Формальный групповой закон

В математике формальный групповой закон — это (грубо говоря) формальный степенной ряд, ведущий себя так, как если бы он был произведением группы Ли . Они были введены С. Бохнером ( 1946 ). Термин «формальная группа» иногда означает то же, что и закон формальной группы, а иногда означает одно из нескольких обобщений. Формальные группы занимают промежуточное положение между группами Ли (или алгебраическими группами ) и алгебрами Ли . Они используются в алгебраической теории чисел и алгебраической топологии .

Определения

Одномерный формальный групповой закон над коммутативным кольцом R — это степенной ряд F ( x , y ) с коэффициентами из R , такой, что

1. F ( x , y ) = x + y + члены более высокой степени
2. F ( Икс , F ( y , z )) знак равно F ( F ( x , y ), z ) ( ассоциативность ).

Простейшим примером является аддитивный формальный групповой закон F ( x , y ) = x + y .Идея определения состоит в том, что F должно быть чем-то вроде формального разложения произведения группы Ли в степенной ряд, где мы выбираем координаты так, чтобы единица группы Ли была началом координат.

В более общем смысле, n -мерный формальный групповой закон представляет собой набор n степенных рядов. F _i ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ , y ₂ , ..., y _n ) в 2 n переменных, таких что

1. F ( x , y ) = x + y + члены более высокой степени
2. F ( Икс , F ( y , z )) знак равно F ( F ( Икс , y ), z )

где мы пишем F вместо ( F ₁ , ..., F _n ), x вместо ( x ₁ , ..., x _n ) и так далее.

Формальный групповой закон называется коммутативным, если F ( x , y ) = F ( y , x ). Если R не имеет кручения, то можно встроить R в Q -алгебру и использовать экспоненту и логарифм, чтобы записать любой одномерный формальный групповой закон F как F ( x , y ) = exp(log( x ) + log( y ) ), поэтому F обязательно коммутативен. В более общем плане мы имеем:

Теорема . Каждый одномерный формальный групповой закон над R коммутативен тогда и только тогда, когда R не имеет ненулевых крутильных нильпотентов (т. е. нет ненулевых элементов, которые являются одновременно периодическими и нильпотентными).

Нет необходимости в аксиоме, аналогичной существованию обратных элементов для групп , поскольку это, как оказывается, автоматически следует из определения формального группового закона. Другими словами, мы всегда можем найти (единственный) степенной ряд G такой, что F ( x , G ( x )) = 0.

Гомоморфизм F формального группового закона m размерности из в формальный групповой закон G размерности n — это набор f m n степенных рядов от переменных , такой что

грамм ( ж ( Икс ), ж ( у )) знак равно ж ( F ( Икс , у )).

Гомоморфизм с обратным называется изоморфизмом и строгим изоморфизмом , если, кроме того, f ( x ) = x + члены более высокой степени. Два формальных групповых закона с изоморфизмом между ними по существу одинаковы; они отличаются только «сменой координат».

Примеры

• Аддитивный закон формальной группы имеет вид

$F(x,y)=x+y.\$

• Мультипликативный закон формальной группы имеет вид

$F(x,y)=x+y+xy.\$

Это правило можно понять следующим образом. Произведение G в (мультипликативной группе) кольца R задается формулой G ( a , b ) = ab . Если мы «изменяем координаты», чтобы сделать 0 тождественным, поставив a = 1 + x , b = 1 + y и G = 1 + F , то мы обнаружим, что F ( x , y ) = x + y + xy .

Над рациональными числами существует изоморфизм аддитивного закона формальной группы мультипликативному закону, заданному выражением exp( x ) − 1 . Над общими коммутативными кольцами R такого гомоморфизма не существует, поскольку для его определения требуются нецелые рациональные числа, а аддитивные и мультипликативные формальные группы обычно не изоморфны.

