Алгебраическая структура

В математике алгебраическая структура состоит из непустого множества A (называемого базовым набором , набором носителей или доменом ), набора операций над A (обычно бинарных операций, таких как сложение и умножение) и конечного набора тождеств , известного как аксиомы , которым должны удовлетворять эти операции.

Алгебраическая структура может быть основана на других алгебраических структурах с операциями и аксиомами, включающими несколько структур. Например, векторное пространство включает в себя вторую структуру, называемую полем , и операцию, называемую скалярным умножением между элементами поля (называемыми скалярами ) и элементами векторного пространства (называемыми векторами ).

Абстрактная алгебра — это название, которое обычно дается изучению алгебраических структур. Общая теория алгебраических структур формализована в универсальной алгебре . Теория категорий — это еще одна формализация, которая включает также другие математические структуры и функции между структурами одного типа ( гомоморфизмы ).

В универсальной алгебре алгебраическая структура называется алгеброй ; этот термин может быть неоднозначным, поскольку в других контекстах алгебра — это алгебраическая структура, которая представляет собой векторное пространство над полем или модуль над коммутативным кольцом .

Совокупность всех структур данного типа (одни и те же операции и одни и те же законы) называется многообразием в универсальной алгебре ; этот термин употребляется также в совершенно другом значении в алгебраической геометрии , как сокращение от алгебраического многообразия . В теории категорий совокупность всех структур данного типа и гомоморфизмов между ними образует конкретную категорию .

Введение

Сложение и умножение — это типичные примеры операций , которые объединяют два элемента набора для создания третьего элемента того же набора. Эти операции подчиняются нескольким алгебраическим законам. Например, a + ( b + c ) = ( a + b ) + c и a ( bc ) = ( ab ) c — ассоциативные законы , а a + b = b + a и ab = ba — коммутативные законы . Во многих системах, изучаемых математиками, есть операции, которые подчиняются некоторым, но не обязательно всем, законам обычной арифметики. Например, возможные перемещения объекта в трехмерном пространстве можно объединить, выполнив первое перемещение объекта, а затем второе перемещение с нового положения. Такие движения, формально называемые жесткими движениями , подчиняются ассоциативному закону, но не удовлетворяют коммутативному закону.

Множества с одной или несколькими операциями, подчиняющимися определенным законам, называются алгебраическими структурами . Когда новая проблема включает в себя те же законы, что и такая алгебраическая структура, все результаты, доказанные с использованием только законов структуры, могут быть непосредственно применены к новой задаче.

В полной общности алгебраические структуры могут включать произвольный набор операций, включая операции, которые объединяют более двух элементов (операции с более высокой арностью ) и операции, которые принимают только один аргумент ( унарные операции ) или даже нулевые аргументы ( нулевые операции ). Приведенные ниже примеры ни в коем случае не являются полным списком, но включают наиболее распространенные структуры, изучаемые на курсах бакалавриата.

Общие аксиомы

Эквациональные аксиомы

Аксиома алгебраической структуры часто имеет форму тождества , то есть уравнения , в котором две стороны знака равенства являются выражениями , включающими операции над алгебраической структурой и переменными . Если переменные в тождестве заменить произвольными элементами алгебраической структуры, равенство должно оставаться верным. Вот несколько распространенных примеров.

Коммутативность

Операция $*$ коммутативен , если $$x*y=y*x$$ для каждого x и y в алгебраической структуре.

Ассоциативность

Операция $*$ ассоциативен , если $$(x*y)*z=x*(y*z)$$ для каждого x , y и z в алгебраической структуре.

Левая дистрибутивность

Операция $*$ остается распределительным относительно другой операции $+$ если $$x*(y+z)=(x*y)+(x*z)$$ для каждого x , y и z в алгебраической структуре (вторая операция обозначена здесь как + , поскольку во многих распространенных примерах вторая операция является сложением).

Правая дистрибутивность

Операция $*$ является правораспределительным относительно другой операции $+$ если $$(y+z)*x=(y*x)+(z*x)$$ для каждого x , y и z в алгебраической структуре.

