Серия Рамануджана – Сато

В математике — ряд Рамануджана–Сато. обобщает такие Рамануджана, формулы числа Пи как:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!}{k!^{4}}}{\frac {26390k+1103}{396^{4k}}}$

в форму

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }s(k){\frac {Ak+B}{C^{k}}}$

используя другие четко определенные последовательности целых чисел $s(k)$ подчиняющиеся определенному рекуррентному соотношению , последовательности, которые могут быть выражены через биномиальные коэффициенты ${\tbinom {n}{k}}$, и $A,B,C$ использование модульных форм более высоких уровней.

Рамануджан сделал загадочное замечание о том, что существуют «соответствующие теории», но только в 2012 году Х. Х. Чан и С. Купер нашли общий подход, который использовал базовую подгруппу модульных конгруэнтностей. $\Gamma _{0}(n)$, в то время как Г. Альмквист экспериментально нашел множество других примеров, также используя общий метод с использованием дифференциальных операторов .

Уровни 1–4А были даны Рамануджаном (1914 г.), уровень 5, автор: Х. Х. Чан и С. Купер (2012), 6А Чана, Танигавы, Янга и Зудилина, 6B Сато (2002), 6C Х. Чана, С. Чана и З. Лю (2004), 6D Х. Чана и Х. Веррилла (2009), уровень 7 С. Купера (2012), часть 8- го уровня Альмквиста и Гильеры (2012), часть уровня 10 принадлежит Ю. Янгу, а остальная часть — Х. Х. Чану и С. Куперу.

Обозначение j _n ( τ ) получено из Загера а T _n относится к соответствующему ряду Маккея–Томпсона .

Уровень 1

Примеры для уровней 1–4 были приведены Рамануджаном в его статье 1917 года. Данный $q=e^{2\pi i\tau }$ как и в остальной части этой статьи. Позволять,

${\begin{aligned}j(\tau )&=\left({\frac {E_{4}(\tau )}{\eta ^{8}(\tau )}}\right)^{3}={\frac {1}{q}}+744+196884q+21493760q^{2}+\cdots \\j^{*}(\tau )&=432\,{\frac {{\sqrt {j(\tau )}}+{\sqrt {j(\tau )-1728}}}{{\sqrt {j(\tau )}}-{\sqrt {j(\tau )-1728}}}}={\frac {1}{q}}-120+10260q-901120q^{2}+\cdots \end{aligned}}$

с j-функцией j ( τ ), рядом Эйзенштейна E ₄ и эта-функцией Дедекинда η ( τ ). Первое разложение представляет собой ряд Маккея–Томпсона класса 1А ( OEIS : A007240 ) с a(0) = 744. Обратите внимание, что, как впервые заметил Дж. Маккей , коэффициент при линейном члене j ( τ ) почти равен 196883 , что является степенью наименьшего нетривиального неприводимого представления группы монстров , отношения, называемого чудовищным самогоном . Подобные явления будут наблюдаться и на других уровнях. Определять

$s_{1A}(k)={\binom {2k}{k}}{\binom {3k}{k}}{\binom {6k}{3k}}=1,120,83160,81681600,\ldots$ ( ОЭИС : A001421 )

$s_{1B}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}{\binom {3j}{j}}{\binom {6j}{3j}}{\binom {k+j}{k-j}}(-432)^{k-j}=1,-312,114264,-44196288,\ldots$

Тогда две модульные функции и последовательности связаны соотношением

$\sum _{k=0}^{\infty }s_{1A}(k)\,{\frac {1}{(j(\tau ))^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\pm \sum _{k=0}^{\infty }s_{1B}(k)\,{\frac {1}{(j^{*}(\tau ))^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

если ряд сходится и знак выбран правильно, хотя возведение в квадрат обеих частей легко устраняет двусмысленность. Аналогичные отношения существуют и для более высоких уровней.

Примеры:

${\frac {1}{\pi }}=12\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{1A}(k)\,{\frac {163\cdot 3344418k+13591409}{\left(-640320^{3}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640320^{3}=-262537412640768000$

${\frac {1}{\pi }}=24\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{1B}(k)\,{\frac {-3669+320{\sqrt {645}}\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left({-432}\,U_{645}^{3}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j^{*}\left({\frac {1+{\sqrt {-43}}}{2}}\right)=-432\,U_{645}^{3}=-432\left({\frac {127+5{\sqrt {645}}}{2}}\right)^{3}$

где $645=43\times 15,$ и $U_{n}$ является фундаментальной единицей . Первая принадлежит к семейству формул , строго доказанных братьями Чудновскими в 1989 году. и позже использовался для расчета 10 триллионов цифр числа π в 2011 году. Вторая формула, предназначенная для более высоких уровней, была разработана Его Святейшеством Чаном и С. Купером в 2012 году.