• В более общем смысле, мы можем построить формальный групповой закон размерности n из любой алгебраической группы или группы Ли размерности n , взяв координаты в единице и записав формальное разложение карты произведения в степенной ряд. Аддитивные и мультипликативные формальные групповые законы получаются таким образом из аддитивных и мультипликативных алгебраических групп. Другим важным частным случаем этого является формальная группа (закон) эллиптической кривой (или абелева многообразия ).
• F ( x , y ) = ( x + y )/(1 + xy ) — формальный групповой закон, вытекающий из формулы сложения для гиперболической касательной функции : tanh( x + y ) = F (tanh( x ), tanh( y )), а также является формулой сложения скоростей в специальной теории относительности (при скорости света, равной 1).
• ${\textstyle F(x,y)=\left.\left(x{\sqrt {1-y^{4}}}+y{\sqrt {1-x^{4}}}\right)\right/\!(1+x^{2}y^{2})}$ — формальный групповой закон над Z [1/2], найденный Эйлером , в виде формулы сложения для эллиптического интеграла ( Стриклэнда ):

$\int _{0}^{x}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}+\int _{0}^{y}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}=\int _{0}^{F(x,y)}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}.$

Алгебры Ли

Любой n -мерный формальный групповой закон дает n -мерную алгебру Ли над кольцом R , определенную в терминах квадратичной части F ₂ формального группового закона.

[ Икс , y знак равно F2 _y ( Икс , y ) F2 _, ( - ] Икс )

Естественный функтор от групп Ли или алгебраических групп к алгебрам Ли можно факторизовать в функтор от групп Ли к законам формальных групп с последующим взятием алгебры Ли формальной группы:

Группы Ли → Формальные групповые законы → Алгебры Ли

Над полями характеристики 0 законы формальных групп по существу такие же , как и конечномерные алгебры Ли: точнее, функтор от конечномерных законов формальной группы к конечномерным алгебрам Ли является эквивалентностью категорий . Над полями ненулевой характеристики формальные групповые законы не эквивалентны алгебрам Ли. Действительно, в этом случае хорошо известно, что переход от алгебраической группы к ее алгебре Ли часто выбрасывает слишком много информации, но переход вместо этого к формальному групповому закону часто сохраняет достаточно информации. Таким образом, в некотором смысле формальные групповые законы являются «правильной» заменой алгебр Ли в характеристике p > 0.

Логарифм коммутативного формального группового закона

Если F — коммутативный n -мерный формальный групповой закон над коммутативной Q -алгеброй R , то он строго изоморфен аддитивному формальному групповому закону. Другими словами, существует строгий изоморфизм f аддитивной формальной группы в , называемый логарифмом F F , так что

ж ( F ( Икс , y )) знак равно ж ( Икс ) + ж ( y ).

Примеры:

• Логарифм F ( x , y ) = x + y равен f ( x ) = x .
• Логарифм F ( x , y ) = x + y + xy равен f ( x ) = log(1 + x ), потому что log(1 + x + y + xy ) = log(1 + x ) + log(1 + й ).

Если R не содержит рациональных чисел, карту f можно построить путем расширения скаляров до R ⊗ Q , но это приведет все к нулю, если R имеет положительную характеристику. Законы формальной группы над кольцом R часто строятся путем записи их логарифма в виде степенного ряда с коэффициентами из R ⊗ Q и последующего доказательства того, что коэффициенты соответствующей формальной группы над R ⊗ Q действительно лежат в R . При работе с положительной характеристикой обычно заменяют R кольцом смешанных характеристик, которое имеет сюръекцию к R , например, кольцо W ( R ) векторов Витта , и сводится к R на конце.

Инвариантный дифференциал

Когда F одномерен, его логарифм можно записать через инвариантный дифференциал ω(t). Позволять $$\omega (t)={\frac {\partial F}{\partial x}}(0,t)^{-1}dt\in R[[t]]dt,$$где ${\textstyle R[[t]]dt}$ это бесплатно ${\textstyle R[[t]]}$-модуль ранга 1 на символе dt . Тогда ω трансляционно- инвариантно в том смысле, что $$F^{*}\omega =\omega ,$$где, если мы напишем ${\textstyle \omega (t)=p(t)dt}$, то по определению $$F^{*}\omega :=p(F(t,s)){\frac {\partial F}{\partial x}}(t,s)dt.$$Если затем рассмотреть расширение ${\textstyle \omega (t)=(1+c_{1}t+c_{2}t^{2}+\dots )dt}$, формула $$f(t)=\int \omega (t)=t+{\frac {c_{1}}{2}}t^{2}+{\frac {c_{2}}{3}}t^{3}+\dots$$определяет логарифм F .

