Среднее арифметико-геометрическое

Эта статья о конкретном типе среднего значения. О неравенстве с аналогичным названием см. Неравенство средних арифметических и геометрических .

График среднего арифметико-геометрического $\operatorname {agm} (1,x)$ среди нескольких обобщенных средств .

В математике среднее арифметико -геометрическое (AGM или agM ) двух положительных действительных чисел x и y является взаимным пределом последовательности средних арифметических и последовательности средних геометрических . Среднее арифметико-геометрическое используется в быстрых алгоритмах для экспоненциальных , тригонометрических функций и других специальных функций , а также некоторых математических констант , в частности, вычисления π .

AGM определяется как предел взаимозависимых последовательностей. $a_{i}$ и $g_{i}$:

$${\begin{aligned}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y\\a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,.\end{aligned}}$$

Эти две последовательности сходятся к одному и тому же числу — среднему арифметико-геометрическому x и y ; он обозначается M ( x , y ) или иногда agm( x , y ) или AGM( x , y ) .

Среднее арифметико-геометрическое можно распространить на комплексные числа , и когда ветвей допускается непоследовательное извлечение квадратного корня, это, вообще говоря, многозначная функция .

Пример

Чтобы найти среднее арифметико-геометрическое a ₀ = 24 и g ₀ = 6 , выполните следующую итерацию:

$${\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array}}$$

Первые пять итераций дают следующие значения:

н	н ​	г н
0	24	6
1	1 5	1 2
2	13 .5	13 .416 407 864 998 738 178 455 042...
3	13.458 203 932 499 369 089 227 521...	13.458 139 030 990 984 877 207 090...
4	13.458 171 481 7 45 176 983 217 305...	13.458 171 481 7 06 053 858 316 334...
5	13.458 171 481 725 615 420 766 8 20...	13.458 171 481 725 615 420 766 8 06...

Количество цифр, в которых и _{совпадают значения n} g n ₍ подчеркнуто), примерно удваивается с каждой итерацией. Среднее арифметико-геометрическое 24 и 6 является общим пределом этих двух последовательностей, которое составляет примерно 13,458 171 481 725 615 420 766 813 156 974 399 243 053 838 8544 .

История

Первый алгоритм, основанный на этой паре последовательностей, появился в работах Лагранжа . Его свойства были дополнительно проанализированы Гауссом .

Свойства

Среднее геометрическое двух положительных чисел никогда не превышает среднее арифметическое . Итак, g n ₎ — возрастающая последовательность, ( an ₎ ( — убывающая последовательность, и g _n ≤ M ( x , y ) ≤ a _n . Это строгие неравенства, если x ≠ y .

Таким образом, M ( x , y ) представляет собой число между средним геометрическим и средним арифметическим x и y ; это также между x и y .

Если р ≥ 0 , то M ( rx , ry ) знак равно р M ( Икс , y ) .

Существует выражение в целочисленной форме для M ( x , y ) :

$${\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\right)^{-1}\\&=\pi \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {t(t+x^{2})(t+y^{2})}}}\right)^{-1}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}$$

где К ( к ) — полный эллиптический интеграл первого рода :

$$K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}$$

Поскольку арифметико-геометрический процесс сходится так быстро, он обеспечивает эффективный способ вычисления эллиптических интегралов, которые используются, например, при эллиптических фильтров . проектировании

Среднее арифметико-геометрическое связано с тэта-функцией Якоби. $\theta _{3}$ к

$$M(1,x)=\theta _{3}^{-2}\left(\exp \left(-\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp \left(-n^{2}\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)^{-2},$$

который при установке $x=1/{\sqrt {2}}$ дает

$$M(1,1/{\sqrt {2}})=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-n^{2}\pi }\right)^{-2}.$$

Связанные понятия

Обратная величина среднего арифметико-геометрического значения 1 и квадратного корня из 2 является постоянной Гаусса .

$${\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots$$

В 1799 году Гаусс доказал что

$$M(1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }}$$

где $\varpi$ — константа лемнискаты .