Уровень 2

Используя обозначения Загира для модульной функции уровня 2,

${\begin{aligned}j_{2A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}={\frac {1}{q}}+104+4372q+96256q^{2}+1240002q^{3}+\cdots \\j_{2B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}={\frac {1}{q}}-24+276q-2048q^{2}+11202q^{3}-\cdots \end{aligned}}$

Обратите внимание, что коэффициент линейного члена j _2A ( τ ) на единицу больше 4371, что является наименьшей степенью, большей 1, среди неприводимых представлений группы Baby Monster . Определять,

$s_{2A}(k)={\binom {2k}{k}}{\binom {2k}{k}}{\binom {4k}{2k}}=1,24,2520,369600,63063000,\ldots$ ( ОЭИС : A008977 )

$s_{2B}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}{\binom {2j}{j}}{\binom {4j}{2j}}{\binom {k+j}{k-j}}(-64)^{k-j}=1,-40,2008,-109120,6173656,\ldots$

Затем,

$\sum _{k=0}^{\infty }s_{2A}(k)\,{\frac {1}{(j_{2A}(\tau ))^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\pm \sum _{k=0}^{\infty }s_{2B}(k)\,{\frac {1}{(j_{2B}(\tau ))^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

если ряд сходится и знак выбран правильно.

Примеры:

${\frac {1}{\pi }}=32{\sqrt {2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{2A}(k)\,{\frac {58\cdot 455k+1103}{\left(396^{4}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{2A}\left({\frac {\sqrt {-58}}{2}}\right)=396^{4}=24591257856$

${\frac {1}{\pi }}=16{\sqrt {2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{2B}(k)\,{\frac {-24184+9801{\sqrt {29}}\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(64\,U_{29}^{12}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{2B}\left({\frac {\sqrt {-58}}{2}}\right)=64\left({\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}\right)^{12}=64\,U_{29}^{12}$

Первая формула, найденная Рамануджаном и упомянутая в начале статьи, принадлежит семейству, доказанному Д. Бэйли и братьями Борвейн в статье 1989 года.

Уровень 3

Определять,

${\begin{aligned}j_{3A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+3^{3}\left({\frac {\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}={\frac {1}{q}}+42+783q+8672q^{2}+65367q^{3}+\cdots \\j_{3B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}={\frac {1}{q}}-12+54q-76q^{2}-243q^{3}+1188q^{4}+\cdots \\\end{aligned}}$

где 782 — наименьшая степень, превышающая 1, из неприводимых представлений группы Фишера Fi ₂₃ и,

$s_{3A}(k)={\binom {2k}{k}}{\binom {2k}{k}}{\binom {3k}{k}}=1,12,540,33600,2425500,\ldots$ ( ОЭИС : A184423 )

$s_{3B}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}{\binom {2j}{j}}{\binom {3j}{j}}{\binom {k+j}{k-j}}(-27)^{k-j}=1,-15,297,-6495,149481,\ldots$

Примеры:

${\frac {1}{\pi }}=2\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{3A}(k)\,{\frac {267\cdot 53k+827}{\left(-300^{3}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{3A}\left({\frac {3+{\sqrt {-267}}}{6}}\right)=-300^{3}=-27000000$

${\frac {1}{\pi }}={\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{3B}(k)\,{\frac {12497-3000{\sqrt {89}}\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(-27\,U_{89}^{2}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{3B}\left({\frac {3+{\sqrt {-267}}}{6}}\right)=-27\,\left(500+53{\sqrt {89}}\right)^{2}=-27\,U_{89}^{2}$

Уровень 4

Определять,

${\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}=-\left({\frac {\eta \left({\frac {2\tau +3}{2}}\right)}{\eta (2\tau +3)}}\right)^{24}={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+\cdots \\j_{4C}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{8}={\frac {1}{q}}-8+20q-62q^{3}+216q^{5}-641q^{7}+\ldots \\\end{aligned}}$

где первое — это 24-я степень модульной функции Вебера. ${\mathfrak {f}}(2\tau )$. И,

$s_{4A}(k)={\binom {2k}{k}}^{3}=1,8,216,8000,343000,\ldots$ ( ОЭИС : A002897 )