Формальное групповое кольцо формального группового закона

Формальное групповое кольцо формального группового закона представляет собой кокоммутативную алгебру Хопфа, аналогичную групповому кольцу группы и универсальной обертывающей алгебре алгебры Ли, которые также являются кокоммутативными алгебрами Хопфа. В целом кокоммутативные алгебры Хопфа ведут себя очень похоже на группы.

Для простоты опишем одномерный случай; случай более высокой размерности аналогичен, за исключением того, что обозначения становятся более сложными.

Предположим, что F формальный групповой закон над R. — (1-мерный ) Ее формальное групповое кольцо (также называемое ее гипералгеброй или ее ковариантной биалгеброй ) представляет собой кокоммутативную алгебру Хопфа H, построенную следующим образом.

• Как R - модуль H = свободен с базисом 1 D ⁽⁰⁾ , Д ⁽¹⁾ , Д ⁽²⁾ , ...
• Копродукт ∆ определяется как ∆ D ^{( н )} = Σ Д ^{( я )} ⊗ Д ^{( п - я )} (так что двойственной этой коалгебре является не что иное, как кольцо формальных степенных рядов).
• Единица η задается коэффициентом при D ⁽⁰⁾ .
• Тождество: 1 = D ⁽⁰⁾ .
• Антипод S принимает D ^{( н )} до (−1) ^н Д ^{( н )} .
• Коэффициент D ⁽¹⁾ в продукте Д ^{( я )} Д ^{( Дж )} коэффициент при x ^я и ^дж в F ( x , y ).

И наоборот, по алгебре Хопфа, структура коалгебры которой приведена выше, мы можем восстановить формальный групповой закон F. из нее Таким образом, одномерные формальные групповые законы по существу такие же, как и алгебры Хопфа, структура коалгебры которых приведена выше.

Законы формальных групп как функторы

Учитывая n -мерный формальный групповой закон F над R и коммутативную R -алгебру S , мы можем сформировать группу F ( S ), базовым множеством которой является N ^н где N — множество нильпотентных элементов S . Продукт определяется путем использования F для умножения элементов N. ^н ; Дело в том, что все формальные степенные ряды теперь сходятся, поскольку они применяются к нильпотентным элементам, поэтому существует только конечное число ненулевых членов.Это превращает F в функтор из коммутативных R -алгебр S в группы.

Мы можем распространить определение F ( S ) на некоторые топологические R -алгебры . В частности, если S — обратный предел дискретных R- алгебр, мы можем определить F ( S ) как обратный предел соответствующих групп. Например, это позволяет нам определить F ( Zp _{- адических} ) со значениями в p числах .

Групповой функтор F также можно описать с помощью формального группового кольца H группы F . Для простоты будем считать, что F одномерен; общий случай аналогичен. Для любой кокоммутативной алгебры Хопфа элемент g называется группоподобным, если Δ g = g ⊗ g и ε g = 1, а группоподобные элементы образуют группу при умножении. В случае алгебры Хопфа формального группового закона над кольцом группоподобные элементы — это в точности элементы вида

Д ⁽⁰⁾ + Д ⁽¹⁾ х + Д ⁽²⁾ х ²  + ...

для нильпотентных элементов x . В частности, мы можем отождествить группоподобные элементы H ⊗ S с нильпотентными элементами S , и тогда групповая структура группоподобных элементов H ⊗ S отождествляется со структурой группы F ( S ).

Высота

Предположим, что f — гомоморфизм одномерных законов формальной группы над полем характеристики p > 0. Тогда f либо равно нулю, либо первый ненулевой член в его разложении в степенной ряд равен $ax^{p^{h}}$ для некоторого неотрицательного целого числа h , называемого высотой гомоморфизма f . Высота нулевого гомоморфизма определяется как ∞.

