Симметрия точки Ли

Симметрия точки Ли — это концепция высшей математики . К концу девятнадцатого века Софус Ли ввел понятие группы Ли для изучения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. ^[1]^[2]^[3] (ОДЫ). Он показал следующее основное свойство: порядок обыкновенного дифференциального уравнения можно понизить на единицу, если оно инвариантно относительно однопараметрической группы Ли точечных преобразований . ^[4] Это наблюдение объединило и расширило доступные методы интеграции. Оставшуюся часть своей математической карьеры Ли посвятил разработке этих непрерывных групп , которые сейчас оказывают влияние на многие области математических наук. Приложения групп Ли к дифференциальным системам были в основном установлены Ли и Эмми Нётер , а затем поддержаны Эли Картаном .

Грубо говоря, симметрия точки Ли системы — это локальная группа преобразований, которая отображает каждое решение системы в другое решение той же системы. Другими словами, он отображает множество решений системы на себя. Элементарными примерами групп Ли являются сдвиги , вращения и масштабирования .

Теория симметрии Ли — хорошо известная тема. В нем обсуждаются непрерывные симметрии , противоположные, например, дискретным симметриям . Литературу по этой теории можно найти, среди прочего, в этих заметках. ^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]

Обзор

Виды симметрии

Группы Ли и, следовательно, их бесконечно малые генераторы могут быть естественным образом «расширены», чтобы действовать в пространстве независимых переменных, переменных состояния (зависимых переменных) и производных переменных состояния до любого конечного порядка. Есть много других видов симметрии. Например, контактные преобразования позволяют коэффициентам бесконечно малого генератора преобразований зависеть еще и от первых производных координат. Преобразования Ли-Беклунда позволяют включать производные до произвольного порядка. Возможность существования таких симметрий была признана Нётер. ^[10] Для симметрий точки Ли коэффициенты бесконечно малых образующих зависят только от координат, обозначаемых через $Z$ .

Приложения

Лиевые симметрии были введены Ли для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Другое применение методов симметрии — приведение систем дифференциальных уравнений, нахождение эквивалентных систем дифференциальных уравнений более простого вида. Это называется редукцией. В литературе можно встретить классический процесс приведения, ^[4] и процесс сокращения на основе движущегося кадра . ^[11]^[12]^[13] Также группы симметрии могут использоваться для классификации различных классов симметрии решений.

Геометрическая основа

Бесконечно малый подход

Фундаментальные теоремы Ли подчеркивают, что группы Ли можно охарактеризовать элементами, известными как бесконечно малые генераторы . Эти математические объекты образуют алгебру Ли бесконечно малых генераторов. Выведенные «бесконечно малые условия симметрии» (определяющие уравнения группы симметрии) можно явно решить, чтобы найти замкнутую форму групп симметрии и, следовательно, связанные с ней бесконечно малые генераторы.

Позволять $Z=(z_{1},\dots ,z_{n})$ быть набором координат, в котором определяется система, где $n$ это мощность $Z$ . Бесконечно малый генератор $\delta$ в поле $\mathbb {R} (Z)$ является линейным оператором $\delta :\mathbb {R} (Z)\rightarrow \mathbb {R} (Z)$ у которого есть $\mathbb {R}$ в своем ядре и удовлетворяет правилу Лейбница :

\forall (f_{1},f_{2})\in \mathbb {R} (Z)^{2},\delta f_{1}f_{2}=f_{1}\delta f_{2}+f_{2}\delta f_{1}

.

В каноническом базисе элементарных выводов $\left\{{\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\right\}$ , это записывается так:

\delta =\sum _{i=1}^{n}\xi _{z_{i}}(Z){\frac {\partial }{\partial z_{i}}}

где $\xi _{z_{i}}$ находится в $\mathbb {R} (Z)$ для всех $i$ в $\left\{1,\dots ,n\right\}$ .

Группы Ли и алгебры Ли инфинитезимальных образующих

Алгебры Ли могут быть созданы с помощью порождающего набора бесконечно малых генераторов, как определено выше. Каждой группе Ли можно сопоставить алгебру Ли. Грубо говоря, алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ — алгебра, состоящая из векторного пространства, снабженного скобкой Ли в качестве дополнительной операции. Базовое поле алгебры Ли зависит от понятия инварианта . Здесь рассматриваются только конечномерные алгебры Ли.

