Спиновая группа

В математике спиновая группа , обозначаемая Spin( n ), ^[1]^[2] — группа Ли , основное многообразие которой является двойным покрытием специальной ортогональной группы SO( n ) = SO( n , R ) , такая, что существует короткая точная последовательность групп Ли (когда n ≠ 2 )

1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1.

Групповой закон умножения на двойном накрытии задается снятием умножения на $\operatorname {SO} (n)$ .

Таким образом , как группа Ли, Spin( n ) разделяет свою n размерность ( n - 1)/2 и свою алгебру Ли со специальной ортогональной группой.

Для n > 2 Spin( n ) односвязен и поэтому совпадает с универсальным покрытием SO ( n ) .

Нетривиальный элемент ядра обозначается −1, его не следует путать с ортогональным преобразованием отражения через начало координат , обычно обозначаемым $-I$ .

Spin( n ) можно построить как подгруппу обратимых элементов в алгебре Клиффорда Cl( n ). В отдельной статье обсуждаются спиновые представления .

Мотивация и физическая интерпретация

Спиновая группа используется в физике для описания симметрии (электрически нейтральных, незаряженных) фермионов . Его комплексификация Spinc используется для описания электрически заряженных фермионов, особенно электрона . Строго говоря, спиновая группа описывает фермион в нульмерном пространстве; однако пространство не является нульмерным, и поэтому спиновая группа используется для определения спиновых структур на (псевдо) римановых многообразиях : спиновая группа является структурной группой спинорного расслоения . Аффинная связность на спинорном расслоении — это спиновая связность ; спиновая связь может упростить расчеты в общей теории относительности . Спиновая связь, в свою очередь, позволяет уравнение Дирака записать в искривленном пространстве-времени (фактически в тетрадных координатах), что, в свою очередь, обеспечивает основу для квантовой гравитации , а также формализацию излучения Хокинга (где одна из пары запутанных виртуальные фермионы выпадают за горизонт событий, а другие — нет).

Строительство

Построение спиновой группы часто начинается с построения алгебры Клиффорда над вещественным векторным пространством V с определенной квадратичной формой q . ^[3] Алгебра Клиффорда — это фактор тензорной алгебры T V группы V по двустороннему идеалу. Тензорная алгебра (по действительным числам) может быть записана как

\mathrm {T} V=\mathbb {R} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus \cdots

Алгебра Клиффорда Cl( V ) тогда является факторалгеброй

\operatorname {Cl} (V)=\mathrm {T} V/\left(v\otimes v-q(v)\right),

где $q(v)$ - квадратичная форма, примененная к вектору $v\in V$ . Полученное пространство является конечномерным, естественно градуированным (как векторное пространство) и может быть записано как

\operatorname {Cl} (V)=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{1}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Cl} ^{n}

где $n$ это размерность $V$ , $\operatorname {Cl} ^{0}=\mathbf {R}$ и $\operatorname {Cl} ^{1}=V$ . Спиновая алгебра ${\mathfrak {spin}}$ определяется как

\operatorname {Cl} ^{2}={\mathfrak {spin}}(V)={\mathfrak {spin}}(n),

где последнее является сокращением от V, являющегося действительным векторным пространством действительной размерности n . Это алгебра Ли ; он имеет естественное действие на V , и таким образом можно показать, что он изоморфен алгебре Ли. ${\mathfrak {so}}(n)$ специальной ортогональной группы .

Группа контактов $\operatorname {Pin} (V)$ является подгруппой $\operatorname {Cl} (V)$ Группа Клиффорда всех элементов формы

v_{1}v_{2}\cdots v_{k},

где каждый $v_{i}\in V$ имеет единичную длину: $q(v_{i})=1.$

Тогда спиновая группа определяется как

\operatorname {Spin} (V)=\operatorname {Pin} (V)\cap \operatorname {Cl} ^{\text{even}},

где $\operatorname {Cl} ^{\text{even}}=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \operatorname {Cl} ^{4}\oplus \cdots$ — это подпространство, порожденное элементами, которые являются произведением четного числа векторов. То есть Spin( V ) состоит из всех элементов Pin( V ), приведенных выше, с ограничением, что k должно быть четным числом. Ограничение на четное подпространство является ключом к формированию двухкомпонентных (вейлевских) спиноров, построенных ниже.