$s_{4C}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{3}{\binom {k+j}{k-j}}(-16)^{k-j}=(-1)^{k}\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{2}{\binom {2k-2j}{k-j}}^{2}=1,-8,88,-1088,14296,\ldots$ ( ОЭИС : A036917 )

Примеры:

${\frac {1}{\pi }}=8\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{4A}(k)\,{\frac {6k+1}{\left(-2^{9}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{4A}\left({\frac {1+{\sqrt {-4}}}{2}}\right)=-2^{9}=-512$

${\frac {1}{\pi }}=16\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{4C}(k)\,{\frac {1-2{\sqrt {2}}\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(-16\,U_{2}^{4}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{4C}\left({\frac {1+{\sqrt {-4}}}{2}}\right)=-16\,\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4}=-16\,U_{2}^{4}$

Уровень 5

Определять,

${\begin{aligned}j_{5A}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}+5^{3}\left({\frac {\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}+22={\frac {1}{q}}+16+134q+760q^{2}+3345q^{3}+\cdots \\j_{5B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}={\frac {1}{q}}-6+9q+10q^{2}-30q^{3}+6q^{4}+\cdots \end{aligned}}$

и,

$s_{5A}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {k+j}{j}}=1,6,114,2940,87570,\ldots$

$s_{5B}(k)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+k}{\binom {k}{j}}^{3}{\binom {4k-5j}{3k}}=1,-5,35,-275,2275,-19255,\ldots$ ( ОЭИС : A229111 )

где первое — это произведение центральных биномиальных коэффициентов и чисел Апери ( OEIS : A005258 )

Примеры:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {5}{9}}\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{5A}(k)\,{\frac {682k+71}{(-15228)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{5A}\left({\frac {5+{\sqrt {-5(47)}}}{10}}\right)=-15228=-(18{\sqrt {47}})^{2}$

${\frac {1}{\pi }}={\frac {6}{\sqrt {5}}}\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{5B}(k)\,{\frac {25{\sqrt {5}}-141\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(-5{\sqrt {5}}\,U_{5}^{15}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{5B}\left({\frac {5+{\sqrt {-5(47)}}}{10}}\right)=-5{\sqrt {5}}\,\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{15}=-5{\sqrt {5}}\,U_{5}^{15}$

Уровень 6

Модульные функции

В 2002 году Такеши Сато установил первые результаты для уровней выше 4. В нем использовались числа Апери , которые впервые были использованы для установления иррациональности $\zeta (3)$. Сначала определите,

${\begin{aligned}j_{6A}(\tau )&=\left({\sqrt {j_{6B}(\tau )}}-{\frac {1}{\sqrt {j_{6B}(\tau )}}}\right)^{2}=\left({\sqrt {j_{6C}(\tau )}}+{\frac {8}{\sqrt {j_{6C}(\tau )}}}\right)^{2}=\left({\sqrt {j_{6D}(\tau )}}+{\frac {9}{\sqrt {j_{6D}(\tau )}}}\right)^{2}-4={\frac {1}{q}}+10+79q+352q^{2}+\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}j_{6B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2\tau )\eta (3\tau )}{\eta (\tau )\eta (6\tau )}}\right)^{12}={\frac {1}{q}}+12+78q+364q^{2}+1365q^{3}+\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}j_{6C}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )\eta (3\tau )}{\eta (2\tau )\eta (6\tau )}}\right)^{6}={\frac {1}{q}}-6+15q-32q^{2}+87q^{3}-192q^{4}+\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}j_{6D}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )\eta (2\tau )}{\eta (3\tau )\eta (6\tau )}}\right)^{4}={\frac {1}{q}}-4-2q+28q^{2}-27q^{3}-52q^{4}+\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}j_{6E}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2\tau )\eta ^{3}(3\tau )}{\eta (\tau )\eta ^{3}(6\tau )}}\right)^{3}={\frac {1}{q}}+3+6q+4q^{2}-3q^{3}-12q^{4}+\cdots \end{aligned}}$

Феномен $j_{6A}$ квадраты или близкие к квадратам другие функции также будут проявляться $j_{10A}$. Еще одно сходство между уровнями 6 и 10 заключается в том, что Дж. Конвей и С. Нортон показали, что между рядом Маккея – Томпсона T _n существуют линейные зависимости , один из которых был,

$T_{6A}-T_{6B}-T_{6C}-T_{6D}+2T_{6E}=0$

или используя приведенные выше коэффициенты эта j _n ,

$j_{6A}-j_{6B}-j_{6C}-j_{6D}+2j_{6E}=22$

Аналогичное соотношение существует и для уровня 10.

