Дух Леона

Хенкин в 1990 году

Леон Альберт Хенкин (19 апреля 1921, Бруклин, Нью-Йорк — 1 ноября 2006, Окленд, Калифорния ) — американский логик, чьи работы сыграли значительную роль в развитии логики, особенно в теории типов . Он был активным научным сотрудником Калифорнийского университета в Беркли, где внес большой вклад в качестве исследователя, преподавателя, а также на административных должностях. В этом университете он руководил вместе с Альфредом Тарским Группой логики и методологии науки . из которого вышли многие важные логики и философы. У него было сильное чувство социальной ответственности, и он был страстным защитником своих пацифистских и прогрессивных идей. Он принимал участие во многих социальных проектах, направленных на преподавание математики, а также проектах, направленных на поддержку женщин и групп меньшинств в продолжении карьеры в математике и смежных областях. Любитель танца и литературы, он ценил жизнь во всех ее аспектах: искусство, культуру, науку и, прежде всего, теплоту человеческих отношений. Студенты помнят его за большую доброту, а также за академические и педагогические достижения.

Хенкин в основном известен своими доказательствами полноты различных формальных систем , таких как теория типов и логика первого порядка (полнота последней в ее слабой версии была доказана Куртом Гёделем в 1929 году). Чтобы доказать полноту теории типов, Хенкин вводит новую семантику, не эквивалентную стандартной семантике, основанную на структурах, называемых общими моделями (также известными как модели Хенкина ). Предложенное им изменение семантики позволяет обеспечить полное дедуктивное исчисление для теории типов и логики второго порядка , среди других логик. Методы Хенкина помогли доказать различные теории моделей результаты как в классической , так и в неклассической логике . Помимо логики, другой отраслью, на которой были сосредоточены его исследования, была алгебра ; он специализировался на цилиндрических алгебрах , над которыми работал вместе с Тарским и Дональдом Монком. Что касается философии математики, то, хотя работ, в которых он явно к ней подходит, немного, его можно считать занимающим номиналистическую позицию.

Жизнь

Детство и первая юность

Леон Альберт Хенкин родился 19 апреля 1921 года в Бруклине, штат Нью-Йорк, в еврейской семье, эмигрировавшей из России поколением ранее. Первым из семьи эмигрировал Авраам Хенкин, старший из братьев отца Леона. По словам Леона, его отец очень гордился им с тех пор, как он был еще мальчиком. Его большие ожидания были очевидны в имени, которое он ему дал: он решил назвать своего сына Альбертом в честь серии статей по Эйнштейна теории относительности , опубликованных в газете «Нью-Йорк Таймс» незадолго до рождения Хенкина. Его семья симпатизировала пацифистским и прогрессивным идеям, и хотя он не был религиозным, у него были глубоко укоренившиеся еврейские традиции. Леон вырос в тесных семейных узах; он был очень близок со своими кузенами, с которыми жил в детстве в Бруклине.

Хенкин учился в основном в государственных школах Нью-Йорка; он учился в средней школе Линкольна, которую окончил в 16 лет и поступил в Колумбийский университет . И в колледже, и в старшей школе он был членом шахматной команды; он всегда предпочитал азартным играм игры, требующие рационального мышления. В годы учебы в средней школе Хенкин подумывал стать учителем математики, а также у него появилось желание стать писателем (как он позже выразился в личном письме). Хотя он посвятил себя университетской академической жизни, он никогда не оставлял своего интереса к преподаванию элементарной математики, чему впоследствии активно способствовал.

Первые учёбы в университете

В 1937 году Леон поступил на факультет математики в Колумбийский университет. Именно во время пребывания в этом учреждении у него появился интерес к логике, который определил ход его академической карьеры. Его первое знакомство с логикой произошло через Б. Рассела книгу « Мистика и математика », которая заинтересовала его во время посещения библиотеки. Этот интерес усиливался и культивировался некоторыми курсами. Хотя на математическом факультете университета не было курсов по логике (они предлагались на факультете философии), Леон был одним из немногих студентов-математиков, заинтересованных в этой дисциплине, и он решил их посещать. Осенью 1938 года, на втором году обучения в Колумбийском университете, он принял участие в первом курсе логики, который вел Эрнест Нагель , который двумя годами ранее внес свой вклад в создание Ассоциации символической логики . Этот курс приблизил его к книге Рассела « Основы математики », где он впервые столкнулся с аксиомой выбора ; Презентация Рассела произвела на него сильное впечатление и побудила его изучить Principia Mathematica , которую Рассел написал вместе с Уайтхедом несколько лет спустя. Его поразили общие идеи теории типов и загадочная аксиома сводимости . И аксиома выбора, и теория типов позже сыграли важную роль в его докторской диссертации.