Если набор $\{e_{i}\}$ являются ортонормированным базисом (вещественного) векторного пространства V , то указанный выше фактор наделяет пространство естественной антикоммутирующей структурой:

e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}

для

i\neq j,

что следует из рассмотрения $v\otimes v$ для $v=e_{i}+e_{j}$ . Эта антикоммутация оказывается важной в физике, поскольку она отражает дух принципа Паули для фермионов . Точная формулировка здесь выходит за рамки, но она предполагает создание спинорного расслоения в пространстве-времени Минковского ; Полученные спинорные поля можно рассматривать как антикоммутирующие как побочный продукт конструкции алгебры Клиффорда. Это антикоммутационное свойство также является ключом к формулировке суперсимметрии . Алгебра Клиффорда и спиновая группа обладают множеством интересных и любопытных свойств, некоторые из которых перечислены ниже.

Геометрическая конструкция

Спиновые группы можно построить менее явно, но без обращения к алгебрам Клиффорда. Как многообразие, $\operatorname {Spin} (n)$ это двойная обложка $\operatorname {SO} (n)$ . Его закон умножения можно определить подъемом следующим образом. Вызов карты покрытия $p:\operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)$ . Затем $p^{-1}(\{e\})$ представляет собой набор из двух элементов, и один из них можно без ограничения общности выбрать в качестве тождественного. Позвони сюда ${\tilde {e}}$ . Затем, чтобы определить умножение в $\operatorname {Spin} (n)$ , для $a,b\in \operatorname {Spin} (n)$ выбирать пути $\gamma _{a},\gamma _{b}$ удовлетворяющий $\gamma _{a}(0)=\gamma _{b}(0)={\tilde {e}}$ , и $\gamma _{a}(1)=a,\gamma _{b}(1)=b$ . Они определяют путь $\gamma$ в $\operatorname {SO} (n)$ определенный $\gamma (t)=p(\gamma _{a}(t))\cdot p(\gamma _{b}(t))$ удовлетворяющий $\gamma (0)=e$ . С $\operatorname {Spin} (n)$ двойная крышка, есть уникальный лифт ${\tilde {\gamma }}$ из $\gamma$ с ${\tilde {\gamma }}(0)={\tilde {e}}$ . Затем определите продукт как $a\cdot b={\tilde {\gamma }}(1)$ .

Затем можно показать, что это определение не зависит от путей $\gamma _{a},\gamma _{b}$ , что умножение непрерывно, а аксиомы группы удовлетворяют непрерывности инверсии, что делает $\operatorname {Spin} (n)$ группа Лжи.

Двойное покрытие

Для квадратичного пространства V двойное покрытие SO( V ) с помощью Spin( V ) может быть задано явно следующим образом. Позволять $\{e_{i}\}$ быть ортонормированным базисом для V . Определите антиавтоморфизм $t:\operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)$ к

\left(e_{i}e_{j}\cdots e_{k}\right)^{t}=e_{k}\cdots e_{j}e_{i}.

Это можно распространить на все элементы $a,b\in \operatorname {Cl} (V)$ по линейности. Это антигомоморфизм, поскольку

(ab)^{t}=b^{t}a^{t}.

Обратите внимание, что Pin( V ) может быть определен как все элементы $a\in \operatorname {Cl} (V)$ для чего

aa^{t}=1.

Теперь определим автоморфизм $\alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)$ который на элементах степени 1 определяется выражением

\alpha (v)=-v,\quad v\in V,

и пусть $a^{*}$ обозначать $\alpha (a)^{t}$ , который является антиавтоморфизмом Cl( V ). В этих обозначениях явным двойным накрытием является гомоморфизм $\operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)$ данный

\rho (a)v=ava^{*},

где $v\in V$ . Когда a имеет степень 1 (т.е. $a\in V$ ), $\rho (a)$ соответствует отражению через гиперплоскость, ортогональную a ; это следует из антикоммутационного свойства алгебры Клиффорда.

Это дает двойное покрытие как O( V ) с помощью Pin( V ), так и SO( V ) с помощью Spin( V ), потому что $a$ дает то же преобразование, что и $-a$ .