Непрерывные динамические системы

Динамическая система (или поток ) представляет собой однопараметрическое групповое действие . Обозначим через ${\mathcal {D}}$ такая динамическая система, точнее, (левое)действие группы $(G,+)$ на коллекторе $M$ :

{\begin{array}{rccc}{\mathcal {D}}:&G\times M&\rightarrow &M\\&\nu \times Z&\rightarrow &{\mathcal {D}}(\nu ,Z)\end{array}}

такой, что для всех точек $Z$ в $M$ :

${\mathcal {D}}(e,Z)=Z$ где $e$ является нейтральным элементом $G$ ;
для всех $(\nu ,{\hat {\nu }})$ в $G^{2}$ , ${\mathcal {D}}(\nu ,{\mathcal {D}}({\hat {\nu }},Z))={\mathcal {D}}(\nu +{\hat {\nu }},Z)$ .

Непрерывная динамическая система определяется на группе $G$ который можно идентифицировать $\mathbb {R}$ т.е. элементы группы непрерывны.

Инварианты

Инвариант , грубо говоря, — это элемент , который не изменяется при преобразовании.

Определение симметрии точки Ли

В этом параграфе мы рассматриваем именно расширенную симметрию точки Ли , т.е. мы работаем в расширенном пространстве, что означает, что различие между независимой переменной, переменными состояния и параметрами избегается, насколько это возможно.

Группа симметрии системы — это непрерывная динамическая система, определенная на локальной группе Ли. $G$ действуя на многообразие $M$ . Для ясности мы ограничимся n-мерными вещественными многообразиями. $M=\mathbb {R} ^{n}$ где $n$ — количество координат системы.

Симметрии точки Ли алгебраических систем

Определим алгебраические системы, используемые в следующем определении симметрии.

Алгебраические системы

Позволять $F=(f_{1},\dots ,f_{k})=(p_{1}/q_{1},\dots ,p_{k}/q_{k})$ — конечное множество рациональных функций над полем $\mathbb {R}$ где $p_{i}$ и $q_{i}$ являются полиномами в $\mathbb {R} [Z]$ то есть в переменных $Z=(z_{1},\dots ,z_{n})$ с коэффициентами в $\mathbb {R}$ . Алгебраическая система, связанная с $F$ определяется следующими равенствами и неравенствами:

{\begin{array}{ccc}\left\{{\begin{array}{l}p_{1}(Z)=0,\\\vdots \\p_{k}(Z)=0\end{array}}\right.&{\mbox{and}}&\left\{{\begin{array}{l}q_{1}(Z)\neq 0,\\\vdots \\q_{k}(Z)\neq 0.\end{array}}\right.\end{array}}

Алгебраическая система, определенная формулой $F=(f_{1},\dots ,f_{k})$ является регулярным (т.е. гладким ), если система $F$ имеет максимальный ранг $k$ , что означает, что матрица Якобиана $(\partial f_{i}/\partial z_{j})$ имеет ранг $k$ в каждом решении $Z$ ассоциированного полуалгебраического многообразия .

Определение симметрии точки Ли

Следующая теорема (см. п. 2.8 гл. 2 книги ^[5]) дает необходимые и достаточные условия того, что локальная группа Ли $G$ — группа симметрии алгебраической системы.

Теорема . Позволять $G$ — связная локальная группа Ли непрерывной динамической системы, действующей в n-мерном пространстве. $\mathbb {R} ^{n}$ . Позволять $F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ с $k\leq n$ определим регулярную систему алгебраических уравнений:

f_{i}(Z)=0\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\}.

Затем $G$ является группой симметрии этой алгебраической системы тогда и только тогда, когда

\delta f_{i}(Z)=0\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\}{\mbox{ whenever }}f_{1}(Z)=\dots =f_{k}(Z)=0

для каждого бесконечно малого генератора $\delta$ в алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ из $G$ .

Пример

Рассмотрим алгебраическую систему, определенную в пространстве шести переменных, а именно $Z=(P,Q,a,b,c,l)$ с:

\left\{{\begin{array}{l}f_{1}(Z)=(1-cP)+bQ+1,\\f_{2}(Z)=aP-lQ+1.\end{array}}\right.

