Теорема Мин-Макса

Не путать с теоремой Минимакса .

«Вариационная теорема» перенаправляется сюда. Не путать с вариационным принципом .

В линейной алгебре и функциональном анализе теорема о мин-максе , или вариационная теорема , или принцип мин-макса Куранта-Фишера-Вейля результат, который дает вариационную характеристику собственных значений компактных — это эрмитовых операторов в гильбертовых пространствах . Его можно рассматривать как отправную точку многих результатов аналогичного характера.

В этой статье сначала обсуждается конечномерный случай и его приложения, прежде чем рассматривать компактные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Мы увидим, что для компактных операторов доказательство основной теоремы по существу использует ту же идею, что и конечномерное рассуждение.

В случае, если оператор неэрмитов, теорема обеспечивает эквивалентную характеристику связанных сингулярных значений . Теорему о мин-максе можно распространить на самосопряженные операторы , ограниченные снизу.

Матрицы

Пусть A — эрмитова размера n × n матрица . Как и во многих других вариационных результатах о собственных значениях, рассматривается фактор Рэлея–Ритца R _A : C ^н \ {0} → R , определенный формулой

$R_{A}(x)={\frac {(Ax,x)}{(x,x)}}$

где (⋅, ⋅) обозначает евклидово скалярное произведение на C ^н . Очевидно, что фактор Рэлея собственного вектора является связанным с ним собственным значением. Эквивалентно частное Рэлея – Ритца можно заменить на

$f(x)=(Ax,x),\;\|x\|=1.$

Для эрмитовых матриц A диапазон непрерывной функции R _A ( x ) или f ( x ) представляет собой компактный интервал [ a , b ] действительной прямой. Максимум b и минимум a являются наибольшим и наименьшим собственным значением A соответственно. Теорема о мин-максе является уточнением этого факта.

Теорема о Мин-Максе

Позволять ${\textstyle A}$ быть эрмитовым в пространстве внутреннего продукта ${\textstyle V}$ с размером ${\textstyle n}$, со спектром, упорядоченным по убыванию ${\textstyle \lambda _{1}\geq ...\geq \lambda _{n}}$.

Позволять ${\textstyle v_{1},...,v_{n}}$ — соответствующие ортогональные собственные векторы единичной длины.

Обратный порядок спектра, так что ${\textstyle \xi _{1}=\lambda _{n},...,\xi _{n}=\lambda _{1}}$.

(неравенство Пуанкаре) — Пусть ${\textstyle M}$ быть подпространством ${\textstyle V}$ с размером ${\textstyle k}$, то существуют единичные векторы ${\textstyle x,y\in M}$, такой, что

${\textstyle \langle x,Ax\rangle \leq \lambda _{k}}$, и ${\textstyle \langle y,Ay\rangle \geq \xi _{k}}$.

Доказательство

Часть 2 является следствием, используя ${\textstyle -A}$.

${\textstyle M}$ это ${\textstyle k}$ размерное подпространство, поэтому, если мы выберем любой список ${\textstyle n-k+1}$ векторы, их размах ${\textstyle N:=span(v_{k},...v_{n})}$ должен пересекаться ${\textstyle M}$ хотя бы в одной строке.

Взять отряд ${\textstyle x\in M\cap N}$. Это то, что нам нужно.

${\textstyle x=\sum _{i=k}^{n}a_{i}v_{i}}$, с ${\textstyle x\in N}$.

С ${\textstyle \sum _{i=k}^{n}|a_{i}|^{2}=1}$, мы находим ${\textstyle \langle x,Ax\rangle =\sum _{i=k}^{n}|a_{i}|^{2}\lambda _{i}\leq \lambda _{k}}$.

теорема мин-макс —

$${\begin{aligned}\lambda _{k}&=\max _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=k\end{array}}\min _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle \\&=\min _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=n-k+1\end{array}}\max _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle {\text{. }}\end{aligned}}$$

Доказательство

Часть 2 является следствием части 1, используя ${\textstyle -A}$.

По неравенству Пуанкаре ${\textstyle \lambda _{k}}$ является верхней границей правой части.

