/10})}{2^{3}\,\theta _{2}(x^{5/2})\,\theta _{3}(x^{5/2})\,\theta _{4}(x^{5/2})}}{\bigg )}^{1/3}{\biggr ]}{\biggr \}}$

$R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(x)^{2}}{2\,\theta _{4}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\times \tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(x)^{2}}{2\,\theta _{4}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}$

$R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(x^{1/2})^{2}}{2\,\theta _{4}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\times \cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(x^{1/2})^{2}}{2\,\theta _{4}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}$

Однако обратите внимание, что тэта-функции обычно используют имя q = e ^ipt , а эта-функция Дедекинда использует квадрат нома q = e ^{2 балла} переменная x , поэтому вместо этого используется для обеспечения согласованности между всеми функциями. Например, пусть $\tau ={\sqrt {-1}}$ так $x=e^{-\pi }$. Подключив это к тета-функциям, можно получить одно и то же значение для всех трех формул R ( x ), что является правильной оценкой цепной дроби, данной ранее:

$R{\big (}e^{-\pi }{\big )}={\frac {1}{2}}\varphi \,({\sqrt {5}}-\varphi ^{3/2})({\sqrt[{4}]{5}}+\varphi ^{3/2})=0.511428\dots$

Можно также определить эллиптический ном ,

$q(k)=\exp {\big [}-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k){\big ]}$

Маленькая буква k описывает эллиптический модуль, а большая буква K описывает полный эллиптический интеграл первого рода. Тогда непрерывная дробь также может быть выражена эллиптическими функциями Якоби следующим образом:

$R{\big (}q(k){\big )}=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan y{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} y{\biggr \}}^{2/5}=\left\{{\frac {{\sqrt {y^{2}+1}}-1}{y}}\right\}^{1/5}\left\{y\left[{\sqrt {{\frac {1}{y^{2}}}+1}}-1\right]\right\}^{2/5}$

с

$y={\frac {2k^{2}\,{\text{sn}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]^{2}\,{\text{sn}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]^{2}}{5-k^{2}\,{\text{sn}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]^{2}\,{\text{sn}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]^{2}}}.$

Связь с j-функцией

Одна из формул, включающих j-функцию и эта-функцию Дедекинда, такова:

$j(\tau )={\frac {(x^{2}+10x+5)^{3}}{x}}$

где $x=\left[{\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}}\right]^{6}.\,$ Поскольку также,

${\frac {1}{R^{5}(q)}}-R^{5}(q)=\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}+11$

Устранение фактора эта $x$ между двумя уравнениями можно затем выразить j ( τ ) через $r=R(q)$ как,

${\begin{aligned}&j(\tau )=-{\frac {(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{3}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}\\[6pt]&j(\tau )-1728=-{\frac {(r^{30}+522r^{25}-10005r^{20}-10005r^{10}-522r^{5}+1)^{2}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}\end{aligned}}$

где числитель и знаменатель — полиномиальные инварианты икосаэдра . Используя модульное уравнение между $R(q)$ и $R(q^{5})$, можно обнаружить, что

${\begin{aligned}&j(5\tau )=-{\frac {(r^{20}+12r^{15}+14r^{10}-12r^{5}+1)^{3}}{r^{25}(r^{10}+11r^{5}-1)}}\\[6pt]&j(5\tau )-1728=-{\frac {(r^{30}+18r^{25}+75r^{20}+75r^{10}-18r^{5}+1)^{2}}{r^{25}(r^{10}+11r^{5}-1)}}\end{aligned}}$

Позволять $z=r^{5}-{\frac {1}{r^{5}}}$, затем $j(5\tau )=-{\frac {\left(z^{2}+12z+16\right)^{3}}{z+11}}$

где

${\begin{aligned}&z_{\infty }=-\left[{\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (25\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{0}=-\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{1}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +2}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\\[6pt]&z_{2}=-\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +4}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{3}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +6}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{4}=-\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +8}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11\end{aligned}}$

что по сути является j-инвариантом эллиптической кривой ,

$y^{2}+(1+r^{5})xy+r^{5}y=x^{3}+r^{5}x^{2}$

параметризованный точками, не являющимися точками возврата модульной кривой $X_{1}(5)$.