Бесконечно малый генератор

\delta =a(a-1){\dfrac {\partial }{\partial a}}+(l+b){\dfrac {\partial }{\partial b}}+(2ac-c){\dfrac {\partial }{\partial c}}+(-aP+P){\dfrac {\partial }{\partial P}}

ассоциирован с одной из однопараметрических групп симметрии. Он действует на 4 переменные, а именно $a,b,c$ и $P$ . В этом можно легко убедиться $\delta f_{1}=f_{1}-f_{2}$ и $\delta f_{2}=0$ . Таким образом, отношения $\delta f_{1}=\delta f_{2}=0$ удовлетворены любым $Z$ в $\mathbb {R} ^{6}$ это уничтожает алгебраическую систему.

Симметрии точки Ли динамических систем

Определим системы ОДУ первого порядка , используемые в следующем определении симметрии.

Системы ОДУ и связанные с ними бесконечно малые генераторы

Позволять $d\cdot /dt$ быть выводом по непрерывной независимой переменной $t$ . Мы рассматриваем два набора $X=(x_{1},\dots ,x_{k})$ и $\Theta =(\theta _{1},\dots ,\theta _{l})$ . Соответствующий набор координат определяется выражением $Z=(z_{1},\dots ,z_{n})=(t,x_{1},\dots ,x_{k},\theta _{1},\dots ,\theta _{l})$ и его кардинал $n=1+k+l$ . В этих обозначениях система ОДУ первого порядка — это система, в которой:

\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(Z){\mbox{ with }}f_{i}\in \mathbb {R} (Z)\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\},\\{\dfrac {d\theta _{j}}{dt}}=0\quad \forall j\in \{1,\dots ,l\}\end{array}}\right.

и набор $F=(f_{1},\dots ,f_{k})$ определяет эволюцию переменных состояния ОДУ относительно независимой переменной. Элементы набора $X$ называются переменными состояния , они $\Theta$ параметры .

Можно также связать с системой ОДУ непрерывную динамическую систему, решив ее уравнения.

Инфинитезимальный генератор — это вывод, тесно связанный с системами ОДУ (точнее, с непрерывными динамическими системами). О связи между системой ОДУ, связанным с ней векторным полем и бесконечно малым генератором см. раздел 1.3 . ^[4] Бесконечно малый генератор $\delta$ связанный с системой ОДУ, описанной выше, определяется теми же обозначениями, что и ниже:

\delta ={\dfrac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{k}f_{i}(Z){\dfrac {\partial }{\partial x_{i}}}\cdot

Определение симметрии точки Ли

Вот геометрическое определение таких симметрий. Позволять ${\mathcal {D}}$ быть непрерывной динамической системой и $\delta _{\mathcal {D}}$ его бесконечно малый генератор. Непрерывная динамическая система ${\mathcal {S}}$ является симметрией точки Ли ${\mathcal {D}}$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {S}}$ отправляет каждую орбиту ${\mathcal {D}}$ на орбиту. Следовательно, бесконечно малый генератор $\delta _{\mathcal {S}}$ удовлетворяет следующему соотношению ^[8] на основе скобки Ли :

[\delta _{\mathcal {D}},\delta _{\mathcal {S}}]=\lambda \delta _{\mathcal {D}}

где $\lambda$ любая константа $\delta _{\mathcal {D}}$ и $\delta _{\mathcal {S}}$ т.е. $\delta _{\mathcal {D}}\lambda =\delta _{\mathcal {S}}\lambda =0$ . Эти генераторы линейно независимы.

Не нужны явные формулы ${\mathcal {D}}$ чтобы вычислить бесконечно малые генераторы его симметрий.

Пример

Рассмотрим Пьера Франсуа Ферхюльста с модель логистического роста линейным хищничеством: ^[14] где переменная состояния $x$ представляет собой популяцию. Параметр $a$ представляет собой разницу между скоростью роста и хищничества и параметром $b$ соответствует рецептивной способности среды:

{\dfrac {dx}{dt}}=(a-bx)x,{\dfrac {da}{dt}}={\dfrac {db}{dt}}=0.

Непрерывная динамическая система, связанная с этой системой ОДУ, имеет вид:

{\begin{array}{rccc}{\mathcal {D}}:&(\mathbb {R} ,+)\times \mathbb {R} ^{4}&\rightarrow &\mathbb {R} ^{4}\\&({\hat {t}},(t,x,a,b))&\rightarrow &\left(t+{\hat {t}},{\frac {axe^{a{\hat {t}}}}{a-(1-e^{a{\hat {t}}})bx}},a,b\right).\end{array}}

Независимая переменная ${\hat {t}}$ непрерывно меняется; таким образом, связанная группа может быть идентифицирована с помощью $\mathbb {R}$ .

