Неравенство Виртингера для функций

Чтобы узнать о других неравенствах, названных в честь Виртингера, см. Неравенство Виртингера .

В математической области анализа — неравенство Виртингера важное неравенство для функций одной переменной, названное в честь Вильгельма Виртингера . Его использовал Адольф Гурвиц в 1901 году для нового доказательства изопериметрического неравенства для кривых на плоскости. Множество тесно связанных результатов сегодня известны как неравенство Виртингера, и все они могут рассматриваться как определенные формы неравенства Пуанкаре .

Теорема

Существует несколько неэквивалентных версий неравенства Виртингера:

Пусть $y$ — непрерывная и дифференцируемая функция на интервале $[0, L]$ со средним значением 0 и с $y (0) = y (L)$ . Затем

\int _{0}^{L}y(x)^{2}\,\mathrm {d} x\leq {\frac {L^{2}}{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{L}y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x,

и равенство имеет место тогда и только тогда, когда

y ( x ) = c sin .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 2π( x − α) / L ⁠

для некоторых чисел

c

и

α

. ^{[ 1 ]}

Пусть $y$ — непрерывная и дифференцируемая функция на интервале $[0, L]$ с $y (0) = y (L) = 0$ . Затем

\int _{0}^{L}y(x)^{2}\,\mathrm {d} x\leq {\frac {L^{2}}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{L}y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x,

и равенство имеет место тогда и только тогда, когда

y (x) = c sin ⁠ π x / L ⁠

для некоторого числа

c

. ^{[ 1 ]}

Пусть $y$ — непрерывная и дифференцируемая функция на интервале $[0, L]$ со средним значением, равным нулю. Затем

\int _{0}^{L}y(x)^{2}\,\mathrm {d} x\leq {\frac {L^{2}}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{L}y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x.

и равенство имеет место тогда и только тогда, когда

y (x) = c cos ⁠ π x / L ⁠

для некоторого числа

c

. ^{[ 2 ]}

Несмотря на свои различия, они тесно связаны друг с другом, как это видно из приведенного ниже описания с точки зрения спектральной геометрии . Их также можно рассматривать как частные случаи различных форм неравенства Пуанкаре с явной идентификацией оптимальной константы Пуанкаре . Средняя версия также является частным случаем неравенства Фридрихса , опять же с идентифицированной оптимальной константой.

Доказательства

Все три версии неравенства Виртингера можно доказать различными способами. Далее это иллюстрируется различными видами доказательства для каждого из трех неравенств Виртингера, приведенных выше. В каждом случае за счет линейной замены переменных в используемых интегралах без потери общности можно доказать теорему только для одного конкретного выбора $L$ .

ряд Фурье

Рассмотрим первое неравенство Виртингера, приведенное выше. Возьмем $L$ равным $2π$ . Поскольку условия Дирихле выполнены, можно написать

y(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n\geq 1}\left(a_{n}{\frac {\sin nx}{\sqrt {\pi }}}+b_{n}{\frac {\cos nx}{\sqrt {\pi }}}\right),

и тот факт, что среднее значение $y$ равно нулю, означает, что $a 0 = 0$ . По тождеству Парсеваля ,

\int _{0}^{2\pi }y(x)^{2}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})

и

\int _{0}^{2\pi }y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})

и поскольку все слагаемые неотрицательны, неравенство Виртингера доказано. Более того, видно, что равенство имеет место тогда и только тогда, когда $a n = bn = 0$ для всех $n \geq 2$ , то есть $y (x) = a 1 sin x + b 1 cos x$ . Это эквивалентно сформулированному условию при использовании формул тригонометрического сложения .

Интеграция по частям

Рассмотрим второе неравенство Виртингера, приведенное выше. ^{[ 1 ]} Возьмем $L$ равным $π$ . Любая дифференцируемая функция $y (x)$ удовлетворяет тождеству

y(x)^{2}+{\big (}y'(x)-y(x)\cot x{\big )}^{2}=y'(x)^{2}-{\frac {d}{dx}}{\big (}y(x)^{2}\cot x{\big )}.

Интегрирование с использованием фундаментальной теоремы исчисления и граничных условий $y (0) = y (π) = 0$ тогда показывает

\int _{0}^{\pi }y(x)^{2}\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{\pi }{\big (}y'(x)-y(x)\cot x{\big )}^{2}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\pi }y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x.