Спинорное пространство

Учитывая этот формализм, стоит рассмотреть, как спинорное пространство и спиноры Вейля устроены . Для реального векторного пространства V размерности n = 2 m четного числа его комплексификация равна $V\otimes \mathbf {C}$ . Его можно записать как прямую сумму подпространства $W$ спиноров и подпространства ${\overline {W}}$ антиспиноров:

V\otimes \mathbf {C} =W\oplus {\overline {W}}

Пространство $W$ натянут спинорами $\eta _{k}=\left(e_{2k-1}-ie_{2k}\right)/{\sqrt {2}}$ для $1\leq k\leq m$ и комплексно-сопряженные спиноры охватывают ${\overline {W}}$ . Несложно видеть, что спиноры антикоммутируют и что произведение спинора и антиспинора является скаляром.

Спинорное пространство определяется как внешняя алгебра $\textstyle {\bigwedge }W$ . (Комплексифицированная) алгебра Клиффорда естественно действует на этом пространстве; (комплексифицированная) спиновая группа соответствует сохраняющим длину эндоморфизмам . Во внешней алгебре существует естественная градуировка: произведение нечетного числа копий $W$ соответствуют физическому понятию фермионов; четное подпространство соответствует бозонам. Представления о действии спиновой группы на спинорное пространство строятся сравнительно просто. ^[3]

Сложный случай

Спин ^С группа определяется точной последовательностью

1\to \mathrm {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.

Это мультипликативная подгруппа комплексификации . $\operatorname {Cl} (V)\otimes \mathbf {C}$ алгебры Клиффорда, а именно, это подгруппа, порожденная Spin( ) и единичным кругом в C. V Альтернативно, это частное

\operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(V)=\left(\operatorname {Spin} (V)\times S^{1}\right)/\sim

где эквивалентность $\sim$ отождествляет ( а , ты ) с (- а , - ты ) .

Это имеет важные приложения в теории 4-многообразий и теории Зайберга – Виттена . В физике группа Spin подходит для описания незаряженных фермионов, а группа Spin ^С Группа используется для описания электрически заряженных фермионов. В этом случае симметрия U (1) представляет собой именно группу электромагнетизма калибровочную .

Исключительные изоморфизмы

существуют изоморфизмы, В малых размерностях среди классических групп Ли называемые исключительными изоморфизмами . Например, существуют изоморфизмы между маломерными спиновыми группами и некоторыми классическими группами Ли вследствие маломерных изоморфизмов между системами корней (и соответствующими изоморфизмами диаграмм Дынкина ) различных семейств простых алгебр Ли . Написание R для действительных чисел, C для комплексных чисел, H для кватернионов и общее понимание того, что Cl( n ) является сокращением для Cl( R ^н) и что Spin( n ) является сокращением от Spin( R ^н) и так далее, тогда получается ^[3]

кл. ^даже(1) = R действительные числа

Pin(1) = {+i, −i, +1, −1}

Spin(1) = O(1) = {+1, −1} ортогональная группа нулевой размерности.

--

кл. ^даже(2) = C комплексные числа

Spin(2) = U(1) = SO(2) , действующий на z в R ² двойным чередованием фаз z ↦ u ²з . Соответствует абелеву

D_{1}

. тусклый = 1

--

кл. ^даже(3) H кватернионы =

Spin(3) = Sp(1) = SU(2) , что соответствует

B_{1}\cong C_{1}\cong A_{1}

. тусклый = 3

--

кл. ^даже(4) = Н ⊕ Н

Spin(4) = SU(2) × SU(2), что соответствует

D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}

. тусклый = 6

--

кл. ^даже(5)= M(2, H ) матрицы два на два с кватернионными коэффициентами

Spin(5) = Sp(2) , что соответствует

B_{2}\cong C_{2}

. тусклый = 10

--

кл. ^даже(6)= M(4, C ) матрицы размером четыре на четыре с комплексными коэффициентами

Spin(6) = SU(4) , что соответствует

D_{3}\cong A_{3}

. тусклый = 15

Некоторые остатки этих изоморфизмов остались для n = 7, 8 ( см. Spin(8) более подробно ). При более высоких n эти изоморфизмы полностью исчезают.

Неопределенная подпись

В неопределенной сигнатуре спиновая группа Spin( p , q ) строится с помощью алгебр Клиффорда аналогично стандартным спиновым группам. Это двойное покрытие SO 0 ₍ p , q ) , связного компонента единицы неопределенной ортогональной группы SO ( p , q ) . Для p + q > 2 Spin ( p , q ) связен; для ( p , q ) = (1, 1) есть две компоненты связности. ^[4]^: 193 Как и в определенной сигнатуре, в малых размерностях есть несколько случайных изоморфизмов:

Спин(1, 1) = GL(1, R )

Спин(2, 1) = SL(2, R )

Спин(3, 1) = SL(2, C )

Спин(2, 2) = SL(2, R ) × SL(2, R )

Спин(4, 1) = Sp(1, 1)

Спин(3, 2) = Sp(4, R )

Спин(5, 1) = SL(2, Н )

Спин(4, 2) = SU(2, 2)

Спин(3, 3) = SL(4, R )

Спин(6, 2) = SU(2, 2, H )

Обратите внимание, что Spin( p , q ) = Spin( q , p ) .