Установив ${\textstyle {\mathcal {M}}=span(v_{1},...v_{k})}$, достигается верхняя граница.

неэрмитовом

Пусть N — нильпотентная матрица

${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.$

Определите коэффициент Рэлея $R_{N}(x)$ точно так же, как указано выше в эрмитовом случае. Тогда легко видеть, что единственное собственное значение N равно нулю, а максимальное значение фактора Рэлея равно нулю. 1/2 ​ ​ . То есть максимальное значение коэффициента Рэлея больше максимального собственного значения.

Приложения

Принцип мин-макса для сингулярных значений

Сингулярные значения { σ _k } квадратной матрицы M являются квадратными корнями собственных значений M * M (эквивалентно MM* ). Непосредственное последствие первого равенства в теореме о мин-максе:

$\sigma _{k}^{\uparrow }=\min _{S:\dim(S)=k}\max _{x\in S,\|x\|=1}(M^{*}Mx,x)^{\frac {1}{2}}=\min _{S:\dim(S)=k}\max _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.$

Сходным образом,

$\sigma _{k}^{\uparrow }=\max _{S:\dim(S)=n-k+1}\min _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.$

Здесь $\sigma _{k}=\sigma _{k}^{\uparrow }$ обозначает к ^й вход в возрастающую последовательность σ, так что $\sigma _{1}\leq \sigma _{2}\leq \cdots$.

Коши

Основная статья: Теорема Пуанкаре о разделении

Пусть A — симметричная матрица размера n × n . Матрица размера m × m B если , где m ≤ n , называется сжатием матрицы A, ортогональная проекция P на подпространство размерности m такая, что PAP* = B. существует Теорема Коши о переплетении гласит:

Теорема. Если собственные значения A равны α ₁ ≤ ... ≤ α _n , а собственные значения B равны β ₁ ≤ ... ≤ β _j ≤ ... ≤ β _m , то для всех j ≤ m ,

$\alpha _{j}\leq \beta _{j}\leq \alpha _{n-m+j}.$

Это можно доказать, используя принцип мин-макса. Пусть β _i имеет соответствующий собственный вектор b _i и S _j — j -мерное подпространство S _j = span{ b ₁ , ..., b _j }, тогда

$\beta _{j}=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(Bx,x)=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)\geq \min _{S_{j}}\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)=\alpha _{j}.$

Согласно первой части min-max, α _j ≤ β _j . С другой стороны, если мы определим S _{m − j +1} = span{ b _j , ..., b _m }, то

$\beta _{j}=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(Bx,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)\leq \alpha _{n-m+j},$

где последнее неравенство задается второй частью min-max.

Когда n − m = 1 , мы имеем α _j ≤ β _j ≤ α _{j +1} , отсюда и название теоремы переплетения .

Компактные операторы

Пусть A — компактный эрмитов оператор в гильбертовом H. пространстве Напомним, что спектр такого оператора (множество собственных значений) представляет собой набор действительных чисел, единственная возможная точка кластеризации которого равна нулю. Таким образом, удобно перечислить положительные собственные значения оператора A в виде

$\cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots \leq \lambda _{1},$

где записи повторяются с кратностью , как и в матричном случае. (Чтобы подчеркнуть, что последовательность убывающая, можно написать $\lambda _{k}=\lambda _{k}^{\downarrow }$.) Когда H бесконечномерен, указанная выше последовательность собственных значений обязательно бесконечна. Теперь применим те же рассуждения, что и в матричном случае. Полагая S _k ⊂ H — k -мерное подпространство, мы можем получить следующую теорему.

Теорема (Мин-Макс). Пусть A — компактный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H , положительные собственные значения которого перечислены в порядке убывания ... ≤ λ _k ≤ ... ≤ λ ₁ . Затем:

${\begin{aligned}\max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow },\\\min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow }.\end{aligned}}$

Аналогичная пара равенств справедлива и для отрицательных собственных значений.