Дистрибутивность

Операция $*$ является распределительным относительно другой операции $+$ если он одновременно левораспределительный и правораспределительный. Если операция $*$ является коммутативным, то левая и правая дистрибутивность эквивалентны дистрибутивности.

Экзистенциальные аксиомы

Некоторые общие аксиомы содержат экзистенциальное положение . В общем, такого предложения можно избежать, введя дополнительные операции и заменив экзистенциальное предложение идентификатором, включающим новую операцию. Точнее, рассмотрим аксиому вида «для любого X существует y такое, что $f(X,y)=g(X,y)$", где X - набор переменных для . Выбор конкретного значения y каждого значения X определяет функцию $\varphi :X\mapsto y,$ которую можно рассматривать как операцию арности k , а аксиома становится тождеством $f(X,\varphi (X))=g(X,\varphi (X)).$

Введение такой вспомогательной операции несколько усложняет формулировку аксиомы, но имеет некоторые преимущества. Учитывая конкретную алгебраическую структуру, доказательство выполнения экзистенциальной аксиомы обычно состоит из определения вспомогательной функции, дополненного прямыми проверками. Кроме того, при вычислениях в алгебраической структуре обычно явно используются вспомогательные операции. Например, в случае чисел аддитивная обратная операция обеспечивается унарной операцией минуса. $x\mapsto -x.$

Кроме того, в универсальной алгебре разнообразие — это класс алгебраических структур, которые используют одни и те же операции и одни и те же аксиомы, при условии, что все аксиомы являются тождествами. Изложенное показывает, что экзистенциальные аксиомы указанной формы принимаются при определении разнообразия.

Вот некоторые из наиболее распространенных экзистенциальных аксиом.

Элемент идентификации

Бинарная операция $*$ имеет единичный элемент, если существует элемент e такой, что $$x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*x=x$$ для всех x в структуре. Здесь вспомогательной операцией является операция нулевой арности, имеющая e . в качестве результата

Обратный элемент

Дана бинарная операция $*$ который имеет единичный элемент e , элемент x обратим, если у него есть обратный элемент, то есть если существует элемент $\operatorname {inv} (x)$ такой, что $$\operatorname {inv} (x)*x=e\quad {\text{and}}\quad x*\operatorname {inv} (x)=e.$$Например, группа — это алгебраическая структура с бинарной операцией, которая является ассоциативной, имеет единичный элемент и для которой все элементы обратимы.

Неэквациональные аксиомы

Аксиомами алгебраической структуры может быть любая формула первого порядка , то есть формула, включающая логические связки (такие как «и» , «или» и «не» ) и логические кванторы ( $\forall ,\exists$), которые применяются к элементам (не к подмножествам) структуры.

Такой типичной аксиомой является инверсия в полях . Эта аксиома не может быть сведена к аксиомам предыдущих типов. (следовательно, поля не образуют многообразия в смысле универсальной алгебры .) Можно утверждать: «Каждый ненулевой элемент поля обратим »; или, что то же самое: структура имеет унарную операцию inv такую, что

$\forall x,\quad x=0\quad {\text{or}}\quad x\cdot \operatorname {inv} (x)=1.$

Операцию inv можно рассматривать либо как частичную операцию , которая не определена для x = 0 ; или как обычная функция, значение которой в 0 произвольно и не должно использоваться.

Общие алгебраические структуры

Основная статья: Краткое описание алгебраических структур § Типы алгебраических структур

Один комплект с операциями

Простые структуры : нет двоичных операций :

• Set : вырожденная алгебраическая структура S , не имеющая операций.

Групповые структуры : одна бинарная операция. Бинарная операция может обозначаться любым символом или вообще без символа (наложение), как это делается при обычном умножении действительных чисел.

• Группа : моноид с унарной операцией (обратной), порождающей обратные элементы .
• Абелева группа : группа, бинарная операция которой коммутативна .

Кольцеобразные структуры или рингоиды : две бинарные операции, часто называемые сложением и умножением , с распределением умножения над сложением.