В следующем году, в осеннем семестре 1939 года, Хенкин прошел второй курс логики у Нагеля, на котором формальные системы и логики высказываний рассматривались логики первого порядка. Это был его первый опыт математической обработки дедуктивных систем. В курсе не вдавались в металогические результаты, устанавливающие связь между семантикой и синтаксикой, а вопрос полноты вообще не затрагивался. Однако Нагель предложил Хенкину в качестве самостоятельного проекта прочтение доказательства полноты пропозициональной логики, данного Куайном , которое появилось за несколько месяцев до этого в « Журнале символической логики» . Это чтение имело большое значение для Хенкина не столько из-за самого содержания, сколько потому, что с его помощью он обнаружил, что может понять исследования по логике и математике, которые проводились в то время. По словам Хенкина, хотя ему и удалось проследить за демонстрацией Куайна, ему не удалось уловить идею доказательства: « Я просто отметил, что целью статьи было показать, что каждая тавтология имеет формальное доказательство в представленной системе аксиом. Эта строго ограниченная цель также не позволяла мне задаться вопросом, как автор думал объединить этапы доказательства. В результате мне не удалось уловить «идею доказательства», важнейшего ингредиента, необходимого для открытия » .

Незадолго до того, как Хенкин начал свой второй год обучения в Колумбийском университете, разразилась Вторая мировая война. Это имело несколько последствий в его жизни. Один из них положительно повлиял на его образование. За несколько дней до начала войны польский математик и логик Альфред Тарский приехал в Гарвард по приглашению Куайна, чтобы прочитать серию лекций по логике. После вторжения Германии в Польшу Тарский обнаружил, что не может вернуться в Польшу, и ему пришлось остаться в Соединенных Штатах. Тарский посетил несколько городов, читая лекции по логике. Одна из таких лекций проходила в Колумбийском университете, и Хенкин, как и остальные студенты-логики, посетил ее с большим энтузиазмом. В нем Тарский говорил о работе Гёделя над неразрешимыми утверждениями в теории типов и о существовании алгоритмов принятия решений для формальных систем - предмет, который Хенкин нашел чрезвычайно стимулирующим.

На своем последнем году обучения в Колумбийском университете, в 1941 году, профессор Ф. Дж. Мюррей, зная, что Хенкин был студентом-математиком, интересующимся логикой, предложил им вместе просмотреть монографию Гёделя, недавно опубликованную в Принстоне, о согласованности аксиомы выбора с обобщенным континуумом. гипотеза . Хотя встречи, на которых они обсуждали эту тему, были редкими, и Леон в конечном итоге редактировал эту монографию практически в одиночку, этот опыт он считал наиболее полезным в своем становлении в Колумбии. По словам Хенкина, тогда начали формироваться некоторые идеи, которые стали отправной точкой его докторской диссертации.

В 1940 году Хенкин решил подать заявление о приеме в докторантуру, так и не определившись до конца, по какому пути идти в своих исследованиях. Его приняли в три университета, из которых он выбрал Принстон , поскольку там находился известный логик Алонсо Чёрч , хотя в то время Хенкин не знал о его работах.

Аспирантура

Хенкин начал учебу в аспирантуре Принстона в 1941 году, обучаясь под руководством Чёрча. Доктор философии. программа, которую он посещал, состояла из двухлетних курсов математики, после которых он должен был сдать «квалификационный» устный экзамен, чтобы доказать, что он хорошо образован по крайней мере в трех областях математики; при этом он получит степень магистра. Затем у него будет еще два года на написание докторской диссертации, содержащей оригинальные исследования, после чего он получит степень доктора философии.

Первые два года он посещал курсы логики, преподаваемые Чёрчем, анализа и общей топологии. На первом курсе логики с Чёрчем изучались несколько формальных систем логики высказываний и логики первого порядка; были переработаны некоторые доказательства полноты и обсуждаемая часть теорем Левенхайма-Скулема, а также представлено доказательство Гёделя о полноте логики первого порядка. Во втором они очень подробно рассмотрели систему второго порядка арифметики Пеано , а также неполноту этой аксиоматической теории и, как следствие, неполноту логики второго порядка.