Функциональное уравнение

Для удобства можно также использовать обозначение $r(\tau )=R(q)$ когда q = е ^{2 ямы} . Хотя другие модульные функции, такие как j-инвариант, удовлетворяют,

$j(-{\tfrac {1}{\tau }})=j(\tau )$

и эта-функция Дедекинда имеет:

$\eta (-{\tfrac {1}{\tau }})={\sqrt {-i\tau }}\,\eta (\tau )$

функциональное уравнение цепной дроби Роджерса – Рамануджана включает золотое сечение $\varphi$,

$r(-{\tfrac {1}{\tau }})={\frac {1-\varphi \,r(\tau )}{\varphi +r(\tau )}}$

Кстати,

$r({\tfrac {7+i}{10}})=i$

Модульные уравнения

Существуют модульные уравнения между $R(q)$ и $R(q^{n})$. Элегантные варианты для маленьких простых n таковы.

Для $n=2$, позволять $u=R(q)$ и $v=R(q^{2})$, затем $v-u^{2}=(v+u^{2})uv^{2}.$

Для $n=3$, позволять $u=R(q)$ и $v=R(q^{3})$, затем $(v-u^{3})(1+uv^{3})=3u^{2}v^{2}.$

Для $n=5$, позволять $u=R(q)$ и $v=R(q^{5})$, затем $v(v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)=(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1)u^{5}.$

Или эквивалентно для $n=5$, позволять $u=R(q)$ и $v=R(q^{5})$ и $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$, затем $u^{5}={\frac {v\,(v^{2}-\varphi ^{2}v+\varphi ^{2})(v^{2}-\varphi ^{-2}v+\varphi ^{-2})}{(v^{2}+v+\varphi ^{2})(v^{2}+v+\varphi ^{-2})}}.$

Для $n=11$, позволять $u=R(q)$ и $v=R(q^{11})$, затем $uv(u^{10}+11u^{5}-1)(v^{10}+11v^{5}-1)=(u-v)^{12}.$

Касательно $n=5$, Обратите внимание, что $v^{10}+11v^{5}-1=(v^{2}+v-1)(v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1).$

Другие результаты

Рамануджан нашел много других интересных результатов, касающихся $R(q)$. Позволять $a,b\in \mathbb {R} ^{+}$, и $\varphi$ как золотое сечение .

Если $ab=\pi ^{2}$ затем,

${\bigl [}R(e^{-2a})+\varphi {\bigl ]}{\bigl [}R(e^{-2b})+\varphi {\bigr ]}={\sqrt {5}}\,\varphi .$

Если $5ab=\pi ^{2}$ затем,

${\bigl [}R^{5}(e^{-2a})+\varphi ^{5}{\bigl ]}{\bigl [}R^{5}(e^{-2b})+\varphi ^{5}{\bigr ]}=5{\sqrt {5}}\,\varphi ^{5}.$

Полномочия $R(q)$ также может быть выражено необычными способами. Для своего куба ,

$R^{3}(q)={\frac {\alpha }{\beta }}$

где

$\alpha =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{2n}}{1-q^{5n+2}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{3n+1}}{1-q^{5n+3}}},$

$\beta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{5n+1}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{4n+3}}{1-q^{5n+4}}}.$

Для пятой степени пусть $w=R(q)R^{2}(q^{2})$, затем,

$R^{5}(q)=w\left({\frac {1-w}{1+w}}\right)^{2},\;\;R^{5}(q^{2})=w^{2}\left({\frac {1+w}{1-w}}\right)$

Уравнения квинтики

Общее уравнение пятой степени в форме Бринга-Джеррарда:

$x^{5}-5x-4a=0$

за каждую реальную стоимость $a>1$ можно решить в терминах цепной дроби Роджерса-Рамануджана $R(q)$ и эллиптический ном

$q(k)=\exp {\big [}-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k){\big ]}.$

Чтобы решить эту квинтику, эллиптический модуль сначала должен быть определен как

$k=\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccsc}(a^{2})].$

Тогда настоящее решение

${\begin{aligned}x&={\frac {2-{\bigl \{}1-R[q(k)]{\bigr \}}{\bigl \{}1+R[q(k)^{2}]{\bigr \}}}{{\sqrt {R[q(k)]\,R[q(k)^{2}]}}\,{\sqrt[{4}]{4\cot \langle 4\arctan\{S\}\rangle -3}}}}\\&={\frac {2-{\bigl \{}1-R[q(k)]{\bigr \}}{\bigl \{}1+R[q(k)^{2}]{\bigr \}}}{{\sqrt {R[q(k)]R[q(k)^{2}]}}\,{\sqrt[{4}]{{\frac {2}{S-1}}+{\frac {2}{S+1}}+{\frac {1}{S}}-S-3}}}}.\end{aligned}}$