• Кольцо : полукольцо, аддитивный моноид которого является абелевой группой.
• Тело : нетривиальное кольцо, в котором деление на ненулевые элементы. определено
• Коммутативное кольцо : кольцо, в котором операция умножения коммутативна.
• Поле : коммутативное тело (т.е. коммутативное кольцо, которое содержит мультипликативный обратный элемент для каждого ненулевого элемента).

Решетчатые структуры : две или более бинарные операции, включая операции, называемые «встреча» и «соединение» , связанные законом поглощения .

• Полная решетка : решетка, в которой существуют произвольные пересечения и соединения .
• Ограниченная решетка : решетка с наибольшим и наименьшим элементом.
• Распределительная решетка : решетка, в которой каждое соединение распределяется по другому. Набор степеней при объединении и пересечении образует дистрибутивную решетку.
• Булева алгебра : дополненная дистрибутивная решетка. Либо встреча, либо объединение могут быть определены с точки зрения другого и дополнения.

Два набора с операциями

• Модуль : абелева группа M и кольцо R, как операторы на M. действующие Члены R иногда называют скалярами , а бинарная операция скалярного умножения представляет собой функцию R × M → M , которая удовлетворяет нескольким аксиомам. С учетом кольцевых операций эти системы имеют как минимум три операции.
• Векторное пространство : модуль, в котором кольцо R является телом или полем .

• Алгебра над полем : модуль над полем, который также выполняет операцию умножения, совместимую со структурой модуля. Это включает в себя распределительность по сложению и линейность по отношению к умножению.
• Пространство внутреннего произведения векторное F пространство V с определенной билинейной формой V × V → F. :

Гибридные структуры

Алгебраические структуры также могут сосуществовать с добавленными структурами неалгебраической природы, такими как частичный порядок или топология . Добавленная структура должна быть в некотором смысле совместима с алгебраической структурой.

• Топологическая группа : группа, топология которой совместима с групповой операцией.
• Группа Ли : топологическая группа с совместимой гладкой структурой многообразия .
• Упорядоченные группы , упорядоченные кольца и упорядоченные поля : каждый тип структуры имеет совместимый частичный порядок .
• Архимедова группа : линейно упорядоченная группа, для которой выполняется свойство Архимеда .
• Топологическое векторное пространство : векторное пространство, M которого имеет совместимую топологию.
• Нормированное векторное пространство : векторное пространство с совместимой нормой . Если такое пространство полно (как метрическое пространство), то оно называется банаховым пространством .
• Гильбертово пространство : пространство внутреннего продукта над действительными или комплексными числами, внутренний продукт которого порождает структуру банахового пространства.
• Алгебра вершинных операторов
• Алгебра фон Неймана : *-алгебра операторов в гильбертовом пространстве, наделенная слабой операторной топологией .

Универсальная алгебра

Основная статья: Универсальная алгебра

Алгебраические структуры определяются посредством различных конфигураций аксиом . Универсальная алгебра абстрактно изучает такие объекты. Одна из основных дихотомий существует между структурами, которые полностью аксиоматизированы идентичностями , и структурами, которые таковыми не являются. Если все аксиомы, определяющие класс алгебр, являются тождествами, то этот класс является многообразием ( не путать с алгебраическими многообразиями алгебраической геометрии ).