В 1941 году Соединенные Штаты вступили во Вторую мировую войну, изменив планы Хенкина. Ему пришлось срочно сдать устный квалификационный экзамен, на котором он получил степень магистра и покинул Принстон, чтобы принять участие в Манхэттенском проекте . Этот перерыв продлился четыре года, в течение которых он поделился своими математическими знаниями, работая над проблемами радиолокации и проектируя завод по разделению изотопов урана. Большая часть его работы требовала численного анализа для решения уравнений в частных производных. В этот период все его работы и чтения по логике были полностью приостановлены.

После окончания войны Хенкин вернулся в Принстон в 1946 году, где ему все еще нужно было написать диссертацию для защиты докторской степени. исследования. По возвращении он присоединился к курсу логики, который Чёрч начал месяцем ранее, по » Фреге теории « смысла и референции . В этом курсе он открыл для себя теорию типов Чёрча, которую нашел чрезвычайно интересной. Вопросы, которые он задавал об этом, в конечном итоге привели его к доказательству полноты теории типов, которое он смог адаптировать, чтобы также дать новое доказательство полноты логики первого порядка. Эти результаты, а также другие, вытекающие из тех же идей, стали частью докторской диссертации Хенкина под названием « Полнота формальных систем », которую он окончил в июне 1947 года. Сама диссертация не была опубликована. , хотя некоторые его части были переписаны и опубликованы. Много лет спустя Хенкин написал статью « Открытие моих доказательств полноты ». который содержит подробный обзор содержания его диссертации. Применяемые в нем процедуры стали частыми методами доказательств в различных разделах логики.

После окончания

Получив докторскую степень. Получив степень, Хенкин провел еще два года в Принстоне, работая над докторской диссертацией. В это время, в 1948 году, он познакомился с Джинетт Потвин во время поездки в Монреаль со своей сестрой Эстель и аспирантом Принстона по математике Гарольдом Куном . Жинетт станет его женой в 1950 году, через полгода после того, как Эстель вышла замуж за Гарольда. После завершения второго года обучения в докторантуре в Принстоне в 1949 году Леон вернулся в Калифорнию, где поступил на математический факультет Университета Южной Калифорнии . Там он занимал должность доцента до 1953 года.

В 1952 году Тарскому удалось получить для Хенкина постоянную должность в Беркли . Однако Хенкин не хотел его принимать, поскольку он симпатизировал протестам, недавно вызванным спорной присягой на верность, которую требовали от профессоров университетов с 1950 года. Как только требование присяги исчезло, Хенкин принял предложение Тарского и в 1953 году поселился в Беркли.

Его жизнь в Беркли

С 1953 года большая часть академической деятельности Хенкина вращалась вокруг Беркли, где он сотрудничал с солидной исследовательской группой в области логики. Он оставался там почти всю свою академическую жизнь, за исключением некоторых периодов, когда он выезжал за границу со стипендиями и грантами различных институтов, например, годичное пребывание, которое он провел в Амстердаме, или пребывание в Израиле в рамках исследовательских грантов Фулбрайта , которые ему были присуждены. (в 1954 и 1979 годах соответственно).

Хенкин всегда был благодарен Тарскому, так как именно благодаря ему он смог обосноваться в Беркли. После смерти Тарского в 1983 году он написал в личном письме: «Пишу, чтобы сообщить вам, что Альфред Тарский, приехавший в Беркли в 1942 году и основавший наш великий Центр изучения логики и оснований, умер в среду вечером в возрасте 82 лет [ ...]. Именно он привел меня в Беркли в 1953 году, поэтому я многим обязан ему как в личном, так и в научном плане».

Тарский не только предложил Хенкину возможность трудоустройства, но и предоставил ему очень плодотворную среду междисциплинарного сотрудничества для развития логики. Тарский основал Центр изучения логики и оснований в Беркли, но с помощью Хенкина ему удалось собрать группу логиков, математиков и философов, которые сформировали Группу по логике и методологии науки . который действует и по сей день. В рамках этого проекта они создали междисциплинарную программу последипломного образования, кульминацией которой стала степень доктора философии. Тарский и Хенкин поддержали проект, организовав важные конгрессы и конференции по логике, следуя концепции Тарского «логики как общей основы всего человеческого знания». Интенсивная деятельность по металогике, происходившая в Беркли в 1950-х и 1960-х годах, во многом была обусловлена ​​деятельностью Тарского и Хенкина как в преподавательской, так и в исследовательской сфере. Многие результаты того, что сегодня имеет решающее значение для теории моделей, появились в результате академической деятельности в Беркли, имевшей место в те годы.

