Квантор (логика)

Чтобы узнать о других значениях, см. Квантор (значения) .

В логике квантор — это оператор, который определяет, сколько индивидов в области дискурса удовлетворяют открытой формуле . Например, квантор всеобщности $\forall$ в первого порядка формуле $\forall xP(x)$ выражает, что все в области удовлетворяет свойству, обозначенному $P$. С другой стороны, квантор существования $\exists$ в формуле $\exists xP(x)$ выражает, что в области существует что-то, что удовлетворяет этому свойству. Формула, в которой квантификатор имеет самый широкий диапазон, называется количественной формулой. Количественная формула должна содержать связанную переменную и подформулу, определяющую свойство референта этой переменной.

Таблица истинности для кванторов экзистенциала и всеобщности.

Наиболее часто используемые квантификаторы: $\forall$ и $\exists$. Эти кванторы стандартно определяются как двойственные ; в классической логике они взаимоопределяемы с помощью отрицания . Их также можно использовать для определения более сложных кванторов, как в формуле $\neg \exists xP(x)$ который выражает, что ничто не обладает свойством $P$. Другие квантификаторы можно определить только в рамках логики второго порядка или логики более высокого порядка . Кванторы были обобщены, начиная с работ Мостовского и Линдстрема .

В логическом высказывании первого порядка квантификации одного и того же типа (либо универсальные квантификации, либо экзистенциальные квантификации) могут обмениваться местами без изменения значения утверждения, в то время как обмен квантификациями разных типов меняет смысл. Например, единственная разница в определениях равномерной непрерывности и (обычной) непрерывности - это порядок количественных оценок.

Кванторы первого порядка приблизительно соответствуют значениям некоторых кванторов естественного языка, таких как «некоторые» и «все». Однако многие кванторы естественного языка можно анализировать только с точки зрения обобщенных кванторов .

Отношения к логическому соединению и дизъюнкции

Для конечной области дискурса $D=\{a_{1},...a_{n}\}$, универсально квантифицированная формула $\forall x\in D\;P(x)$ эквивалентно логическому союзу $P(a_{1})\land ...\land P(a_{n})$. Двойственно, экзистенциально квантифицированная формула $\exists x\in D\;P(x)$ эквивалентно логической дизъюнкции $P(a_{1})\lor ...\lor P(a_{n})$. Например, если $B=\{0,1\}$ — набор двоичных цифр , формула $\forall x\in B\;x=x^{2}$ сокращает $0=0^{2}\land 1=1^{2}$, который оценивается как true .

Бесконечная область дискурса

Рассмотрим следующее утверждение ( используя точечную запись для умножения ):

1 · 2 = 1 + 1, и 2 · 2 = 2 + 2, и 3 · 2 = 3 + 3, ..., и 100 · 2 = 100 + 100, и ... и т. д.

Это имеет вид бесконечного соединения предложений. С точки зрения формальных языков это сразу становится проблемой, поскольку ожидается, что правила синтаксиса будут генерировать конечные слова.

Приведенный выше пример удачен тем, что существует процедура генерации всех конъюнктов. Однако, если бы нужно было сделать утверждение о каждом иррациональном числе , не было бы возможности перечислить все соединения, поскольку иррациональные числа не могут быть перечислены. Краткая эквивалентная формулировка, позволяющая избежать этих проблем, использует универсальную количественную оценку :

Для каждого натурального числа · 2 n n = n + n .

Аналогичный анализ применим и к дизъюнкции ,

1 равно 5 + 5, или 2 равно 5 + 5, или 3 равно 5 + 5, ... или 100 равно 5 + 5, или ... и т. д.

который можно перефразировать, используя экзистенциальную квантификацию :

Для некоторого натурального числа n n равно 5+5.

подходы к

Можно разработать абстрактные алгебры которых , модели включают формальные языки с квантификацией, но прогресс идет медленно. и интерес к такой алгебре был ограничен. На сегодняшний день разработаны три подхода:

• Алгебра отношений , изобретенная Огастесом Де Морганом и разработанная Чарльзом Сандерсом Пирсом , Эрнстом Шредером , Альфредом Тарским и учениками Тарского. Алгебра отношений не может представлять формулу с кванторами, вложенными более чем на три глубины. Удивительно, но модели алгебры отношений включают аксиоматическую теорию множеств ZFC и арифметику Пеано ;
• Цилиндрическая алгебра , разработанная Альфредом Тарским , Леоном Хенкиным и другими;
• Полиадическая алгебра Пауля Халмоша .

