Компонент идентичности

В математике , особенно в теории групп , компонент единицы группы G связной (также известный как ее компонент единицы ) относится к нескольким тесно связанным понятиям наибольшей содержащей подгруппы группы G, элемент единицы.

В топологии точечного множества единичным компонентом топологической группы G является компонент связности G. ⁰ группы G , которая содержит единичный элемент группы. Компонент единичного пути топологической группы G — это компонент пути G , который содержит единичный элемент группы.

В алгебраической геометрии единичный компонент алгебраической группы G над полем k является единичным компонентом основного топологического пространства. Единичная компонента групповой схемы G над базовой схемой S — это, грубо говоря, групповая схема G ⁰ которого слой над точкой s из S является компонентой связности (G _s ) ⁰ слоя Gs _— алгебраической группы. ^[1]

Характеристики

Компонент идентичности G ⁰ топологической или алгебраической группы G является замкнутой нормальной подгруппой в G . Он закрыт, поскольку компоненты всегда закрыты. Это подгруппа, поскольку умножение и обращение в топологической или алгебраической группе по определению являются непрерывными отображениями . Более того, для любого непрерывного автоморфизма a группы G имеем

а ( Г ⁰) = Г ⁰.

Таким образом, Г ⁰ является характеристической подгруппой группы G , поэтому она нормальна.

Компонент идентичности G ⁰ топологической группы G не обязательно должна быть открыта в G . Фактически, мы можем иметь G ⁰ = { e }, и в этом случае G несвязен полностью . Однако единичный компонент локально линейно связного пространства (например, группы Ли ) всегда открыт, поскольку он содержит линейно связную окрестность { e }; и, следовательно, является замкнуто-замкнутым множеством .

Компонент тождественного пути топологической группы, как правило, может быть меньше, чем компонент тождественного пути (поскольку связность пути является более сильным условием, чем связность), но они согласуются, если G локально связен по пути.

Группа компонентов

Факторгруппа G / G ⁰ называется группой компонентов или группой G . компонентов это просто компоненты связности G. Его элементы — Группа компонентов G / G ⁰ является дискретной группой тогда и только тогда, когда G ⁰ открыт. Если G — алгебраическая группа конечного типа , такая как аффинная алгебраическая группа , то G / G ⁰ на самом деле является конечной группой .

Аналогичным образом можно определить группу компонентов пути как группу компонентов пути (частное G по индивидуальному компоненту пути), и в общем случае группа компонентов является частным фактором группы компонентов пути, но если G локально соединен путем, эти группы согласуются. . Группу компонентов пути также можно охарактеризовать как нулевую гомотопическую группу , $\pi _{0}(G,e).$

Примеры

Группа ненулевых действительных чисел с умножением ( R *,•) имеет два компонента, а группа компонентов равна ({1,−1},•).
Рассмотрим группу единиц U в кольце расщепленных комплексных чисел . В обычной топологии плоскости { z = x + j y : x , y ∈ R } U делится на четыре компонента прямыми y = x и y = − x , где z не имеет обратного. Тогда ты ⁰ знак равно { z : | й | < х } . В этом случае группа компонент U изоморфна четырехгруппе Клейна .
Единичным компонентом аддитивной группы ( Z _p ,+) p-адических целых чисел является одноэлементное множество {0}, поскольку Z _p полностью несвязен.
Группа Вейля G редуктивной алгебраической группы является группой компонентов группы нормализатора максимального тора группы G .
Рассмотрим групповую схему µ ₂ = Spec( Z [ x ]/( x ² - 1)) вторых корней из единицы, определенных над базовой схемой Spec( Z ). Топологически µ _n состоит из двух копий кривой Spec( Z ), склеенных в точке (т. е. простого идеала ) 2. Следовательно, µ _n связно как топологическое пространство, а значит, как схема. Однако µ ₂ не равен его единичному компоненту, поскольку слой над каждой точкой Spec( Z ), кроме 2, состоит из двух дискретных точек.

Алгебраическая группа G над топологическим полем K допускает две естественные топологии: топологию Зарисского и топологию, унаследованную от K . Компонент идентичности G часто меняется в зависимости от топологии. Например, общая линейная группа GL _n ( R ) связна как алгебраическая группа, но имеет два компонента пути как группа Ли: матрицы положительного определителя и матрицы отрицательного определителя. Любая связная алгебраическая группа над неархимедовым локальным полем K вполне несвязна в K -топологии и, следовательно, имеет в этой топологии тривиальный единичный компонент.

примечание

^ СГА 3, т. 3. 1, Лекция VI, Определение 3.1.

Ссылки

Lev Semenovich Pontryagin , Topological Groups , 1966.
Демазюр, Мишель ; Габриэль, Пьер (1970), Алгебраические группы. Том I: Алгебраическая геометрия, общие положения, коммутативные группы , Париж: Массон, ISBN 978-2225616662 , МР 0302656
Демазюр, Мишель ; Александр Гротендик , ред. (1970). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1962-64 - Групповые диаграммы - (SGA 3) - том. 1 (Конспект лекций по математике 151 ) . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 151.Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. хв+564. дои : 10.1007/BFb0058993 . ISBN 978-3-540-05179-4 . МР 0274458 .

Внешние ссылки

Демазюр, М .; Гротендик А. , Гилле П.; Поло, П. (ред.), Групповые схемы (SGA 3), I: Общие свойства групповых схем . Переработанное и аннотированное издание оригинала 1970 года.

[1] СГА 3, т. 3. 1, Лекция VI, Определение 3.1.

[1]