Доказательство

Пусть S' — замыкание линейной оболочки $S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}$.Подпространство S' имеет коразмерность k - 1. По тому же аргументу подсчета размерностей, что и в матричном случае, S' ∩ S _k имеет положительную размерность. Итак, существует x ∈ S' ∩ Sk _{такой ,} что $\|x\|=1$. Поскольку это элемент S' , такой x обязательно удовлетворяет

$(Ax,x)\leq \lambda _{k}.$

Следовательно, для всех S _k

$\inf _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}$

Но A компактен, поэтому функция f ( x ) = ( Ax , x ) слабо непрерывна. Более того, любое ограниченное множество в H слабо компактно. Это позволяет заменить нижнюю границу минимумом:

$\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.$

Так

$\sup _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.$

Потому что равенство достигается тогда, когда $S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}$,

$\max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.$

Это первая часть теоремы о мин-максе для компактных самосопряженных операторов.

Аналогично, рассмотрим теперь ( k − 1) -мерное подпространство S _{k −1} , ортогональное дополнение которого обозначается через S _{k −1.} ^⊥ . Если S' = span{ u ₁ ... u _k },

$S'\cap S_{k-1}^{\perp }\neq {0}.$

Так

$\exists x\in S_{k-1}^{\perp }\,\|x\|=1,(Ax,x)\geq \lambda _{k}.$

Это подразумевает

$\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}$

компактность A. где применена Индекс вышеприведенного набора k-1 -мерных подпространств дает

$\inf _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}.$

Возьмем S _{k −1} = span{ u ₁ , ..., u _{k −1} } и выведем

$\min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.$

Самосопряженные операторы

Теорема о мин-максе также применима к (возможно, неограниченным) самосопряженным операторам. Напомним, существенным спектром является спектр без изолированных собственных значений конечной кратности. Иногда у нас есть собственные значения ниже существенного спектра, и нам хотелось бы аппроксимировать собственные значения и собственные функции.

Теорема (Мин-Макс). Пусть A самосопряжено и пусть $E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots$ — собственные значения оператора A ниже существенного спектра. Затем

$E_{n}=\min _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}\max\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \in \operatorname {span} (\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}),\,\|\psi \|=1\}$.

Если у нас есть только N собственных значений и, следовательно, у нас закончились собственные значения, то мы позволяем $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ (нижняя часть существенного спектра) для n>N , и приведенное выше утверждение справедливо после замены min-max на inf-sup.

Теорема (Макс-Мин). Пусть A самосопряжено и пусть $E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots$ — собственные значения оператора A ниже существенного спектра. Затем

$E_{n}=\max _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1}}\min\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \perp \psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1},\,\|\psi \|=1\}$.

Если у нас есть только N собственных значений и, следовательно, у нас закончились собственные значения, то мы позволяем $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ (нижняя часть существенного спектра) для n > N , и приведенное выше утверждение справедливо после замены max-min на sup-inf.

Доказательства используйте следующие результаты о самосопряженных операторах:

Теорема. Пусть A самосопряженная. Затем $(A-E)\geq 0$ для $E\in \mathbb {R}$ тогда и только тогда, когда $\sigma (A)\subseteq [E,\infty )$.

Теорема. Если А самосопряжено, то

$\inf \sigma (A)=\inf _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle$

и

$\sup \sigma (A)=\sup _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle$.

См. также

• Принцип минимакса Куранта
• Неравенство Макс-Мин

Внешние ссылки и цитаты на соответствующие работы

• Фиск, Стив (2005). «Очень краткое доказательство теоремы Коши о переплетении собственных значений эрмитовых матриц». arXiv : math/0502408 .
• Хван, Сук-Гын (2004). «Теорема Коши о переплетении собственных значений эрмитовых матриц» . Американский математический ежемесячник . 111 (2): 157–159. дои : 10.2307/4145217 . JSTOR   4145217 .
• Клайн, Джеффри (2020). «Эрмитовы матрицы с границами и суммы функции Мёбиуса» . Линейная алгебра и ее приложения . 588 : 224–237. дои : 10.1016/j.laa.2019.12.004 .
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1978). Методы современной математической физики IV: Анализ операторов . Академическая пресса. ISBN  978-0-08-057045-7 .