α-последовательности

Модулярной функции j _6A можно сопоставить три разные последовательности. (Аналогичная ситуация имеет место для функции уровня 10 j _10A .) Пусть

$\alpha _{1}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{3}=1,4,60,1120,24220,\ldots$ ( OEIS : A181418 , обозначен как s _{6 )} в статье Купера

$\alpha _{2}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{3}={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {2j}{j}}=1,6,90,1860,44730,\ldots$ ( ОЭИС : A002896 )

$\alpha _{3}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-8)^{k-j}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{3}=1,-12,252,-6240,167580,-4726512,\ldots$

Три последовательности включают произведение центральных биномиальных коэффициентов $c(k)={\tbinom {2k}{k}}$ с: во-первых, числами Франеля $\textstyle \sum _{j=0}^{k}{\tbinom {k}{j}}^{3}$; во-вторых, OEIS : A002893 , и в-третьих, $(-1)^{k}$ ОЭИС : A093388 . Обратите внимание, что вторая последовательность α ₂ ( k ) также представляет собой количество 2 многоугольников с n -ступенями на кубической решетке . Их дополнения,

$\alpha '_{2}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{k-j}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{3}=1,2,42,620,12250,\ldots$

$\alpha '_{3}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(8)^{k-j}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{3}=1,20,636,23840,991900,\ldots$

Существуют также связанные последовательности, а именно числа Апери,

$s_{6B}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {k+j}{j}}^{2}=1,5,73,1445,33001,\ldots$ ( ОЭИС : A005259 )

числа Домба (беззнаковые) или количество 2 n -ступенчатых многоугольников на ромбовидной решетке ,

$s_{6C}(k)=(-1)^{k}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {2(k-j)}{k-j}}{\binom {2j}{j}}=1,-4,28,-256,2716,\ldots$ ( ОЭИС : A002895 )

и числа Альмквиста-Зудилина,

$s_{6D}(k)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}\,3^{k-3j}\,{\frac {(3j)!}{j!^{3}}}{\binom {k}{3j}}{\binom {k+j}{j}}=1,-3,9,-3,-279,2997,\ldots$ ( ОЭИС : A125143 )

где

${\frac {(3j)!}{j!^{3}}}={\binom {2j}{j}}{\binom {3j}{j}}$

Личности

Модульные функции могут быть связаны как:

$P=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{1}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )+4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{3}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )-32\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

$Q=\sum _{k=0}^{\infty }s_{6B}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6B}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }s_{6C}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6C}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }s_{6D}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6D}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

если ряд сходится и знак выбран правильно. Также можно заметить, что,

$P=Q=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )-4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{3}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )+32\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

что подразумевает,

$\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )+4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )-4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

и аналогичным образом используя α ₃ и α' ₃ .

Примеры

Значение j _6A можно использовать тремя способами. Например, начиная с

$\Delta =j_{6A}\left({\sqrt {\frac {-17}{6}}}\right)=198^{2}-4=\left(140{\sqrt {2}}\right)^{2}=39200$

и отмечая, что $3\cdot 17=51$ затем,

${\begin{aligned}{\frac {1}{\pi }}&={\frac {24{\sqrt {3}}}{35}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{1}(k)\,{\frac {51\cdot 11k+53}{(\Delta )^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {4{\sqrt {3}}}{99}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{2}(k)\,{\frac {17\cdot 560k+899}{(\Delta +4)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{3}(k)\,{\frac {770k+73}{(\Delta -32)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\\end{aligned}}$

а также,

${\begin{aligned}{\frac {1}{\pi }}&={\frac {12{\sqrt {3}}}{9799}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{2}(k)\,{\frac {11\cdot 51\cdot 560k+29693}{(\Delta -4)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {6{\sqrt {3}}}{613}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{3}(k)\,{\frac {51\cdot 770k+3697}{(\Delta +32)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\\end{aligned}}$

хотя формулы, использующие дополнения, по-видимому, еще не имеют строгого доказательства. Что касается других модульных функций,

${\frac {1}{\pi }}=8{\sqrt {15}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{6B}(k)\,\left({\frac {1}{2}}-{\frac {3{\sqrt {5}}}{20}}+k\right)\left({\frac {1}{\phi ^{12}}}\right)^{k+{\frac {1}{2}}},\quad j_{6B}\left({\sqrt {\frac {-5}{6}}}\right)=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{12}=\phi ^{12}$