Среди исследовательских поездок, которые Хенкин совершил на протяжении многих лет, - его визиты в университеты Ганновера, Принстона, Колорадо, а также в несколько европейских университетов, таких как Оксфорд (в Соединенном Королевстве) и другие в Югославии, Испании, Португалии и Франции. . В 1979 году, получив второй грант Фулбрайта, Хенкин провел год в Израиле, в Хайфе, на факультете естественнонаучного образования университета Технион. По этому случаю он также посетил два университета Египта. В 1982 году он впервые посетил Испанию. Он давал конференции в нескольких университетах, в том числе в Барселоне, Мадриде и Севильи.

Хенкин играл активную роль в исследованиях и преподавании, но его деятельность в университете выходила далеко за рамки этого. Помимо преданности делу преподавания, а также руководства Группой логики и методологии науки , он занимал некоторые административные должности; он был директором кафедры математики с 1966 по 1968 год, а затем с 1983 по 1985 год. Одним из занятий, которому он посвятил больше всего энергии, было преподавание математики, в которой он также провел некоторые исследования.

В некоторых случаях Хенкин посещал школы своих детей, чтобы поговорить с учениками начальной школы о математике, поговорить с ними об « отрицательных числах » или о том, « как вычитать путем сложения ». Примерно в это же время (около 1960 г.) Хенкин начал чередовать свою исследовательскую работу по математике с исследовательской работой по преподаванию математики; последнее становилось все более частым.

В 1991 году ему было присвоено звание почетного профессора Университета Беркли и он вышел на пенсию.

и

После выхода на пенсию Хенкин продолжил работать над проектами по преподаванию математики. С 1991 года он принял участие в программе летних курсов в Миллс-колледже, призванной дать талантливым женщинам со всей страны математическое образование, чтобы подготовить их к поступлению в колледж. Наконец, Жинетт и Хенкин переехали в Окленд, где Хенкин умер несколько лет спустя, в ноябре 2006 года.

Всегда добрый к своим ученикам и коллегам, которых он часто приглашал к себе домой, чтобы провести вечера с Жинетт, его помнят как блестящего исследователя, преданного своей дисциплине преподавателя и человека, проявлявшего солидарность со своим сообществом.

Одна из фраз, которая лучше всего отражает чувства, выраженные в различных свидетельствах его учеников, принадлежит Дугласу Хофштадтеру : «Мне очень повезло, что я был его аспирантом, поскольку я научился у него гораздо большему, чем просто логике. Именно его человечность победила. В моем сердце я всегда желаю, чтобы я был не менее добр к своим аспирантам и не менее стремился следить за их профессиональным ростом после окончания учебы, чем он был со мной».

Наследие

Алгебра

Работа Хенкина по алгебре была сосредоточена на цилиндрических алгебрах — предмете, который он исследовал вместе с Альфредом Тарским и Дональдом Монком. Цилиндрическая алгебра предоставляет структуры, которые для логики первого порядка являются тем же, чем булева алгебра является для логики высказываний. Одной из целей Хенкина и Тарского в продвижении алгебраической логики было привлечение интереса математиков к логике. они были убеждены, что логика может обеспечить объединяющие принципы математики: «На самом деле мы пошли бы так далеко, что рискнули бы предсказать, что посредством логических исследований могут возникнуть важные объединяющие принципы, которые помогут придать последовательность математике, которая иногда, кажется, рискует стать бесконечно делимой».

По словам Монка, Исследования Хенкина по цилиндрической алгебре можно разделить на следующие части: алгебраическая теория, алгебраическая теория множеств, теоремы о представлении, непредставимые алгебраические конструкции и приложения к логике.

Теоремы

В 1949 году « Полнота функционального исчисления первого порядка ». была опубликована, а также « Полнота в теории типов ». в 1950 году. Оба представили часть результатов, изложенных в диссертации « Полнота формальных систем », благодаря которой Хенкин получил докторскую степень. получил степень в Принстоне в 1947 году. Одним из самых известных результатов Хенкина является результат о полноте логики первого порядка, опубликованный в вышеупомянутой статье 1949 года и ставший первой теоремой диссертации 1947 года. В нем говорится следующее:

Любой набор $S$ предложений $L$ формально непротиворечива в дедуктивной системе $L$ удовлетворяется счетной структурой $M$.