Топологические соображения

Связные и односвязные группы Ли классифицируются по их алгебре Ли. Итак, если G — связная группа Ли с простой алгеброй Ли, где G ′ является покрытием G универсальным , существует включение

\pi _{1}(G)\subset \operatorname {Z} (G'),

с Z( G ′) центром G ′ . Это включение и алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ G G полностью определяют когда (обратите внимание, что это не тот случай, ${\mathfrak {g}}$ и π ₁ ( G определяют G ) полностью ; например, SL(2, R ) и PSL(2, R ) имеют одну и ту же алгебру Ли и одну и ту же фундаментальную группу Z , но не изоморфны).

Все определенные сигнатуры Spin( n ) односвязны при n > 2, поэтому они являются универсальными покрытиями SO( n ).

В неопределенной сигнатуре Spin( p , q ) не обязательно связен, и, вообще говоря , единичный компонент Spin ₀ ( p , q ) не является односвязным, поэтому он не является универсальным покрытием. Фундаментальную группу легче всего понять, рассмотрев максимальную компактную подгруппу SO( p , q ), которая есть SO( p ) × SO( q ), и отметив, что она не является продуктом 2-кратных накрытий (следовательно, 4-кратное накрытие), Spin( p , q ) — «диагональное» 2-кратное накрытие — это 2-кратное частное 4-кратного накрытия. Явно максимальная компактная связная подгруппа Spin( p , q ) равна

Спин( р ) × Спин( q )/{(1, 1), (−1, −1)}.

Это позволяет нам вычислить фундаментальные группы SO( p , q ), принимая p ≥ q :

\pi _{1}({\mbox{SO}}(p,q))={\begin{cases}0&(p,q)=(1,1){\mbox{ or }}(1,0)\\\mathbb {Z} _{2}&p>2,q=0,1\\\mathbb {Z} &(p,q)=(2,0){\mbox{ or }}(2,1)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &(p,q)=(2,2)\\\mathbb {Z} &p>2,q=2\\\mathbb {Z} _{2}&p,q>2\\\end{cases}}

Таким образом, если p , q > 2, фундаментальной группой является Z ₂ , поскольку она представляет собой 2-кратный фактор произведения двух универсальных накрытий.

Отображения фундаментальных групп имеют следующий вид. Для p , q > 2 это означает, что отображение π ₁ (Spin( p , q )) → π ₁ (SO( p , q )) задается формулой 1 ∈ Z _2, переходящей в (1, 1) ∈ Z _2. × Z ₂ . Для p = 2, q > 2 это отображение задается формулой 1 ∈ Z → (1,1) ∈ Z × Z ₂ . И, наконец, для p = q = 2 , (1, 0) ∈ Z × Z отправляется в (1,1) ∈ Z × Z , а (0, 1) отправляется в (1, −1) .

Фундаментальные группы SO(n)

Фундаментальные группы $\pi _{1}(\operatorname {SO} (n))$ может быть более непосредственно выведено с использованием результатов теории гомотопий . В частности, мы можем найти $\pi _{1}(\operatorname {SO} (n))$ для $n>3$ поскольку три самых маленьких имеют знакомые основные многообразия: $SO(1)$ - точечное многообразие, $SO(2)\cong S^{1}$ , и $SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3}$ (показано с использованием представления «ось-угол» ).