${\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{6C}(k)\,{\frac {3k+1}{32^{k}}},\quad j_{6C}\left({\sqrt {\frac {-1}{3}}}\right)=32$

${\frac {1}{\pi }}=2{\sqrt {3}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{6D}(k)\,{\frac {4k+1}{81^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{6D}\left({\sqrt {\frac {-1}{2}}}\right)=81$

Уровень 7

Определять

$s_{7A}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {2j}{k}}{\binom {k+j}{j}}=1,4,48,760,13840,\ldots$ ( ОЭИС : A183204 )

и,

${\begin{aligned}j_{7A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (7\tau )}}\right)^{2}+7\left({\frac {\eta (7\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{2}\right)^{2}={\frac {1}{q}}+10+51q+204q^{2}+681q^{3}+\cdots \\j_{7B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (7\tau )}}\right)^{4}={\frac {1}{q}}-4+2q+8q^{2}-5q^{3}-4q^{4}-10q^{5}+\cdots \end{aligned}}$

Пример:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {7}}{22^{3}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{7A}(k)\,{\frac {11895k+1286}{\left(-22^{3}\right)^{k}}},\quad j_{7A}\left({\frac {7+{\sqrt {-427}}}{14}}\right)=-22^{3}+1=-\left(39{\sqrt {7}}\right)^{2}=-10647$

еще не найдена Формула числа Пи с использованием j _7B .

Уровень 8

Модульные функции

Уровни $2,4,8$ связаны, поскольку являются степенями одного и того же простого числа. Определять,

${\begin{aligned}j_{4B}(\tau )&={\sqrt {j_{2A}(2\tau )}}=\left({\sqrt {j_{4D}(\tau )}}+{\frac {8}{\sqrt {j_{4D}(\tau )}}}\right)^{2}-16=\left({\sqrt {j_{8A}(\tau )}}-{\frac {4}{\sqrt {j_{8A}(\tau )}}}\right)^{2}=\left({\sqrt {j_{8A'}(\tau )}}+{\frac {4}{\sqrt {j_{8A'}(\tau )}}}\right)^{2}\\&=\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}={\frac {1}{q}}+52q+834q^{3}+4760q^{5}+24703q^{7}+\cdots \\j_{4D}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{12}={\frac {1}{q}}-12q+66q^{3}-232q^{5}+639q^{7}-1596q^{9}+\cdots \\j_{8A}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2\tau )\,\eta (4\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (8\tau )}}\right)^{8}={\frac {1}{q}}+8+36q+128q^{2}+386q^{3}+1024q^{4}+\cdots \\j_{8A'}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )\,\eta ^{2}(4\tau )}{\eta ^{2}(2\tau )\,\eta (8\tau )}}\right)^{8}={\frac {1}{q}}-8+36q-128q^{2}+386q^{3}-1024q^{4}+\cdots \\j_{8B}(\tau )&=\left({\frac {\eta ^{2}(4\tau )}{\eta (2\tau )\,\eta (8\tau )}}\right)^{12}={\sqrt {j_{4A}(2\tau )}}={\frac {1}{q}}+12q+66q^{3}+232q^{5}+639q^{7}+\cdots \\j_{8E}(\tau )&=\left({\frac {\eta ^{3}(4\tau )}{\eta (2\tau )\,\eta ^{2}(8\tau )}}\right)^{4}={\frac {1}{q}}+4q+2q^{3}-8q^{5}-q^{7}+20q^{9}-2q^{11}-40q^{13}+\cdots \end{aligned}}$

Как и на уровне 6, пять из этих функций имеют линейную зависимость:

$j_{4B}-j_{4D}-j_{8A}-j_{8A'}+2j_{8E}=0$

Но это не одна из девяти линейных зависимостей Конвея-Нортона-Аткина, поскольку $j_{8A'}$ это не функция самогона. Однако это связано с тем, что

$j_{8A'}(\tau )=-j_{8A}{\Big (}\tau +{\tfrac {1}{2}}{\Big )}$

Последовательности

$s_{4B}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}4^{k-2j}{\binom {k}{2j}}{\binom {2j}{j}}^{2}={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\binom {2k-2j}{k-j}}{\binom {2j}{j}}=1,8,120,2240,47320,\ldots$

$s_{4D}(k)={\binom {2k}{k}}^{3}=1,8,216,8000,343000,\ldots$

$s_{8A}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {2j}{k}}^{2}=1,4,40,544,8536,\ldots$ ( ОЭИС : A290575 )

$s_{8B}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{3}{\binom {2k-4j}{k-2j}}=1,2,14,36,334,\ldots$

где первый это продукт центрального биномиального коэффициента и последовательности, связанной со средним арифметико-геометрическим ( OEIS : A081085 ).