Это доказывает неравенство Виртингера, поскольку второй интеграл явно неотрицательен. Кроме того, равенство в неравенстве Виртингера эквивалентно уравнению $y'(x) = y (x) cot x$ , общим решением которого (вычисленным путем разделения переменных ) является $y (x) = c sin x$ для произвольное число $c$ .

В приведенном выше применении основной теоремы исчисления есть тонкость, поскольку это не тот случай, когда $y (x) 2 раскладушка x$ непрерывно продолжается до $x = 0$ и $x = π$ для каждой функции $y (x)$ . Это решается следующим образом. следует Из неравенства Гёльдера и $y (0) = 0$ , что

|y(x)|=\left|\int _{0}^{x}y'(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{0}^{x}|y'(x)|\,\mathrm {d} x\leq {\sqrt {x}}\left(\int _{0}^{x}y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x\right)^{1/2},

что показывает, что до тех пор, пока

\int _{0}^{\pi }y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x

конечен, предел $⁠ 1 / Икс ⁠ у (Икс) 2$ когда $x$ стремится к нулю, равен нулю. Поскольку $кроватка x < ⁠ 1 / x ⁠$ для малых положительных значений $x$ следует из теоремы о сжатии , что $y (x) 2 cot x$ сходится к нулю, когда $x$ сходится к нулю. Точно так же можно доказать, что $y (x) 2 cot x$ сходится к нулю, когда $x$ сходится к $π$ .

Функциональный анализ

Рассмотрим третье неравенство Виртингера, приведенное выше. Возьмем $L$ равным $1$ . Учитывая непрерывную функцию $f$ на $[0, 1]$ со средним значением, равным нулю, пусть $Tf)$ обозначает функцию $u$ на $[0, 1],$ имеющую среднее значение, равное нулю, и при $u " + f = 0$ и $u'(0 ) знак равно ты'(1) знак равно 0$ . Из базового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами собственные значения $T$ равны $(k π ) -2$ для ненулевых целых чисел $k$ , наибольшее из которых тогда равно $π -2$ . Поскольку $T$ — ограниченный и самосопряженный оператор , отсюда следует, что

\int _{0}^{1}Tf(x)^{2}\,\mathrm {d} x\leq \pi ^{-2}\int _{0}^{1}f(x)Tf(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{1}(Tf)'(x)^{2}\,\mathrm {d} x

для всех $f$ среднего значения ноль, где равенство обусловлено интегрированием по частям . Наконец, для любой непрерывно дифференцируемой функции $y$ на $[0, 1]$ среднего значения нуль пусть $g n$ — последовательность непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем на $(0, 1),$ сходящихся в $L 2$ к $y'$ . Затем определите

y_{n}(x)=\int _{0}^{x}g_{n}(z)\,\mathrm {d} z-\int _{0}^{1}\int _{0}^{w}g_{n}(z)\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} w.

Тогда каждый $y n$ имеет нулевое среднее значение с $y n'(0) = y n'(1) = 0$ , что, в свою очередь, означает, что $- y n ”$ имеет среднее нулевое значение. Таким образом, применение приведенного выше неравенства к $f = - y n »$ правомерно и показывает, что

\int _{0}^{1}y_{n}(x)^{2}\,\mathrm {d} x\leq {\frac {1}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{1}y_{n}'(x)^{2}\,\mathrm {d} x.

Можно заменить $y n$ на $y$ и тем самым доказать неравенство Виртингера, как только будет проверено, что $y n$ сходится в $L 2$ к $ю$ . Это проверяется стандартным способом, записывая

y(x)-y_{n}(x)=\int _{0}^{x}{\big (}y_{n}'(z)-g_{n}(z){\big )}\,\mathrm {d} z-\int _{0}^{1}\int _{0}^{w}(y_{n}'(z)-g_{n}(z){\big )}\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} w

и применяя неравенства Гёльдера или Йенсена.