В 1941 году $M(1,{\sqrt {2}})$ (и, следовательно, $G$) была доказана трансцендентальностью Теодора Шнайдера . Набор $\{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}})\}$ независима алгебраически над $\mathbb {Q}$, но набор $\{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}}),M'(1,1/{\sqrt {2}})\}$ (где штрих обозначает производную по второй переменной) не является алгебраически независимым над $\mathbb {Q}$. Фактически,

$$\pi =2{\sqrt {2}}{\frac {M^{3}(1,1/{\sqrt {2}})}{M'(1,1/{\sqrt {2}})}}.$$

Среднее геометрическое-гармоническое GH можно вычислить с использованием аналогичных последовательностей средних геометрических и гармонических , и фактически GH( x,y ) = 1/M(1/ x , 1/ y ) = xy /M( x,y ) . Среднее арифметико-гармоническое эквивалентно среднему геометрическому .

Среднее арифметико-геометрическое можно использовать, среди прочего, для вычисления логарифмов , полных и неполных эллиптических интегралов первого и второго рода . и эллиптические функции Якоби .

Доказательство существования

Неравенство средних арифметических и геометрических означает, что

$$g_{n}\leq a_{n}$$

и таким образом

$$g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geq {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}$$

то есть последовательность g _n не убывает и ограничена сверху большим из x и y . По теореме о монотонной сходимости последовательность сходится, поэтому существует g такой, что:

$$\lim _{n\to \infty }g_{n}=g$$

Однако мы также можем видеть, что:

$$a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}$$

и так:

$$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g$$

КЭД

Доказательство выражения в целочисленной форме

Это доказательство дает Гаусс. Позволять

$$I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},$$

Изменение переменной интегрирования на $\theta '$, где

$$\sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},$$

$$\cos \theta ={\frac {\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},$$

$$\cos \theta \ d\theta =2x{\frac {(x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}\ \cos \theta 'd\theta '\ ,$$

$$d\theta ={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}d\theta '\ ,$$

$$x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta ={\frac {x^{2}((x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta ')+4x^{2}y^{2}\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}={\frac {x^{2}((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}$$

Это дает

$${\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}{\frac {((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{x((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}={\frac {2\cos \theta 'd\theta '}{\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}},$$

дает

$${\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}$$

Таким образом, мы имеем

$${\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{aligned}}$$

Последнее равенство получается из наблюдения, что $I(z,z)=\pi /(2z)$.

Наконец, мы получаем желаемый результат

$$M(x,y)=\pi /{\bigl (}2I(x,y){\bigr )}.$$

Приложения

Число π

Согласно алгоритму Гаусса–Лежандра ,

$$\pi ={\frac {4\,M(1,1/{\sqrt {2}})^{2}}{1-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}},$$

где

$$c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-g_{j-1}\right),$$

с $a_{0}=1$ и $g_{0}=1/{\sqrt {2}}$, который можно вычислить без потери точности, используя

$$c_{j}={\frac {c_{j-1}^{2}}{4a_{j}}}.$$

Полный эллиптический интеграл K (sin α )

принимая $a_{0}=1$ и $g_{0}=\cos \alpha$ дает годовое общее собрание

$$M(1,\cos \alpha )={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}},$$

где К ( к ) — полный эллиптический интеграл первого рода :

$$K(k)=\int _{0}^{\pi /2}(1-k^{2}\sin ^{2}\theta )^{-1/2}\,d\theta .$$

То есть этот квартальный период может быть эффективно рассчитан с помощью годового общего собрания акционеров.

$$K(k)={\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}.$$

Другие приложения

Используя это свойство ГОСА вместе с восходящими преобразованиями Джона Ландена , Ричард П. Брент предложил первые алгоритмы AGM для быстрого вычисления элементарных трансцендентных функций ( e ^х , потому что х , грех х ). Впоследствии многие авторы продолжили изучение использования алгоритмов AGM.

См. также

• Трансформация Лэндена
• Алгоритм Гаусса – Лежандра
• Обобщенное среднее

Ссылки

Источники

• Дароци, Золтан; Палес, Жолт (2002). «Гаусс-композиция средних и решение проблемы Матковского – Суто». Публикации Mathematicae Дебрецен . 61 (1–2): 157–218. дои : 10.5486/PMD.2002.2713 .
• «Средний арифметико-геометрический процесс» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].
• Вайсштейн, Эрик В. «Среднее арифметико-геометрическое» . Математический мир .