Высота отображение одномерного формального группового закона над полем характеристики p > 0 определяется как высота его умножения на p- .

Два одномерных закона формальной группы над алгебраически замкнутым полем характеристики p > 0 изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую высоту, а высота может быть любым положительным целым числом или ∞.

Примеры:

• Аддитивный формальный групповой закон F ( x , y ) = x + y имеет высоту ∞, поскольку его отображение p -й степени равно 0.
• Мультипликативный формальный групповой закон F ( x , y ) = x + y + xy имеет высоту 1, поскольку его карта p -й степени равна (1 + x ). ^п − 1 = х ^п .
• Формальный групповой закон эллиптической кривой имеет высоту либо одну, либо две, в зависимости от того, является ли кривая обыкновенной или суперсингулярной . Суперсингулярность можно обнаружить по исчезновению ряда Эйзенштейна. $E_{p-1}$.

Кольцо Лазарда

Основная статья: Универсальное кольцо Лазарда

Существует универсальный коммутативный одномерный формальный групповой закон над универсальным коммутативным кольцом, определяемый следующим образом. Мы позволяем

Ф ( х , у )

быть

x + y + Σ c _{i , j} x ^я и ^дж

для неопределенного

с _{я , j} ,

и мы определяем универсальное кольцо R как коммутативное кольцо, порожденное элементами c _{i , j} с отношениями, которые навязываются законами ассоциативности и коммутативности для формальных групповых законов. Более или менее по определению кольцо R обладает следующим универсальным свойством:

Для любого коммутативного кольца S одномерные формальные групповые законы над S соответствуют колец из R в S. гомоморфизмам

Построенное выше коммутативное кольцо R известно как универсальное кольцо Лазара . На первый взгляд он кажется невероятно сложным: отношения между его генераторами очень запутаны. Однако Лазар доказал, что оно имеет очень простую структуру: это просто кольцо полиномов (над целыми числами) от образующих степеней 2, 4, 6, ... (где c _{i , j} имеет степень 2( i + j − 1 )). Дэниел Квиллен доказал, что кольцо коэффициентов комплексных кобордизмов естественно изоморфно как градуированное кольцо универсальному кольцу Лазара, объяснив необычную градуировку.

Формальные группы

Формальная группа — групповой объект в категории формальных схем .

• Если $G$ — функтор из алгебр Артина в группы, точный слева , то он представим ( G — функтор точек формальной группы. (левая точность функтора эквивалентна коммутации с конечными проективными пределами).
• Если $G$ это групповая схема тогда ${\widehat {G}}$, формальное пополнение G в единице, имеет структуру формальной группы.
• Формальное пополнение гладкой групповой схемы изоморфно $\mathrm {Spf} (R[[T_{1},\ldots ,T_{n}]])$. Некоторые люди называют формальную групповую схему гладкой , если верно обратное; другие оставляют термин «формальная группа» для локальных объектов этой формы.
• Формальная гладкость утверждает существование подъемов деформаций и может применяться к формальным схемам, размер которых превышает точки. Гладкая формальная групповая схема является частным случаем формальной групповой схемы.
• Учитывая гладкую формальную группу, можно построить формальный групповой закон и поле, выбрав униформизирующий набор секций.
• (Нестрогие) изоморфизмы между законами формальной группы, индуцированные изменением параметров, составляют элементы группы изменений координат на формальной группе.

Формальные группы и законы формальных групп также могут быть определены над произвольными схемами , а не только над коммутативными кольцами или полями, а семейства можно классифицировать с помощью отображений базы в параметризующий объект.

Пространство модулей формальных групповых законов представляет собой несвязное объединение бесконечномерных аффинных пространств, компоненты которых параметризованы размерностью, а точки параметризованы допустимыми коэффициентами степенного ряда F . Соответствующий стек модулей гладких формальных групп является факторизатором этого пространства по каноническому действию бесконечномерного группоида замен координат.