Это доказывает неравенство Виртингера. В случае, когда $y (x)$ — функция, для которой имеет место равенство в неравенстве Виртингера, то стандартный аргумент вариационного исчисления говорит , что $y$ должна быть слабым решением уравнения Эйлера–Лагранжа $y "(x) + y (x) = 0$ с $y'(0) = y'(1) = 0$ , и теорию регулярности таких уравнений с последующим обычным анализом обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами , показывает, что $y (x) = c cos π x$ для некоторого числа $c$ .

Чтобы сделать это рассуждение полностью формальным и точным, необходимо более внимательно относиться к функциональным пространствам . рассматриваемым ^{[ 2 ]}

Спектральная геометрия

На языке спектральной геометрии три версии неравенства Виртингера, приведенные выше, можно перефразировать как теоремы о первом собственном значении и соответствующих собственных функциях оператора Лапласа-Бельтрами на различных одномерных римановых многообразиях : ^{[ 3 ]}

первое собственное значение оператора Лапласа–Бельтрами на римановой окружности длины $L$ равно $⁠ 4π 2 / л 2 ⁠$ , а соответствующие собственные функции представляют собой линейные комбинации двух координатных функций.
первое собственное значение Дирихле оператора Лапласа–Бельтрами на интервале $[0, L]$ равно $⁠ π 2 / л 2 ⁠$ и соответствующие собственные функции имеют вид $c sin ⁠ π x / L ⁠$ для произвольных ненулевых чисел $c$ .
первое собственное значение Неймана оператора Лапласа–Бельтрами на интервале $[0, L]$ равно $⁠ π 2 / л 2 ⁠$ и соответствующие собственные функции имеют вид $c cos ⁠ π x / L ⁠$ для произвольных ненулевых чисел $c$ .

Их также можно распространить на утверждения о пространствах более высокой размерности. Например, риманов круг можно рассматривать как одномерную версию сферы , реального проективного пространства или тора (произвольной размерности). Неравенство Виртингера в первой версии, приведенной здесь, можно рассматривать как $случай n = 1$ любого из следующих условий:

первое собственное значение оператора Лапласа – Бельтрами на $n$ -мерной сфере единичного радиуса равно $n$ , а соответствующие собственные функции представляют собой линейные комбинации $n + 1$ координатных функций. ^{[ 4 ]}
первое собственное значение оператора Лапласа–Бельтрами в $n$ -мерном вещественном проективном пространстве (с нормировкой, заданной накрывающим отображением из сферы единичного радиуса) равно $2 n + 2$ , а соответствующие собственные функции являются ограничениями однородных квадратичных многочленов на $R п + 1$ в единичную сферу (а затем в реальное проективное пространство). ^{[ 5 ]}
первое собственное значение оператора Лапласа–Бельтрами на $n$ -мерном торе (задаваемое как $n$ -кратное произведение окружности длины $2π$ на самого себя) равно $1$ , а соответствующие собственные функции представляют собой произвольные линейные комбинации $n$ -кратных произведений собственные функции на окружностях. ^{[ 6 ]}

Вторая и третья версии неравенства Виртингера могут быть расширены до утверждений о первых собственных значениях Дирихле и Неймана оператора Лапласа–Бельтрами на метрических шарах в евклидовом пространстве :

первое собственное значение Дирихле оператора Лапласа–Бельтрами на единичном шаре в $R н$ — квадрат наименьшего положительного нуля функции Бесселя первого рода $J (n - 2)/2$ . ^{[ 7 ]}
первое собственное значение Неймана оператора Лапласа–Бельтрами на единичном шаре в $R н$ есть квадрат наименьшего положительного нуля первой производной функции Бесселя первого рода $J n /2$ . ^{[ 7 ]}

Приложение к изопериметрическому неравенству

В первой форме, приведенной выше, неравенство Виртингера можно использовать для доказательства изопериметрического неравенства для кривых на плоскости, найденного Адольфом Гурвицем в 1901 году. ^{[ 8 ]} Пусть $(x, y)$ — дифференцируемое вложение окружности в плоскость. Параметризуя окружность на $[0, 2π]$ так, чтобы $(x, y)$ имело постоянную скорость, длина $L$ кривой определяется выражением

\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t

а площадь $A,$ ограниченная кривой, определяется (в соответствии с теоремой Стокса ) формулой

-\int _{0}^{2\pi }y(t)x'(t)\,\mathrm {d} t.