Бесконечно малый генератор, связанный с этой системой ОДУ:

\delta _{\mathcal {D}}={\dfrac {\partial }{\partial t}}+((a-bx)x){\dfrac {\partial }{\partial x}}\cdot

Следующие бесконечно малые генераторы принадлежат двумерной группе симметрии ${\mathcal {D}}$ :

\delta _{{\mathcal {S}}_{1}}=-x{\dfrac {\partial }{\partial x}}+b{\dfrac {\partial }{\partial b}},\quad \delta _{{\mathcal {S}}_{2}}=t{\dfrac {\partial }{\partial t}}-x{\dfrac {\partial }{\partial x}}-a{\dfrac {\partial }{\partial a}}\cdot

Программное обеспечение

В этой области существует множество пакетов программного обеспечения. ^[15]^[16]^[17] Например, пакетliesymm Maple предоставляет некоторые методы симметрии Ли для PDE . ^[18] Он управляет интеграцией определяющих систем, а также дифференциальными формами . Несмотря на успех в небольших системах, его возможности интеграции для автоматического решения определяющих систем ограничены проблемами сложности. Пакет DETools использует продолжение векторных полей для поиска симметрий Ли ОДУ. Нахождение симметрий Ли для ОДУ в общем случае может быть столь же сложным, как и решение исходной системы.

Ссылки

^ Ложь, Софус (1881). «Об интегрировании определенными интегралами одного класса линейных уравнений в частных производных». Архив математики и Naturvidenskab (на немецком языке). 6 :328-368.
^ Ложь, Софус (1890). Теория групп преобразований (на немецком языке). Том 2. Тойбнер, Лейпциг.
^ Ложь, Софус (1893). Теория групп преобразований (на немецком языке). Том 3. Тойбнер, Лейпциг.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Олвер, Питер Дж . (1993). Применение групп Ли к дифференциальным уравнениям (второе изд.). Спрингер-Верлаг.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Олвер, Питер Дж . (1995). Эквивалентность, инвариантность и симметрия . Издательство Кембриджского университета.
^ Олвер, Питер Дж . (1999). Классическая теория инвариантов (Первое изд.). Издательство Кембриджского университета.
^ Блюман, Г.; Кумей, С. (1989). Симметрии и дифференциальные уравнения . Серия прикладных математических наук. Том. 81 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Стефани, Х. (1989). Дифференциальные уравнения (Первое изд.). Издательство Кембриджского университета.
^ Леви, Д.; Винтерниц, П. (2006). «Непрерывные симметрии разностных уравнений». Журнал физики A: Математический и общий . 39 (2): R1–R63. arXiv : nlin/0502004 . Бибкод : 2006JPhA...39R...1L . дои : 10.1088/0305-4470/39/2/r01 . S2CID 17161506 .
^ Нётер, Э. (1918). «Задачи инвариантной вариации. Король новостей. Знание общества». Матем.-Физ. Кл. (на немецком языке). Геттинген: 235–257.
^ Картан, Эли (1935). «Метод движущейся рамки, теория непрерывных групп и обобщенных пространств». Презентации по геометрии – 5 Германов (на французском языке). Париж.
^ Фелс, М.; Олвер, Питер Дж. (апрель 1998 г.). «Перемещение кофреймов: I. Практический алгоритм». Acta Applicandae Mathematicae . 51 (2): 161–213. дои : 10.1023/а:1005878210297 . S2CID 6681218 .
^ Фелс, М.; Олвер, Питер Дж. (январь 1999 г.). «Движущиеся кофреймы: II. Регуляризация и теоретические основы». Acta Applicandae Mathematicae . 55 (2): 127–208. дои : 10.1023/А:1006195823000 . S2CID 826629 .
^ Мюррей, доктор юридических наук (2002). Математическая биология . Междисциплинарная прикладная математика. Том. 17. Спрингер.
^ Черт возьми, А. (2003). Введение в Maple (Третье изд.). Спрингер-Верлаг.
^ Шварц, Ф. (1988). «Симметрии дифференциальных уравнений: от Софуса Ли к компьютерной алгебре». Обзор СИАМ . 30 (3): 450–481. дои : 10.1137/1030094 .
^ Димас, С.; Цубелис, Т. (2005). «SYM: новый пакет поиска симметрии для Mathematica» (PDF) . 10-я Международная конференция по современному групповому анализу . Кипрский университет, Никосия, Кипр: 64–70. Архивировано из оригинала (PDF) 1 октября 2006 г.
^ Карминати, Дж.; Девитт, Дж. С.; Плата, GJ (1992). «Изогруппы дифференциальных уравнений с использованием алгебраических вычислений» . Журнал символических вычислений . 14 (1): 103–120. дои : 10.1016/0747-7171(92)90029-4 . hdl : 10536/DRO/DU:30126539 .