Личности

Модульные функции могут быть связаны как:

$\pm \sum _{k=0}^{\infty }s_{4B}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{4B}(\tau )+16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }s_{4D}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{4D}(\tau )\right)^{2k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }s_{8A}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{8A}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}s_{8A}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{8A'}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

если ряд сходится и знаки выбраны правильно. Обратите внимание также на различный показатель $\left(j_{4D}(\tau )\right)^{2k+{\frac {1}{2}}}$ от других.

Примеры

Напомним, что $j_{2A}\left({\tfrac {\sqrt {-58}}{2}}\right)=396^{4},$ пока $j_{4B}\left({\tfrac {\sqrt {-58}}{4}}\right)=396^{2}$. Следовательно,

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{13}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{4B}(k)\,{\frac {70\cdot 99\,k+579}{\left(396^{2}+16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\qquad j_{4B}\left({\frac {\sqrt {-58}}{4}}\right)=396^{2}$

${\frac {1}{\pi }}=2{\sqrt {2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{8A}(k)\,{\frac {-222+70{\sqrt {58}}\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(4\left(99+13{\sqrt {58}}\right)^{2}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\qquad j_{8A}\left({\frac {\sqrt {-58}}{4}}\right)=4\left(99+13{\sqrt {58}}\right)^{2}=4U_{58}^{2}$

${\frac {1}{\pi }}=2\,\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}s_{8A}(k)\,{\frac {-222{\sqrt {2}}+13\times 58\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(4\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{12}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\qquad j_{8A'}\left({\frac {\sqrt {-58}}{4}}\right)=4\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{12}=4U_{2}^{12},$

Еще один пример уровня 8:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{16}}{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{8B}(k)\,{\frac {210k+43}{(64)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\qquad j_{8B}\left({\frac {\sqrt {-7}}{4}}\right)=2^{6}=64$

Уровень 9

Определять,

${\begin{aligned}j_{3C}(\tau )&=\left(j(3\tau )\right)^{\frac {1}{3}}=-6+\left({\frac {\eta ^{2}(3\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (9\tau )}}\right)^{6}-27\left({\frac {\eta (\tau )\,\eta (9\tau )}{\eta ^{2}(3\tau )}}\right)^{6}={\frac {1}{q}}+248q^{2}+4124q^{5}+34752q^{8}+\cdots \\j_{9A}(\tau )&=\left({\frac {\eta ^{2}(3\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (9\tau )}}\right)^{6}={\frac {1}{q}}+6+27q+86q^{2}+243q^{3}+594q^{4}+\cdots \\\end{aligned}}$

Разложение первого представляет собой ряд Маккея–Томпсона класса 3C (и связано с кубическим корнем ) j-функции , а второе — разложением класса 9A. Позволять,

$s_{3C}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-3)^{k-3j}{\binom {k}{j}}{\binom {k-j}{j}}{\binom {k-2j}{j}}={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-3)^{k-3j}{\binom {k}{3j}}{\binom {2j}{j}}{\binom {3j}{j}}=1,-6,54,-420,630,\ldots$

$s_{9A}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}\sum _{m=0}^{j}{\binom {k}{m}}{\binom {j}{m}}{\binom {j+m}{k}}=1,3,27,309,4059,\ldots$

где первый — это произведение центральных биномиальных коэффициентов и OEIS : A006077 (хотя и с разными знаками).

Примеры:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {-{\boldsymbol {i}}}{9}}\sum _{k=0}^{\infty }s_{3C}(k)\,{\frac {602k+85}{\left(-960-12\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{3C}\left({\frac {3+{\sqrt {-43}}}{6}}\right)=-960$

${\frac {1}{\pi }}=6\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{9A}(k)\,{\frac {4-{\sqrt {129}}\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(-3{\sqrt {3U_{129}}}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{9A}\left({\frac {3+{\sqrt {-43}}}{6}}\right)=-3{\sqrt {3}}\left(53{\sqrt {3}}+14{\sqrt {43}}\right)=-3{\sqrt {3U_{129}}}$