Поскольку подынтегральная функция интеграла, определяющего $L,$ предполагается постоянной, существует

{\frac {L^{2}}{2\pi }}-2A=\int _{0}^{2\pi }{\big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+2y(t)x'(t){\big )}\,\mathrm {d} t

который можно переписать как

\int _{0}^{2\pi }{\big (}x'(t)+y(t){\big )}^{2}\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{2\pi }{\big (}y'(t)^{2}-y(t)^{2}{\big )}\,\mathrm {d} t.

Первый интеграл, очевидно, неотрицательен. Не изменяя площадь или длину кривой, $(x, y)$ можно заменить на $(x, y + z)$ для некоторого числа $z$ , чтобы $среднее значение y$ было равно нулю. Тогда можно применить неравенство Виртингера и увидеть, что второй интеграл также неотрицательен и, следовательно,

{\frac {L^{2}}{4\pi }}\geq A,

что представляет собой изопериметрическое неравенство. Кроме того, равенство в изопериметрическом неравенстве влечет за собой как равенство в неравенстве Виртингера, так и равенство $x'(t) + y (t) = 0$ , что равно $y (t) = c 1 sin(t - α)$ и тогда $x (t) знак равно c 1 cos(t - α) + c 2$ для произвольных чисел $c 1$ и $c 2$ . Эти уравнения означают, что изображение $(x, y)$ представляет собой круглый круг на плоскости.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Харди, Литтлвуд и Полиа, 1952 , раздел 7.7.
^ Jump up to: ^а ^б Брезис 2011 , стр. 511–513, 576–578.
^ Чавел 1984 , разделы I.3 и I.5.
^ Штейн и Вайс 1971 , Глава IV.2.
^ Чавел 1984 , с. 36.
^ Чавел 1984 , Раздел II.2.
^ Jump up to: ^а ^б Чавел 1984 , Теорема II.5.4.
^ Харди, Литтлвуд и Полиа, 1952 , раздел 7.7; Гурвиц 1901 г.

Брезис, Хаим (2011). Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных . Университеттекст. Нью-Йорк: Спрингер . дои : 10.1007/978-0-387-70914-7 . ISBN 978-0-387-70913-0 . МР 2759829 . Збл 1220.46002 .
Чавел, Исаак (1984). Собственные значения в римановой геометрии . Чистая и прикладная математика. Том. 115. Орландо, Флорида: Academic Press . дои : 10.1016/s0079-8169(08)x6051-9 . ISBN 0-12-170640-0 . МР 0768584 . Збл 0551.53001 .
Харди, штат Джорджия ; Литтлвуд, JE ; Полиа, Г. (1952). Неравенства (второе издание оригинальной редакции 1934 г.). Издательство Кембриджского университета . МР 0046395 . Збл 0047.05302 .
Гурвиц, А. (1901). «К проблеме изопериметров» . Отчеты сессий Академии наук . 132 : 401–403. ЖФМ 32.0386.01 .
Штейн, Элиас М .; Вайс, Гвидо (1971). Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах . Принстонская математическая серия. Том. 32. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . МР 0304972 . Збл 0232.42007 .

[FOOTNOTEHardyLittlewoodPólya1952Section_7.7-1] Jump up to: ^а ^б ^с Харди, Литтлвуд и Полиа, 1952 , раздел 7.7.

[FOOTNOTEBrezis2011511–513,_576–578-2] Jump up to: ^а ^б Брезис 2011 , стр. 511–513, 576–578.

[FOOTNOTEChavel1984Sections_I.3_and_I.5-3] Чавел 1984 , разделы I.3 и I.5.

[FOOTNOTESteinWeiss1971Chapter_IV.2-4] Штейн и Вайс 1971 , Глава IV.2.

[FOOTNOTEChavel198436-5] Чавел 1984 , с. 36.

[FOOTNOTEChavel1984Section_II.2-6] Чавел 1984 , Раздел II.2.

[FOOTNOTEChavel1984Theorem_II.5.4-7] Jump up to: ^а ^б Чавел 1984 , Теорема II.5.4.

[FOOTNOTEHardyLittlewoodPólya1952Section_7.7Hurwitz1901-8] Харди, Литтлвуд и Полиа, 1952 , раздел 7.7; Гурвиц 1901 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]