Обозначения

Двумя наиболее распространенными кванторами являются квантор всеобщности и квантор существования. Традиционным символом квантора всеобщности является « ∀ », перевернутая буква « А », которая означает «для всех» или «все». Соответствующим символом квантора существования является « ∃ », перевернутая буква « E », которая означает «существует» или «существует».

Пример перевода количественного утверждения на естественный язык, например английский, может быть следующим. Учитывая утверждение: «Каждый из друзей Питера либо любит танцевать, либо любит ходить на пляж (или и то, и другое)», ключевые аспекты могут быть идентифицированы и переписаны с использованием символов, включая квантификаторы. Итак, пусть X — множество всех друзей Питера, P ( x ) — предикат « x любит танцевать», а Q ( x ) — предикат « x любит ходить на пляж». Тогда приведенное выше предложение можно записать в формальной записи как $\forall {x}{\in }X,(P(x)\lor Q(x))$, что читается как «для каждого x , являющегося членом X , P применяется к x или Q применяется к x ».

Некоторые другие количественные выражения строятся следующим образом:

$\exists {x}\,P$     $\forall {x}\,P$

формулы П. для Эти два выражения (с использованием приведенных выше определений) читаются как «есть друг Петра, который любит танцевать» и «все друзья Петра любят танцевать» соответственно.Варианты обозначений для набора X и членов набора x включают :

$\bigvee _{x}P$     $(\exists {x})P$     $(\exists x\ .\ P)$     $\exists x\ \cdot \ P$     $(\exists x:P)$     $\exists {x}(P)$     $\exists _{x}\,P$     $\exists {x}{,}\,P$     $\exists {x}{\in }X\,P$     $\exists \,x{:}X\,P$

Все эти вариации также применимы к универсальной количественной оценке.Другие варианты квантора универсальности:

$\bigwedge _{x}P$     $\bigwedge xP$     $(x)\,P$

В некоторых версиях обозначений явно упоминается диапазон количественной оценки. Всегда должен быть указан диапазон количественного определения; для данной математической теории это можно сделать несколькими способами:

• Предположим, что для каждой количественной оценки имеется фиксированная область дискурса, как это сделано в теории множеств Цермело – Френкеля :
• Заранее зафиксируйте несколько областей обсуждения и потребуйте, чтобы каждая переменная имела объявленный домен, который является типом этой переменной. Это аналогично ситуации в статически типизированных языках программирования , где переменные имеют объявленные типы.
• Четко упомяните диапазон количественной оценки, возможно, используя символ для набора всех объектов в этой области (или типа объектов в этой области).

Можно использовать любую переменную в качестве количественной переменной вместо любой другой при определенных ограничениях, при которых захват переменной не происходит. Даже если в нотации используются типизированные переменные, можно использовать переменные этого типа.

Неофициально или на естественном языке «∀ x » или «∃ x » могут появляться после или в середине P ( x ). Однако формально впереди стоит фраза, вводящая фиктивную переменную.

Математические формулы смешивают символические выражения для кванторов с кванторами естественного языка, такими как:

Для любого натурального числа х ,...

Существует х такой, что...

Хотя бы для одного x, ....

Ключевые слова для количественной оценки уникальности включают:

Ровно для одного натурального числа x ,...

Существует один и только один х такой, что....

Кроме того, x можно заменить местоимением . Например,

Для каждого натурального числа его произведение на 2 равно его сумме с самим собой.

Некоторое натуральное число является простым.

Порядок кванторов (вложенность)

См. также: Сдвиг квантификатора

Порядок кванторов имеет решающее значение для значения, что иллюстрируется следующими двумя утверждениями:

Для каждого натурального числа n существует натуральное число s такое, что s = n ² .

Это, несомненно, правда; он просто утверждает, что каждое натуральное число имеет квадрат. Смысл утверждения, в котором порядок кванторов изменен на обратный:

Существует натуральное число s такое, что для любого натурального n s числа = n ² .