Над алгебраически замкнутым полем подстек одномерных формальных групп представляет собой либо точку (в нулевой характеристике), либо бесконечную цепочку стековых точек, параметризующих высоты. В нулевой характеристике замыкание каждой точки содержит все точки большей высоты. Это различие дает формальным группам богатую геометрическую теорию с положительной и смешанной характеристикой, связанную с алгеброй Стинрода , p -делимыми группами, теорией Дьедонне и представлениями Галуа . Например, из теоремы Серра-Тейта следует, что деформации групповой схемы строго контролируются деформациями ее формальной группы, особенно в случае суперсингулярных абелевых многообразий . Для суперсингулярных эллиптических кривых этот контроль полный, и это сильно отличается от характеристической нулевой ситуации, когда формальная группа не имеет деформаций.

Формальную группу иногда определяют как кокоммутативную алгебру Хопфа (обычно с добавлением некоторых дополнительных условий, таких как указание или связность). Это более или менее двойственно к приведенному выше понятию. В гладком случае выбор координат эквивалентен взятию выделенного базиса формального группового кольца.

Некоторые авторы используют термин «формальная группа» для обозначения формального группового закона .

Формальные групповые законы Любина – Тейта

Основная статья: формальный групповой закон Любина – Тейта

Пусть Zp _— кольцо целых p -адических чисел . — Формальный групповой закон Любина–Тейта это уникальный (1-мерный) формальный групповой закон F такой, что e ( x ) = px + x ^п является эндоморфизмом F , другими словами

$e(F(x,y))=F(e(x),e(y)).\$

В более общем смысле мы можем позволить e быть любым степенным рядом, например, e ( x ) = px + члены более высокой степени и e ( x ) = x ^п мод п . Все групповые законы для различных вариантов e, удовлетворяющих этим условиям, строго изоморфны.

Для каждого элемента a в Z _p существует уникальный эндоморфизм f формального группового закона Любина–Тейта такой, что f ( x ) = ax + члены более высокой степени. Это дает действие кольца Z _p на формальный групповой закон Любина–Тейта.

Имеется аналогичная конструкция с заменой Z _p любым полным кольцом дискретного нормирования с конечным полем классов вычетов .

Эта конструкция была введена Любином и Тейтом (1965) в успешной попытке изолировать часть локального поля в классической теории комплексного умножения эллиптических функций . Это также основной ингредиент некоторых подходов к теории полей локальных классов. и существенный компонент построения E-теории Моравы в теории хроматических гомотопий .

См. также

• Вектор Витта
• Экспонента Артина – Хассе
• Групповой функтор
• Теорема сложения

Ссылки

• Адамс, Дж. Франк (1974), Стабильная гомотопия и обобщенная гомология , University of Chicago Press , ISBN  978-0-226-00524-9
• Бохнер, Саломон (1946), «Формальные группы Ли», Анналы математики , вторая серия, 47 (2): 192–201, doi : 10.2307/1969242 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969242 , MR   0015397
• Демазюр, Мишель (1972), Лекции по p-делимым группам , Конспекты лекций по математике, том. 302, номер домена : 10.1007/BFb0060741 , ISBN  0-387-06092-8
• Фрелих, А. (1968), Формальные группы , Конспекты лекций по математике, вып. 74, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0074373 , ISBN.  978-3-540-04244-0 , МР   0242837
• П. Габриэль, Бесконечно-малое исследование групповых диаграмм SGA 3 Exp. VIIB
• Формальные группы и приложения (Чистая и прикладная математика 78) Мишель Хазевинкель Издатель: Academic Pr (июнь 1978 г.) ISBN   0-12-335150-2
• Лазар, Мишель (1975), Коммутативные формальные группы , Конспекты лекций по математике, том. 443, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0070554 , ISBN.  978-3-540-07145-7 , МР   0393050
• Любин, Джонатан ; Тейт, Джон (1965), «Формальное комплексное умножение в локальных полях», Annals of Mathematics , Second Series, 81 (2): 380–387, doi : 10.2307/1970622 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970622 , MR   0172878 , Zbl   0128.26501
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-65399-8 . МР   1697859 . Збл   0956.11021 .
• Стрикленд, Н. «Формальные группы» (PDF) .