Доказательство использует известные результаты алгебраической топологии . ^[5]

Доказательство
First consider the action of $\operatorname {SO} (n)$ on $\mathbb {R} ^{n}$ , in particular on the vector $v=(1,0,\cdots ,0)$ . The orbit of this vector is ${\text{Orbit}}_{{\text{SO}}(n)}(v)=S^{n-1}$ , while the stabilizer is ${\text{Stab}}_{{\text{SO}}(n)}(v)={\text{SO}}(n-1)$ . Thus from the orbit-stabilizer theorem one obtains an isomorphism ${\text{SO}}(n)/{\text{SO}}(n-1)\cong S^{n-1}.$ Geometrically, this provides a fibration ${\text{SO}}(n-1)\rightarrow {\text{SO}}(n)\rightarrow S^{n-1}.$ Then Theorem 4.41 in Hatcher tells us that there is a long exact sequence of homotopy groups $\cdots \rightarrow \pi _{k}({\text{SO}}(n-1))\rightarrow \pi _{k}({\text{SO}}(n))\rightarrow \pi _{k}(S^{n-1})\rightarrow \pi _{k-1}({\text{SO}}(n-1))\rightarrow \cdots$ and we concentrate on a section at the end of the sequence: $\pi _{2}(S^{n-1})\rightarrow \pi _{1}({\text{SO}}(n-1))\rightarrow \pi _{1}({\text{SO}}(n))\rightarrow \pi _{1}(S^{n-1}).$ Corollary 4.9 in Hatcher states $\pi _{k}(S^{n})=0$ for $k<n$ . So for $n>3$ , the exact sequence becomes $0\rightarrow \pi _{1}({\text{SO}}(n-1))\rightarrow \pi _{1}({\text{SO}}(n))\rightarrow 0,$ hence $\pi _{1}({\text{SO}}(n))$ and $\pi _{1}({\text{SO}}(n-1))$ are isomorphic as long as $n>3$ , so for $n>3$ , we have $\pi _{1}({\text{SO}}(n))\cong \pi _{1}({\text{SO}}(3))$ . And since ${\text{SO}}(3)\cong \mathbb {RP} ^{3}\cong S^{3}/\{\pm 1\}$ , we get $\pi _{1}({\text{SO}}(3))\cong \mathbb {Z} _{2}$ .

Тот же аргумент можно использовать, чтобы показать $\pi ({\text{SO}}(1,n)^{\uparrow })\cong \pi ({\text{SO}}(n))$ , рассматривая расслоение ${\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(1,n)^{\uparrow }\rightarrow H^{n},$ где $H^{n}$ — верхний лист двуполостного гиперболоида , стягиваемого , и ${\text{SO}}(1,n)^{\uparrow }$ является единичной компонентой собственной группы Лоренца (собственной ортохронной группы Лоренца).

Центр

Центры спиновых групп для n ≥ 3 (комплексные и действительные) задаются следующим образом: ^[4]^: 208

{\begin{aligned}\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n,\mathbf {C} ))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&n=2k+1\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k\\\end{cases}}\\\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (p,q))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&p{\text{ or }}q{\text{ odd}}\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\end{cases}}\end{aligned}}

Факторные группы

Факторгруппы могут быть получены из спиновой группы путем факторизации по подгруппе центра, причем спиновая группа тогда является накрывающей группой полученного фактора, и обе группы имеют одну и ту же алгебру Ли.

Факторизация по всему центру дает минимальную такую группу, проективную специальную ортогональную группу , которая является бесцентровой , а факторизация по {±1} дает специальную ортогональную группу - если центр равен {±1} (а именно в нечетном измерении) , эти две факторгруппы согласуются. Если спиновая группа односвязна (как Spin( n ) для n > 2 ), то Spin является максимальной группой в последовательности, и одна имеет последовательность из трех групп,

Спин( n ) → SO( n ) → PSO( n ),

разделение по паритету дает:

Спин(2 n ) → SO(2 n ) → PSO(2 n ),

Спин(2 n +1) → SO(2 n +1) = PSO(2 n +1),

которые представляют собой три компактные вещественные формы (или две, если SO = PSO ) компактной алгебры Ли. ${\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} ).$

Гомотопические группы накрытия и фактора связаны длинной точной последовательностью расслоения с дискретным слоем (слой является ядром) – таким образом, все гомотопические группы для k > 1 равны, но π ₀ и π ₁ могут различаться. .

Для n > 2 Spin( n ) односвязен ( π ₀ = π ₁ = Z ₁ тривиально), поэтому SO( n ) связен и имеет фундаментальную группу Z _2, тогда как PSO( n ) связен и имеет фундаментальную группу, равную в центр Spin( n ).

В неопределенной сигнатуре накрытия и гомотопические группы более сложны – Spin( p , q ) не является односвязным, и факторизация также влияет на компоненты связности. Анализ упрощается, если рассматривать максимальный (связный) компакт SO( p ) × SO( q ) ⊂ SO( p , q ) и компонентов группу Spin( p , q ) .