Уровень 10

Модульные функции

Определять,

${\begin{aligned}j_{10A}(\tau )&=\left({\sqrt {j_{10D}(\tau )}}-{\frac {1}{\sqrt {j_{10D}(\tau )}}}\right)^{2}=\left({\sqrt {j_{6B}(\tau )}}+{\frac {4}{\sqrt {j_{10B}(\tau )}}}\right)^{2}=\left({\sqrt {j_{10C}(\tau )}}+{\frac {5}{\sqrt {j_{10C}(\tau )}}}\right)^{2}-4={\frac {1}{q}}+4+22q+56q^{2}+\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}j_{10B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )\eta (5\tau )}{\eta (2\tau )\eta (10\tau )}}\right)^{4}={\frac {1}{q}}-4+6q-8q^{2}+17q^{3}-32q^{4}+\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}j_{10C}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )\eta (2\tau )}{\eta (5\tau )\eta (10\tau )}}\right)^{2}={\frac {1}{q}}-2-3q+6q^{2}+2q^{3}+2q^{4}+\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}j_{10D}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2\tau )\eta (5\tau )}{\eta (\tau )\eta (10\tau )}}\right)^{6}={\frac {1}{q}}+6+21q+62q^{2}+162q^{3}+\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}j_{10E}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2\tau )\eta ^{5}(5\tau )}{\eta (\tau )\eta ^{5}(10\tau )}}\right)={\frac {1}{q}}+1+q+2q^{2}+2q^{3}-2q^{4}+\cdots \end{aligned}}$

Точно так же, как $j_{6A}$, функция $j_{10A}$ является квадратом или близким к квадрату остальных. Более того, между ними также существуют линейные отношения,

$T_{10A}-T_{10B}-T_{10C}-T_{10D}+2T_{10E}=0$

или используя приведенные выше коэффициенты эта j _n ,

$j_{10A}-j_{10B}-j_{10C}-j_{10D}+2j_{10E}=6$

β-последовательности

Позволять,

$\beta _{1}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{4}=1,2,18,164,1810,\ldots$ ( OEIS : A005260 , обозначено как s ₁₀ в статье Купера)

$\beta _{2}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{-1}{\binom {k}{j}}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{4}=1,4,36,424,5716,\ldots$

$\beta _{3}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{-1}{\binom {k}{j}}(-4)^{k-j}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{4}=1,-6,66,-876,12786,\ldots$

их дополнения,

$\beta _{2}'(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{-1}{\binom {k}{j}}(-1)^{k-j}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{4}=1,0,12,24,564,2784,\ldots$

$\beta _{3}'(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{-1}{\binom {k}{j}}(4)^{k-j}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{4}=1,10,162,3124,66994,\ldots$

и,

$s_{10B}(k)=1,-2,10,-68,514,-4100,33940,\ldots$

$s_{10C}(k)=1,-1,1,-1,1,23,-263,1343,-2303,\ldots$

$s_{10D}(k)=1,3,25,267,3249,42795,594145,\ldots$

хотя для последних трех последовательностей закрытые формы еще не известны.

Личности

Модульные функции могут быть связаны как:

$U=\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{1}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10A}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10A}(\tau )+4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{3}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10A}(\tau )-16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

$V=\sum _{k=0}^{\infty }s_{10B}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10B}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }s_{10C}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10C}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }s_{10D}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10D}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

если ряд сходится. Фактически, также можно заметить, что

$U=V=\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{2}'(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10A}(\tau )-4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{3}'(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10A}(\tau )+16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

Поскольку показатель степени имеет дробную часть, знак квадратного корня должен быть выбран соответствующим образом, хотя это не является проблемой, когда j _n положительно.

Примеры

Как и уровень 6, функцию j _10A уровня 10 можно использовать тремя способами. Начиная с,

$j_{10A}\left({\sqrt {\frac {-19}{10}}}\right)=76^{2}=5776$

и отмечая, что $5\cdot 19=95$ затем,

${\begin{aligned}{\frac {1}{\pi }}&={\frac {5}{\sqrt {95}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{1}(k)\,{\frac {408k+47}{\left(76^{2}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {1}{17{\sqrt {95}}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{2}(k)\,{\frac {19\cdot 1824k+3983}{\left(76^{2}+4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {1}{6{\sqrt {95}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{3}(k)\,\,{\frac {19\cdot 646k+1427}{\left(76^{2}-16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\\end{aligned}}$

а также,

${\begin{aligned}{\frac {1}{\pi }}&={\frac {5}{481{\sqrt {95}}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{2}'(k)\,{\frac {19\cdot 10336k+22675}{\left(76^{2}-4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {5}{181{\sqrt {95}}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{3}'(k)\,{\frac {19\cdot 3876k+8405}{\left(76^{2}+16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\end{aligned}}$

хотя те, кто использует дополнения, еще не имеют строгого доказательства. Предполагаемая формула, использующая одну из последних трех последовательностей:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {\boldsymbol {i}}{\sqrt {5}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{10C}(k){\frac {10k+3}{\left(-5^{2}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{10C}\left({\frac {1+\,{\boldsymbol {i}}}{2}}\right)=-5^{2}$

это означает, что могут быть примеры для всех последовательностей уровня 10.