Это явно неверно; он утверждает, что существует единственное натуральное число s , которое является квадратом каждого натурального числа. Это связано с тем, что синтаксис предписывает, что любая переменная не может быть функцией последующих переменных.

Менее тривиальный пример из математического анализа касается понятий равномерной и поточечной непрерывности, определения которых различаются лишь заменой позиций двух кванторов. Функция f от R до R называется

• Поточечно непрерывен, если
  $$\forall \varepsilon >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\exists \delta >0\;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )$$
• Равномерно непрерывно, если
  $$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )$$

В первом случае конкретное значение, выбранное для δ, может быть функцией как ε , так и x , переменных, которые ему предшествуют.В последнем случае δ может быть функцией только ε (т. е. ее нужно выбирать независимо от x ). Например, f ( x ) = x ² удовлетворяет поточечной, но не равномерной непрерывности (ее наклон несвязан).Напротив, замена двух исходных кванторов универсальности в определении поточечной непрерывности не меняет смысла.

Как правило, замена двух соседних кванторов всеобщности с одной и той же областью действия (или замена двух соседних кванторов существования с одной и той же областью действия) не меняет смысла формулы (см. Пример здесь ), но замена местами квантора существования и соседнего квантора всеобщности квантор может изменить свое значение.

Максимальная глубина вложенности кванторов в формуле называется ее « кванторным рангом ».

Эквивалентные выражения

Если D — область определения x , а P ( x ) — предикат, зависящий от объектной переменной x , то универсальное предложение можно выразить как

$\forall x\!\in \!D\;P(x).$

Это обозначение известно как ограниченная или релятивизированная или ограниченная количественная оценка . Эквивалентно можно написать:

$\forall x\;(x\!\in \!D\to P(x)).$

Экзистенциальное предложение может быть выражено с помощью ограниченной количественной оценки как

$\exists x\!\in \!D\;P(x),$

или эквивалентно

$\exists x\;(x\!\in \!\!D\land P(x)).$

Вместе с отрицанием для выполнения обеих задач необходим только один из кванторов всеобщности или существования:

$\neg (\forall x\!\in \!D\;P(x))\equiv \exists x\!\in \!D\;\neg P(x),$

который показывает, что для опровержения предложения «для всех x » достаточно найти x , для которого предикат ложен. Сходным образом,

$\neg (\exists x\!\in \!D\;P(x))\equiv \forall x\!\in \!D\;\neg P(x),$

Чтобы опровергнуть утверждение «существует x », нужно показать, что предикат ложен для всех x .

В классической логике каждая формула логически эквивалентна формуле в пренексной нормальной форме , то есть строке кванторов и связанных переменных, за которой следует формула без кванторов.

Удаление квантификатора

Этот раздел представляет собой отрывок из раздела «Устранение квантификатора» . [ редактировать ]

Устранение кванторов — это концепция упрощения, используемая в математической логике , теории моделей и теоретической информатике . Неофициально, количественное утверждение» $\exists x$ такой, что $\ldots$можно рассматривать как вопрос «Когда будет $x$ такой, что $\ldots$?», и утверждение без кванторов можно рассматривать как ответ на этот вопрос.

Одним из способов классификации формул является количество количественных оценок. Формулы с меньшей глубиной чередования кванторов считаются более простыми, а формулы без кванторов - наиболее простыми.

Теория имеет элиминацию кванторов , если для каждой формулы $\alpha$, существует другая формула $\alpha _{QF}$ без кванторов, что эквивалентно ему ( по модулю этой теории).

Диапазон количественной оценки

Каждая количественная оценка включает в себя одну конкретную переменную и область обсуждения или диапазон количественной оценки этой переменной. Диапазон количественной оценки определяет набор значений, которые принимает переменная. В приведенных выше примерах диапазон количественной оценки представляет собой набор натуральных чисел. Спецификация диапазона количественной оценки позволяет нам выразить разницу между, скажем, утверждением, что предикат справедлив для некоторого натурального числа или для некоторого действительного числа . В пояснительных соглашениях часто резервируются имена некоторых переменных, такие как « n » для натуральных чисел и « x » для действительных чисел, хотя полагаться исключительно на соглашения об именах в целом не может работать, поскольку диапазоны переменных могут меняться в ходе математического рассуждения.