где $S=R[q(k)]\,R^{2}[q(k)^{2}].$. Напомним в предыдущем разделе 5-ю степень $R(q)$ может быть выражено $S$:

$R^{5}[q(k)]=S\left({\frac {1-S}{1+S}}\right)^{2}$

Пример 1

$x^{5}-x-1=0$

Преобразовать в,

$({\sqrt[{4}]{5}}x)^{5}-5({\sqrt[{4}]{5}}x)-4({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})=0$

таким образом,

$a={\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}$

$k=\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccsc}(a^{2})]={\tfrac {5^{5/4}+{\sqrt {25{\sqrt {5}}-16}}}{5^{5/4}+{\sqrt {25{\sqrt {5}}+16}}}}$

$q(k)=0.0851414716\dots$

$R[q(k)]=0.5633613184\dots$

$R[q(k)^{2}]=0.3706122329\dots$

и решение:

$x={\frac {2-{\bigl \{}1-R[q(k)]{\bigr \}}{\bigl \{}1+R[q(k)^{2}]{\bigr \}}}{{\sqrt {R[q(k)]\,R[q(k)^{2}]}}\,{\sqrt[{4}]{20\cot \langle 4\arctan\{R[q(k)]\,R[q(k)^{2}]^{2}\}\rangle -15}}}}=1.167303978\dots$

и не могут быть представлены элементарными корневыми выражениями.

Пример 2

$x^{5}-5x-4{\Bigl (}{\sqrt[{4}]{\tfrac {81}{32}}}{\Bigr )}=0$

таким образом,

$a={\sqrt[{4}]{\tfrac {81}{32}}}$

Учитывая более знакомые непрерывные дроби с замкнутыми формами,

$r_{1}=R{\big (}e^{-\pi }{\big )}={\tfrac {1}{2}}\varphi \,({\sqrt {5}}-\varphi ^{3/2})({\sqrt[{4}]{5}}+\varphi ^{3/2})=0.511428\dots$

$r_{2}=R{\big (}e^{-2\pi }{\big )}={\sqrt[{4}]{5}}\,\varphi ^{1/2}-\varphi =0.284079\dots$

$r_{4}=R{\big (}e^{-4\pi }{\big )}={\tfrac {1}{2}}\varphi \,({\sqrt {5}}-\varphi ^{3/2})(-{\sqrt[{4}]{5}}+\varphi ^{3/2})=0.081002\dots$

с золотым сечением $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ и решение упрощается до

${\begin{aligned}x&={\sqrt[{4}]{5}}\,{\frac {2-{\bigl \{}1-r_{1}{\bigr \}}{\bigl \{}1+r_{2}{\bigr \}}}{{\sqrt {r_{1}\,r_{2}}}\,{\sqrt[{4}]{20\cot \langle 4\arctan\{r_{1}\,r_{2}^{2}\}\rangle -15}}}}\\[6pt]&={\sqrt[{4}]{5}}\,{\frac {2-{\bigl \{}1-r_{2}{\bigr \}}{\bigl \{}1+r_{4}{\bigr \}}}{{\sqrt {r_{2}\,r_{4}}}\,{\sqrt[{4}]{20\cot \langle 4\arctan\{r_{2}\,r_{4}^{2}\}\rangle -15}}}}\\[6pt]&={\sqrt[{4}]{8}}=1.681792\dots \end{aligned}}$

Ссылки

• Роджерс, LJ (1894), «Вторые мемуары о расширении некоторых бесконечных продуктов» , Proc. Лондонская математика. Соц. , с1-25 (1): 318–343, doi : 10.1112/plms/s1-25.1.318
• Берндт, Британская Колумбия; Чан, Х.Х.; Хуанг, СС; Канг, С.Ю.; Сон, Дж.; Сон, С.Х. (1999), «Непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана» (PDF) , Journal of Computational and Applied Mathematics , 105 (1–2): 9–24, doi : 10.1016/S0377-0427(99)00033-3

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Идентичность Роджерса-Рамануджана» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Продолжительная дробь Роджерса-Рамануджана» . Математический мир .