[Lie1881-1] Ложь, Софус (1881). «Об интегрировании определенными интегралами одного класса линейных уравнений в частных производных». Архив математики и Naturvidenskab (на немецком языке). 6 :328-368.

[Lie1890-2] Ложь, Софус (1890). Теория групп преобразований (на немецком языке). Том 2. Тойбнер, Лейпциг.

[Lie1893-3] Ложь, Софус (1893). Теория групп преобразований (на немецком языке). Том 3. Тойбнер, Лейпциг.

[Olver1993-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Олвер, Питер Дж . (1993). Применение групп Ли к дифференциальным уравнениям (второе изд.). Спрингер-Верлаг.

[Olver1995-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Олвер, Питер Дж . (1995). Эквивалентность, инвариантность и симметрия . Издательство Кембриджского университета.

[Olver1999-6] Олвер, Питер Дж . (1999). Классическая теория инвариантов (Первое изд.). Издательство Кембриджского университета.

[BlumanKumei1989-7] Блюман, Г.; Кумей, С. (1989). Симметрии и дифференциальные уравнения . Серия прикладных математических наук. Том. 81 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag.

[Stephani1989-8] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Стефани, Х. (1989). Дифференциальные уравнения (Первое изд.). Издательство Кембриджского университета.

[LeviWinternitz2006-9] Леви, Д.; Винтерниц, П. (2006). «Непрерывные симметрии разностных уравнений». Журнал физики A: Математический и общий . 39 (2): R1–R63. arXiv : nlin/0502004 . Бибкод : 2006JPhA...39R...1L . дои : 10.1088/0305-4470/39/2/r01 . S2CID 17161506 .

[Noether1918-10] Нётер, Э. (1918). «Задачи инвариантной вариации. Король новостей. Знание общества». Матем.-Физ. Кл. (на немецком языке). Геттинген: 235–257.

[Cartan1935-11] Картан, Эли (1935). «Метод движущейся рамки, теория непрерывных групп и обобщенных пространств». Презентации по геометрии – 5 Германов (на французском языке). Париж.

[FelsOlver1998-12] Фелс, М.; Олвер, Питер Дж. (апрель 1998 г.). «Перемещение кофреймов: I. Практический алгоритм». Acta Applicandae Mathematicae . 51 (2): 161–213. дои : 10.1023/а:1005878210297 . S2CID 6681218 .

[FelsOlver1999-13] Фелс, М.; Олвер, Питер Дж. (январь 1999 г.). «Движущиеся кофреймы: II. Регуляризация и теоретические основы». Acta Applicandae Mathematicae . 55 (2): 127–208. дои : 10.1023/А:1006195823000 . S2CID 826629 .

[Murray2002-14] Мюррей, доктор юридических наук (2002). Математическая биология . Междисциплинарная прикладная математика. Том. 17. Спрингер.

[Heck2003-15] Черт возьми, А. (2003). Введение в Maple (Третье изд.). Спрингер-Верлаг.

[Schwarz1988-16] Шварц, Ф. (1988). «Симметрии дифференциальных уравнений: от Софуса Ли к компьютерной алгебре». Обзор СИАМ . 30 (3): 450–481. дои : 10.1137/1030094 .

[Dimas2005-17] Димас, С.; Цубелис, Т. (2005). «SYM: новый пакет поиска симметрии для Mathematica» (PDF) . 10-я Международная конференция по современному групповому анализу . Кипрский университет, Никосия, Кипр: 64–70. Архивировано из оригинала (PDF) 1 октября 2006 г.

[CarminatiDevittFee1992-18] Карминати, Дж.; Девитт, Дж. С.; Плата, GJ (1992). «Изогруппы дифференциальных уравнений с использованием алгебраических вычислений» . Журнал символических вычислений . 14 (1): 103–120. дои : 10.1016/0747-7171(92)90029-4 . hdl : 10536/DRO/DU:30126539 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]