Универсальная количественная формула для пустого диапазона (например, $\forall x\!\in \!\varnothing \;x\neq x$) всегда является пустой истиной . И наоборот, экзистенциально квантифицированная формула для пустого диапазона (например, $\exists x\!\in \!\varnothing \;x=x$) всегда ложно.

Более естественный способ ограничить область дискурса – это осторожный количественный анализ . Например, защищенная количественная оценка

Для некоторого натурального числа n n . четно и n простое число

означает

Для некоторого четного числа n . n является простым

В некоторых математических теориях предполагается заранее установленная единая область дискурса. Например, в теории множеств Цермело – Френкеля переменные варьируются во всех множествах. В этом случае для имитации меньшего диапазона количественной оценки можно использовать защищенные квантификаторы. Таким образом, в приведенном выше примере, чтобы выразить

каждого натурального числа n n n · 2 = n + Для

в теории множеств Цермело – Френкеля можно было бы написать

Для каждого n , если n принадлежит N , то n ·2 = n + n ,

где N — множество всех натуральных чисел.

Формальная семантика

Математическая семантика — это применение математики для изучения значения выражений формального языка. Он состоит из трех элементов: математической спецификации класса объектов посредством синтаксиса , математической спецификации различных семантических областей и связи между ними, которая обычно выражается как функция от синтаксических объектов к семантическим. В этой статье рассматривается только вопрос интерпретации элементов-квантификаторов.Синтаксис формулы может быть задан синтаксическим деревом. Квантор имеет область действия , и появление переменной x является свободным , если оно не находится в области количественного определения этой переменной. Таким образом, в

$\forall x(\exists yB(x,y))\vee C(y,x)$

появление x и y в C ( y , x ) является свободным, тогда как появление x и y в B ( y , x ) связано (т.е. несвободно).

Синтаксическое дерево формулы $\forall x(\exists yB(x,y))\vee C(y,x)$, иллюстрирующий область видимости и захват переменных. Вхождения связанных и свободных переменных окрашены в красный и зеленый цвета соответственно.

Интерпретация предполагает , исчисления предикатов первого порядка что задана область индивидуумов X . Формула A , свободными переменными которой являются x ₁ , ..., x _n, интерпретируется как логическая -значная функция F ( v ₁ , ..., v _n ) от n аргументов, где каждый аргумент находится в пределах области X . Логическое значение означает, что функция принимает одно из значений T (интерпретируется как истина) или F (интерпретируется как ложь). Интерпретация формулы

$\forall x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})$

— это функция G от n -1 аргументов такая, что G ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = T тогда и только тогда, когда F ( v ₁ , ..., v _{n -1} , w ) = T для каждый w в X. ​Если F ( v ₁ , ..., v _{n -1} , w ) = F хотя бы для одного значения w , то G ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = F . Аналогично интерпретация формулы

$\exists x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})$

— это функция H от n -1 аргументов такая, что H ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = T тогда и только тогда, когда F ( v ₁ , ..., v _{n -1} , w ) = T для хотя бы один w и H ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = F в противном случае.

Семантика количественной оценки уникальности требует исчисления предикатов первого порядка с равенством. Это означает, что дан выделенный двухместный предикат "="; семантика также соответствующим образом изменяется, так что "=" всегда интерпретируется как отношение равенства двух мест на X . Интерпретация

$\exists !x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})$

то это функция от n -1 аргументов, которая является логической и интерпретацией

$\exists x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})$

$\forall y,z{\big (}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},y)\wedge A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},z)\implies y=z{\big )}.$

Каждый вид количественной оценки определяет соответствующий оператор замыкания в наборе формул путем добавления для каждой свободной переменной x квантора для привязки x . Например, экзистенциальное замыкание n открытой формулы > 2 ∧ x ^н + и ^н = г ^н — замкнутая формула ∃ n ∃ x ∃ y ∃ z ( n >2 ∧ x ^н + и ^н = г ^н ); Последняя формула, если ее интерпретировать в отношении целых положительных чисел, известна как неверная согласно Великой теореме Ферма . Другой пример: эквациональные аксиомы, такие как x + y = y + x , обычно предназначены для обозначения их универсального замыкания , например ∀ x ∀ y ( x + y = y + x ) для выражения коммутативности .