Эту теорему сейчас называют «теоремой о полноте», так как из нее легко следует следующее:

Если $S$ представляет собой набор предложений $L$ и $\phi$ является семантическим следствием $S$ $(S\models \phi )$, затем $\phi$ выводится из $S$ $(S\vdash \phi )$.

Это сильная версия теоремы о полноте, из которой как следствие получается слабая версия. Последний формулирует результат для частного случая, когда $S$ — пустое множество, то есть дедуктивное исчисление логики первого порядка способно вывести все действительные формулы. Слабая версия, известная как теорема Гёделя о полноте , была доказана Гёделем в 1929 году в его докторской диссертации. Доказательство Хенкина более общее, более доступное, чем доказательство Гёделя, и его легче обобщить на языки любой мощности. Он приближается к полноте с новой и плодотворной точки зрения. и ее величайшим качеством, пожалуй, является то, что ее доказательство можно легко адаптировать для доказательства полноты других дедуктивных систем. Другие результаты, центральные для теории моделей, получены как следствие сильной полноты логики первого порядка, доказанной Хенкиным. Отсюда следует, например, следующий результат для языка первого порядка $L$:

Каждый набор корректных формул $L$ что выполнимо в $L$−структура выполнима в бесконечной исчислимой структуре.

Этот результат известен как «нисходящая» теорема Левенхайма-Скулема. Еще один результат, полученный из теоремы о полноте:

Набор $S$ правильно составленных формул $L$ имеет модель тогда и только тогда, когда каждое его конечное подмножество имеет модель.

Последняя известна как « теорема компактности » логики первого порядка, которую также можно сформулировать так: «Любой набор правильно составленных формул $L$ то, что конечно выполнимо, выполнимо». То есть, если для каждого из конечных подмножеств $\Delta$ существует структура, в которой все ее формулы истинны, то есть также структура, в которой все формулы $\Delta$ верны. Она известна как «теорема компактности», поскольку соответствует компактности некоторого топологического пространства, определяемого из семантических понятий.

Среди других теорем полноты, данных Хенкиным, наиболее важной, пожалуй, является теорема о полноте теории типов Чёрча, которая является первой из теорем полноты, доказанных Хенкиным. Затем он адаптировал метод, развитый в этом доказательстве, для доказательства полноты других дедуктивных систем. Этот метод продолжает использоваться для доказательства полноты как в классической, так и в неклассической логике, и он стал обычным доказательством полноты логики первого порядка в учебниках по логике. Когда Хенкин опубликовал этот результат в 1949 году, полнота даже не входила в число канонических тем, рассматриваемых в учебниках; Примерно двадцать лет спустя эта теорема вместе с ее доказательством и следствиями стала частью практически каждого учебника по логике. Что касается неклассической логики, метод Хенкина можно использовать, среди прочего, для расширения полноты нечеткой логики от первого порядка до более высокого порядка, создавая полную теорию нечеткого типа ; он также предлагает способ получения результатов, связывающих классическую логику с интуиционистской логикой ; и это позволяет проверять результаты полноты в других неклассических логиках, как в случаях теории гибридного типа. и эквациональная гибридная теория пропозиционального типа.

Открытие

Несмотря на то, что это один из самых известных его результатов, Хенкин добрался до доказательства полноты логики первого порядка «случайно», пытаясь доказать совершенно другой результат. Порядок публикации его статей и даже порядок изложения теорем в его диссертации 1947 года не отражают эволюцию, последовавшую за идеями, которые привели его к полноте результатов. Однако Хенкин упрощает трудную задачу прослеживания развития и формирования своих идей своей статьей « Открытие моих доказательств полноты ». опубликована в 1996 году. В ней он описывает процесс разработки своей диссертации. Он не только объясняет содержание своей работы, но и объясняет идеи, которые к ней привели, начиная с первых курсов логики в колледже и заканчивая написанием диссертации.

По окончании войны Хенкин вернулся в Принстон, чтобы завершить докторантуру, для чего ему еще предстояло написать диссертацию, содержащую оригинальное исследование. Как только он прибыл в Принстон, он посетил курс логики Черча, начавшийся месяцем ранее и посвященный теории Фреге «смысла и референции». Вдохновленный идеями Фреге, Чёрч хотел применить их на практике посредством формальной аксиоматической теории. Для этого он взял простую «Теорию типов», опубликованную несколькими годами ранее, и снабдил ее иерархией типов, вдохновленной идеей «смысла», раскрытой Фреге. Именно на этом курсе Хенкин познакомился с теорией типов Чёрча, которая вызвала у него большой интерес. Он сразу же выдвинул об этом гипотезу, доказательством которой, как он надеялся, станет его докторская диссертация.

