Система дифференциальных уравнений

В математике система дифференциальных уравнений — это конечное множество дифференциальных уравнений . Такая система может быть как линейной , так и нелинейной . Также такая система может быть как системой обыкновенных дифференциальных уравнений , так и системой уравнений в частных производных .

Линейные системы дифференциальных уравнений

первого порядка Линейная система ОДУ — это система, в которой каждое уравнение имеет первый порядок и линейно зависит от неизвестных функций. Здесь мы рассматриваем системы с равным количеством неизвестных функций и уравнений. Они могут быть записаны как

${\frac {dx_{j}}{dt}}=a_{j1}(t)x_{1}+\ldots +a_{jn}(t)x_{n}+g_{j}(t),\qquad j=1,\ldots ,n$

где $n$ является положительным целым числом, и $a_{ji}(t),g_{j}(t)$ — произвольные функции независимой переменной t. Линейную систему ОДУ первого порядка можно записать в матричной форме:

${\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\ldots &\vdots \\a_{n1}&&a_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{2}\\\vdots \\g_{n}\end{bmatrix}},$

или просто

$\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {g} (t)$ .

Однородные системы дифференциальных уравнений

Линейная система называется однородной, если $g_{j}(t)=0$ для каждого $j$ и для всех значений $t$ , в противном случае его называют неоднородным. Однородные системы обладают тем свойством, что если $\mathbf {x_{1}} ,\ldots ,\mathbf {x_{p}}$ являются линейно независимыми решениями системы, то любая их линейная комбинация, $C_{1}\mathbf {x_{1}} +\ldots +C_{p}\mathbf {x_{p}}$ , также является решением линейной системы, где $C_{1},\ldots ,C_{p}$ постоянны.

Случай, когда коэффициенты $a_{ji}(t)$ все постоянны, имеет общее решение: $\mathbf {x} =C_{1}\mathbf {v_{1}} e^{\lambda _{1}t}+\ldots +C_{n}\mathbf {v_{n}} e^{\lambda _{n}t}$ , где $\lambda _{i}$ является собственным значением матрицы $\mathbf {A}$ с соответствующими собственными векторами $\mathbf {v} _{i}$ для $1\leq i\leq n$ . Это общее решение применимо только в тех случаях, когда $\mathbf {A}$ имеет n различных собственных значений, случаи с меньшим количеством различных собственных значений должны рассматриваться по-другому.

Линейная независимость решений

Для произвольной системы ОДУ набор решений $\mathbf {x_{1}} (t),\ldots ,\mathbf {x_{n}} (t)$ называются линейно независимыми, если:

$C_{1}\mathbf {x_{1}} (t)+\ldots +C_{n}\mathbf {x_{n}} =0\quad \forall t$ удовлетворен только за $C_{1}=\ldots =C_{n}=0$ .

Дифференциальное уравнение второго порядка ${\ddot {x}}=f(t,x,{\dot {x}})$ можно преобразовать в систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка, определив $y={\dot {x}}$ , что дает нам систему первого порядка:

${\begin{cases}{\dot {x}}&=&y\\{\dot {y}}&=&f(t,x,y)\end{cases}}$

Как и в любой линейной системе двух уравнений, два решения можно назвать линейно независимыми, если $C_{1}\mathbf {x} _{1}+C_{2}\mathbf {x} _{2}=\mathbf {0}$ подразумевает $C_{1}=C_{2}=0$ или, что то же самое, что ${\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\{\dot {x}}_{1}&{\dot {x}}_{2}\end{vmatrix}}$ не равно нулю. Это понятие распространяется на системы второго порядка, и любые два решения ОДУ второго порядка называются линейно независимыми, если они линейно независимы в этом смысле.

Переопределенность систем дифференциальных уравнений

Как и любая система уравнений, система линейных дифференциальных уравнений называется переопределенной, если уравнений больше, чем неизвестных. Чтобы переопределенная система имела решение, она должна удовлетворять условиям совместимости . ^[1] Например, рассмотрим систему:

{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=f_{i},1\leq i\leq m.

Тогда необходимыми условиями существования решения системы являются:

{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}=0,1\leq i,k\leq m.

См. также: Задача Коши и фундаментальный принцип Эренпрейса .

Нелинейная система дифференциальных уравнений

Пожалуй, самым известным примером нелинейной системы дифференциальных уравнений являются уравнения Навье–Стокса . В отличие от линейного случая, существование решения нелинейной системы представляет собой сложную проблему (ср. существование и гладкость Навье – Стокса ).

Другие примеры нелинейных систем дифференциальных уравнений включают уравнения Лотки – Вольтерра .

Дифференциальная система

Дифференциальная система — это средство изучения системы уравнений в частных производных с использованием геометрических идей, таких как дифференциальные формы и векторные поля.

Например, условия совместности переопределенной системы дифференциальных уравнений могут быть кратко сформулированы в терминах дифференциальных форм (т. е. формы, если быть точным, она должна быть замкнутой). см. в условиях интегрируемости дифференциальных систем Дополнительную информацию .

См. также

Примечания

^ «Переопределенная система — Математическая энциклопедия» .

Ссылки

Л. Эренпрейс, Универсальность преобразования Радона , Оксфордский университет. Пресс, 2003.
Громов М. (1986), Частные дифференциальные отношения, Springer, ISBN 3-540-12177-3
М. Кураниши, "Лекции по инволютивным системам уравнений в частных производных", Опубл. Соц. Мат. Сан-Паулу (1967)
Пьер Шапира, Микродифференциальные системы в комплексной области, Основы математических наук, вып. 269, Спрингер Верлаг, 1985.

Дальнейшее чтение

Эта математике статья по незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] «Переопределенная система — Математическая энциклопедия» .

[1]