Паукаль, мультал и

Смотрите также: теорема Фубини и измеримые

Ни один из ранее обсуждавшихся кванторов не применим к таким количественным показателям, как

Существует множество целых чисел n < 100, таких, что n делится на 2, 3 или 5.

Один из возможных механизмов интерпретации можно получить следующим образом: предположим, что в дополнение к семантической области X мы дали вероятностную меру P, определенную на X , и числа обрезания 0 < a ≤ b ≤ 1. Если A — формула со свободными переменными x ₁ ,..., x _n, интерпретация которого такова:функция F переменных v ₁ ,..., v _n тогда интерпретация

$\exists ^{\mathrm {many} }x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})$

является функцией v ₁ ,..., v _{n -1,} которая равна T тогда и только тогда, когда

$\operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\geq b$

и F в противном случае. Аналогично, интерпретация

$\exists ^{\mathrm {few} }x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})$

является функцией v ₁ ,..., v _{n -1,} которая является F тогда и только тогда, когда

$0<\operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\leq a$

и Т в противном случае.

Другие квантификаторы

Со временем было предложено несколько других квантификаторов. В частности, квантор решения отметить § ( знак раздела ) и прочитать «те». Например,

$\left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\{0,1,2\}$

читается «те n из N такие, что n ² ≤ 4 находятся в {0,1,2}». Эту же конструкцию можно выразить в нотации построителя множеств как

$\{n\in \mathbb {N} :n^{2}\leq 4\}=\{0,1,2\}.$

В отличие от других кванторов, § дает набор, а не формулу.

Некоторые другие квантификаторы, иногда используемые в математике, включают:

• Существует бесконечно много элементов таких, что...
• Для всех элементов, кроме конечного числа... (иногда выражается как « почти для всех элементов...»).
• Существует бесчисленное множество таких элементов, что...
• Для всех элементов, кроме счетного числа...
• Для всех элементов множества положительная мера...
• Для всех элементов, кроме тех, которые входят в набор нулевой меры...

История

Термин логика , также называемый аристотелевской логикой, рассматривает количественную оценку способом, который ближе к естественному языку, а также менее подходит для формального анализа. Термин «логика» рассматривал «Все» , «Некоторые» и «Нет» в IV веке до нашей эры, в отчете также затрагивались алетические модальности .

В 1827 году Джордж Бентам опубликовал свою книгу «Очерк новой системы логики: с критическим исследованием элементов логики доктора Уэйтли» , описывающую принцип квантора, но книга не получила широкого распространения.

Огастес Де Морган (1806–1871) был первым, кто использовал «квантификатор» в современном смысле.

Уильям Гамильтон утверждал, что ввел термины «количественная оценка» и «количественная оценка», скорее всего, в своих лекциях в Эдинбурге ок. 1840. Огастес Де Морган подтвердил это в 1847 году, но современное использование началось с Де Моргана в 1862 году, когда он сделал такие утверждения, как «Мы ​​должны принять как все , так и некоторые-не-все в качестве квантификаторов».

Готтлоб Фреге в своей книге «Begriffsschrift » 1879 года был первым, кто использовал квантор для привязки переменной, охватывающей область дискурса и появляющейся в предикатах . Он давал универсальную количественную оценку переменной (или отношению), записывая переменную над ямочкой прямой линией, которая в противном случае появлялась в его схематических формулах. Фреге не разработал явного обозначения для экзистенциальной количественной оценки, вместо этого использовал свой эквивалент ~∀ x ~, или контрапозицию . Толкование Фреге количественной оценки оставалось практически незамеченным до появления Бертрана Рассела в 1903 году «Принципов математики» .

В работе, кульминацией которой стала работа Пирса (1885), Чарльз Сандерс Пирс и его ученик Оскар Говард Митчелл независимо изобрели универсальные и экзистенциальные кванторы, а также связанные переменные . Пирс и Митчелл написали Π _x и Σ _x, где мы теперь пишем ∀ x и ∃ x . Обозначения Пирса можно найти в трудах Эрнста Шредера , Леопольда Левенхайма , Торальфа Сколема и польских логиков 1950-х годов. В частности, это обозначение знаковой статьи Курта Гёделя 1930 года о полноте логики первого порядка и статьи 1931 года о неполноте Пеано арифметики .