Идентичности — это уравнения, сформулированные с использованием только тех операций, которые допускает структура, и переменных, которые неявно и универсально количественно определены в соответствующей вселенной . Идентичности не содержат связок , экзистенциально квантифицированных переменных или отношений любого рода, кроме разрешенных операций. Изучение многообразий — важная часть универсальной алгебры . Алгебраическую структуру в многообразии можно понимать как факторалгебру термальной алгебры (также называемой «абсолютно свободной алгеброй »), разделенную отношениями эквивалентности, порожденными набором тождеств. , набор функций с заданными сигнатурами порождает свободную алгебру, термин-алгебру T. Итак Учитывая набор эквациональных тождеств (аксиом), можно рассмотреть их симметричное транзитивное замыкание E . Тогда фактор-алгебра T / E является алгебраической структурой или многообразием. Так, например, группы имеют сигнатуру, содержащую два оператора: оператор умножения m , принимающий два аргумента, и обратный оператор i , принимающий один аргумент, и единичный элемент e — константа, которую можно рассматривать как оператор, принимающий нулевые аргументы. Учитывая (счетный) набор переменных x , y , z и т. д., алгебра терминов представляет собой совокупность всех возможных терминов, включающих m , i , e и переменные; так, например, m ( i ( x ), m ( x , m ( y , e ))) будет элементом термина алгебра. Одной из аксиом, определяющих группу, является тождество m ( x , i ( x )) = e ; другой - м ( Икс , е ) знак равно Икс . Аксиомы можно представить в виде деревьев . Эти уравнения индуцируют классы эквивалентности в свободной алгебре; тогда факторалгебра имеет алгебраическую структуру группы.

Некоторые структуры не образуют разновидностей, потому что либо:

1. Необходимо, чтобы 0 ≠ 1, 0 — аддитивный единичный элемент , а 1 — мультипликативный единичный элемент, но это нетождество;
2. Такие структуры, как поля, имеют некоторые аксиомы, которые справедливы только для ненулевых членов S . Чтобы алгебраическая структура была многообразием, ее операции должны быть определены для всех членов S ; частичных операций быть не может.

Структуры, аксиомы которых неизбежно включают нетождества, относятся к числу наиболее важных в математике, например поля и тела . Структуры с нетождественностью создают проблемы, которых нет у разновидностей. Например, прямой продукт двух полей не является полем, потому что $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$, но поля не имеют делителей нуля .

Теория категорий

Теория категорий — еще один инструмент изучения алгебраических структур (см., например, Mac Lane 1998). Категория — это совокупность объектов со связанными с ними морфизмами. Каждая алгебраическая структура имеет свое собственное понятие гомоморфизма , а именно любую функцию, совместимую с операцией (операциями), определяющей структуру. Таким образом, каждая алгебраическая структура порождает категорию . Например, в категории групп все группы являются объектами, а все гомоморфизмы групп — морфизмами. Эту конкретную категорию можно рассматривать как категорию множеств с добавленной теоретико-категорной структурой. Аналогично, категория топологических групп (морфизмы которых являются гомоморфизмами непрерывных групп) является категорией топологических пространств с дополнительной структурой. между Забывчивый функтор категориями алгебраических структур «забывает» часть структуры.

В теории категорий существуют различные концепции, которые пытаются уловить алгебраический характер контекста, например

• алгебраическая категория
• по существу алгебраическая категория
• презентабельная категория
• локально презентабельная категория
• монадические функторы и категории
• универсальное свойство .

Различные значения слова «структура».

При небольшом злоупотреблении обозначениями слово «структура» может также относиться только к операциям над структурой, а не к самому базовому набору. Например, предложение «Мы определили кольцевую структуру на множестве $A$", означает, что мы определили кольцевые операции на множестве $A$. Другой пример: группа $(\mathbb {Z} ,+)$ можно рассматривать как набор $\mathbb {Z}$ наделенный алгебраической структурой, а именно операцией $+$.

См. также

• Бесплатный объект
• Математическая структура
• Подпись (логика)
• Структура (математическая логика)

Ссылки

• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999), Алгебра (2-е изд.), AMS Chelsea, ISBN  978-0-8218-1646-2
• Мишель, Энтони Н.; Хергет, Чарльз Дж. (1993), Прикладная алгебра и функциональный анализ , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-67598-5
• Беррис, Стэнли Н.; Санкаппанавар, HP (1981), Курс универсальной алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-90578-3

Теория категорий

• Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98403-2
• Тейлор, Пол (1999), Практические основы математики , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-63107-5

Внешние ссылки

• Структуры алгебры Джипсена. Включает в себя множество структур, не упомянутых здесь.
• Страница Mathworld, посвященная абстрактной алгебре.
• Стэнфордская энциклопедия философии : алгебра Воана Пратта .