Уровень 11

Определим ряд Маккея–Томпсона класса 11А:

$j_{11A}(\tau )=(1+3F)^{3}+\left({\frac {1}{\sqrt {F}}}+3{\sqrt {F}}\right)^{2}={\frac {1}{q}}+6+17q+46q^{2}+116q^{3}+\cdots$

или последовательность ( OEIS : A128525 ) и где,

$F={\frac {\eta (3\tau )\,\eta (33\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (11\tau )}}$

и,

$s_{11A}(k)=1,4,28,268,3004,36784,476476,\ldots$ ( ОЭИС : A284756 )

Для последовательности пока не известна замкнутая форма в терминах биномиальных коэффициентов, но она подчиняется соотношению рекуррентному

$(k+1)^{3}s_{k+1}=2(2k+1)\left(5k^{2}+5k+2\right)s_{k}-8k\left(7k^{2}+1\right)s_{k-1}+22k(k-1)(2k-1)s_{k-2}$

с начальными условиями s (0)=1, s (1)=4.

Пример:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {\boldsymbol {i}}{22}}\sum _{k=0}^{\infty }s_{11A}(k)\,{\frac {221k+67}{(-44)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{11A}\left({\frac {1+{\sqrt {\frac {-17}{11}}}}{2}}\right)=-44$

Более высокие уровни

Как отметил Купер, существуют аналогичные последовательности для некоторых более высоких уровней.

Похожие серии

Р. Штайнер нашел примеры с использованием каталонских чисел. $C_{k}$,

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-n}\right)^{2}{\frac {(4z)k+\left(4^{2n-3}-(4n-3)z\right)}{16^{k}}}\qquad z\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 2,\quad n\in \mathbb {N}$

и для этого существует модулярная форма со вторым периодом для k :

$k={\frac {(-20-12{\boldsymbol {i}})+16n}{16}},\qquad k={\frac {(-20+12{\boldsymbol {i}})+16n}{16}}$

Другие подобные серии

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-2}\right)^{2}{\frac {3k+{\frac {1}{4}}}{16^{k}}}$

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {(4z+1)k-z}{16^{k}}}\qquad z\in \mathbb {Z}$

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {-1k+{\frac {1}{2}}}{16^{k}}}$

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {0k+{\frac {1}{4}}}{16^{k}}}$

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {{\frac {k}{5}}+{\frac {1}{5}}}{16^{k}}}$

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {{\frac {k}{3}}+{\frac {1}{6}}}{16^{k}}}$

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {{\frac {k}{2}}+{\frac {1}{8}}}{16^{k}}}$

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {2k-{\frac {1}{4}}}{16^{k}}}$

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {3k-{\frac {1}{2}}}{16^{k}}}$

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k}\right)^{2}{\frac {{\frac {k}{16}}+{\frac {1}{16}}}{16^{k}}}$

с последним (комментарии в OEIS : A013709 ), найденным с помощью линейной комбинации высших частей ряда Уоллиса -Ламберта для ${\tfrac {4}{\pi }}$ и ряд Эйлера для длины окружности эллипса .

Используя определение каталонских чисел с гамма-функцией, например, первое и последнее дают тождества.

${\frac {1}{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+k)}{\Gamma (2+k)}}\right)}^{2}\left(4zk-(4n-3)z+4^{2n-3}\right)\qquad z\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 2,\quad n\in \mathbb {N}$

...

$4=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+k)}{\Gamma (2+k)}}\right)}^{2}(k+1)$.

Последнее также эквивалентно,

${\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2k}{k}}^{2}}{k+1}}\,{\frac {1}{16^{k}}}$

и связано с тем, что

$\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {16^{k}}{k{\binom {2k}{k}}^{2}}}=\pi$

что является следствием приближения Стирлинга .

См. также

• алгоритм Чудновского
• Алгоритм Борвейна

Внешние ссылки

• Числа Франеля
• Серия Маккея – Томпсона
• Приближения к Пи с помощью эта-функции Дедекинда