Подход Пирса к количественному определению также повлиял на Уильяма Эрнеста Джонсона и Джузеппе Пеано , которые изобрели еще одно обозначение, а именно ( x ) для универсального количественного определения x и (в 1897 году) ∃ x для экзистенциального количественного определения x . Следовательно, на протяжении десятилетий каноническими обозначениями в философии и математической логике были ( x ) P , чтобы выразить «все индивидуумы в области дискурса обладают свойством P », и «(∃ x ) P », поскольку «существует хотя бы один индивидуум в область дискурса, обладающая свойством P ». Пеано, который был гораздо более известен, чем Пирс, фактически распространил взгляды последнего по всей Европе. Обозначения Пеано были приняты Principia Mathematica Уайтхеда Рассела и Алонзо , Куайна и Чёрча . В 1935 году Генцен ввёл символ ∀ по аналогии с символом ∃ Пеано. ∀ не стал каноническим до 1960-х годов.

Примерно в 1895 году Пирс начал разрабатывать свои экзистенциальные графики , переменные которых можно рассматривать как неявно выраженные количественно. Является ли самый мелкий экземпляр переменной четным или нечетным, определяет, является ли количественная оценка этой переменной универсальной или экзистенциальной. (Поверхностность противоположна глубине, которая определяется вложением отрицаний.) Графическая логика Пирса в последние годы привлекла некоторое внимание тех, кто исследует гетерогенные рассуждения и диаграммные выводы .

См. также

• Абсолютная общность
• Почти все
• Квантор ветвления
• Условный квантификатор
• Подсчет количественной оценки
• В конце концов (математика)
• Обобщенный квантор - свойство более высокого порядка, используемое в качестве стандартной семантики кванторных именных фраз.
• Квантор Линдстрема — обобщенный полиадический квантор
• Сдвиг квантификатора

Библиография

• Барвайз, Джон ; и Этчеменди, Джон , 2000. Языковое доказательство и логика . CSLI (Издательство Чикагского университета) и Нью-Йорк: Seven Bridges Press. Нежное введение в логику первого порядка от двух первоклассных логиков.
• Браун, Кристофер В. (31 июля 2002 г.). «Что такое устранение квантификатора» . Проверено 30 августа 2018 г.
• Фреге, Готтлоб , 1879. Begriffsschrift . Переведено Жаном ван Хейеноортом , 1967. От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета. Первое появление количественной оценки.
• Гильберт, Дэвид ; и Акерманн, Вильгельм , 1950 (1928). Принципы математической логики . Челси. Перевод Grundzüge der theoretischen Logik . Спрингер-Верлаг. Первое издание 1928 года — это первый случай, когда количественная оценка была сознательно использована в ныне стандартной манере, а именно в качестве связывающих переменных, охватывающих некоторую фиксированную область дискурса. Это определяющий аспект логики первого порядка .
• Пирс, CS , 1885, «Об алгебре логики: вклад в философию обозначений», Американский журнал математики , том 7, стр. 180–202. Перепечатано в Kloesel, N. et al. , ed., 1993. Сочинения К.С. Пирса, Том 5. Первое появление количественной оценки в ее нынешней форме.
• Райхенбах, Ганс , 1975 (1947). Элементы символической логики , Dover Publications. Кванторы обсуждаются в главах с §18 «Связывание переменных» по §30 «Выводы из синтетических предпосылок».
• Вестерстол, Даг, 2001, «Кванторы», в издании Гобла Лу, « Руководство Блэквелла по философской логике» . Блэквелл.
• Визе, Хайке, 2003. Числа, язык и человеческий разум . Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-83182-2 .

Внешние ссылки

• «Квантор» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• « Для всех» и «существует» актуальные фразы, предложения и выражения» . Архивировано из оригинала 1 марта 2000 года . Из Колледжа естественных наук Гавайского университета в Маноа .
• Стэнфордская энциклопедия философии :
  • Шапиро, Стюарт (2000). «Классическая логика» (охватывает синтаксис, теорию моделей и метатеорию логики первого порядка в стиле естественной дедукции).
  • Вестерстол, Даг (2005). «Обобщенные кванторы»
• Питерс, Стэнли; Вестерстол, Даг (2002). «Кванторы». Архивировано 16 июля 2012 г. в Wayback Machine.