Башня Уайтхеда

Спиновая группа появляется в башне Уайтхеда , закрепленной ортогональной группой :

\ldots \rightarrow {\text{Fivebrane}}(n)\rightarrow {\text{String}}(n)\rightarrow {\text{Spin}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{O}}(n)

Башня получается последовательным удалением (убийством) гомотопических групп возрастающего порядка. Это делается путем построения коротких точных последовательностей, начинающихся с пространства Эйленберга – Маклейна для удаляемой гомотопической группы. Убивая $гомотопическую группу π$ ₃ в Spin( n ), мы получаем бесконечномерную струнную группу String( n ).

Дискретные подгруппы

Дискретные подгруппы спиновой группы можно понять, связав их с дискретными подгруппами специальной ортогональной группы ( точечные группы вращения ).

Учитывая двойное накрытие Spin( n ) → SO( n ) , по теореме о решетке существует связь Галуа между подгруппами Spin( n ) и подгруппами SO( n ) (точечными группами вращения): образ подгруппы из Spin( n ) является вращательной точечной группой, а прообраз точечной группы является подгруппой Spin( n ), а оператор замыкания на подгруппах Spin( n ) является умножением на {±1}. Их можно назвать «бинарными точечными группами»; наиболее известен трехмерный случай, известный как бинарные полиэдральные группы .

Конкретно, каждая бинарная точечная группа является либо прообразом точечной группы (поэтому обозначается 2 G для точечной группы G ), либо является подгруппой индекса 2 прообраза точечной группы, которая отображается (изоморфно) на точечную группу; в последнем случае полная бинарная группа абстрактно $\mathrm {C} _{2}\times G$ (так как {±1} центральный). В качестве примера последнего рассмотрим циклическую группу нечетного порядка. $\mathrm {Z} _{2k+1}$ в SO( n ) его прообраз представляет собой циклическую группу удвоенного порядка, $\mathrm {C} _{4k+2}\cong \mathrm {Z} _{2k+1}\times \mathrm {Z} _{2},$ и подгруппа Z _{2 k +1} < Spin( n ) изоморфно отображается в Z _{2 k +1} < SO( n ) .

Особо следует отметить две серии:

высшие бинарные тетраэдрические группы , соответствующие 2-кратному покрытию симметрий n -симплекса; эту группу также можно рассматривать как двойное накрытие симметрической группы 2⋅A n _→ An _, где знакопеременная группа является (вращательной) группой симметрии n -симплекса.
высшие бинарные октаэдрические группы , соответствующие 2-кратным покрытиям гипероктаэдрической группы (симметрии гиперкуба или , что эквивалентно, его двойственного перекрестного многогранника ).

Для групп точек, которые меняют ориентацию, ситуация более сложная, поскольку существует две группы контактов , поэтому существует две возможные двоичные группы, соответствующие данной группе точек.

См. также

Связанные группы

Группа Pin Pin( n ) – двукратное накрытие ортогональной группы , O( n )
Метаплектическая группа Mp(2 n ) – двукратное накрытие симплектической группы , Sp(2 n )
String group String(n) – следующая группа в башне Уайтхеда.

Ссылки

^ Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08542-5 . стр. 14
^ Фридрих, Томас (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2055-1 стр. 15
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Юрген Йост, Риманова геометрия и геометрический анализ , (2002) Springer Verlag ISBN 3-540-42627-2 (см. главу 1.)
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Варадараджан, В.С. (2004). Суперсимметрия для математиков: введение . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0821835742 . OCLC 55487352 .
^ Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология (PDF) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521795401 . Проверено 24 февраля 2023 г.

Внешние ссылки

Основной размерностью спиновых групп является OEIS:A280191 .
«Индекс кручения» Гротендика — OEIS:A096336 .

Дальнейшее чтение

Каруби, Макс (2008). К-теория . Спрингер. стр. 210–214. ISBN 978-3-540-79889-7 .

[1] Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08542-5 . стр. 14

[2] Фридрих, Томас (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2055-1 стр. 15

[jost-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Юрген Йост, Риманова геометрия и геометрический анализ , (2002) Springer Verlag ISBN 3-540-42627-2 (см. главу 1.)

[:0-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Варадараджан, В.С. (2004). Суперсимметрия для математиков: введение . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0821835742 . OCLC 55487352 .

[hatcher-5] Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология (PDF) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521795401 . Проверено 24 февраля 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]