Одним из свойств, привлекших внимание Хенкина к теории типов Чёрча, было то, что $\lambda$-оператор позволяет называть множество объектов в иерархии типов. Как он объясняет в « Открытии моих доказательств полноты », он намеревался выяснить, какие элементы имели имена в этой теории. Он начал с изучения элементов, которые были названы в двух доменах, лежащих в основе иерархии типов. Он взял $\mathbb {N}$ как вселенную индивидуумов, и добавил константу для каждого числа $0$ и функция-преемник $s$, так что каждый элемент в домене получил имя из $0$ и повторяющиеся случаи $s$. Поднимаясь по иерархии, он попытался указать, какие функции над этими элементами можно назвать. Их множество было неисчислимым, поэтому должны были быть некоторые без названия, поскольку существует только счетное количество выражений. Как можно было сказать, какие элементы были именуемыми? Чтобы каждое выражение соответствовало обозначаемому им элементу, ему понадобилась функция выбора , в поиск которой Хенкин вложил немало усилий. Наконец, он понял, что посредством дедуктивного исчисления он может образовать классы эквивалентности выражений, равенство которых можно вывести с помощью исчисления, и сформировать с помощью этих классов модель, изоморфную новой иерархии типов, образованной названными элементами. Он сосредоточился на интерпретации формального языка, тогда как ключ к решению проблемы лежал в дедуктивной системе. Оставалось сделать вселенную объектов, названных предложениями, набором из двух элементов: значений истинности. Этого можно достичь, расширив аксиомы, чтобы сформировать максимально непротиворечивый набор. Как только это было достигнуто, можно было доказать, что любой непротиворечивый набор формул $T$ имеет модель, которая точно удовлетворяет формулам $T$ –элементами такой модели являются классы эквивалентности самих выражений–. То есть ему удалось бы доказать полноту дедуктивного исчисления.

Тот же метод, который использовался для доказательства полноты теории типов Чёрча, можно легко адаптировать для доказательства (сильной) полноты логики первого порядка и других, последовавших позже. Идеи об именуемых элементах в иерархии типов, лежащие в основе открытия доказательств полноты Хенкина, привели к успешному внедрению новой семантики, называемой общей семантикой , которая основана на общих моделях (или моделях Хенкина).

Метод Хенкина

Метод Хенкина для доказательства полноты состоит в построении определенной модели: она начинается с набора формул. $\Delta$, относительно которого предполагается состоятельность. Затем строится модель, которая в точности удовлетворяет формулам $\Delta$. Идея Хенкина построить подходящую модель основана на получении достаточно подробного описания такой модели с помощью предложений формального языка и установлении того, какие объекты могут быть элементами такой модели. Если бы это было известно, для каждой формулы языка $\Delta$, если модель удовлетворяет этому требованию или нет, у нас будет полное описание модели, позволяющее ее построить. Это именно то, что ищут: набор предложений. $\Gamma$ содержащий $\Delta$ для чего он считает, что каждое предложение языка или его отрицание принадлежит Гамме. В случае логики первого порядка требуется еще одно: чтобы множество $\Gamma$ быть проиллюстрировано, то есть для каждой экзистенциальной формулы существует константа, которая выступает ее свидетелем. С другой стороны, поскольку природа объектов, составляющих универсум модели, не имеет значения, не возникает никаких возражений против принятия в качестве индивидуумов самих терминов языка – или классов их эквивалентности –.

Первый шаг, который необходимо сделать, — это расширить язык $\Delta$ добавление бесконечной коллекции новых индивидуальных констант, а затем упорядочивание формул языка (которые бесконечны). Как только это будет сделано, цель состоит в том, чтобы индуктивно построить бесконечную цепочку непротиворечивых и примерных множеств: мы начинаем с $\Delta$, систематически добавляя к этому набору каждую формулу, которая не делает результирующий набор противоречивым, добавляя также примеры экзистенциальных формул. Таким образом, строится бесконечная цепочка непротиворечивых и экземплифицируемых множеств, объединение которых представляет собой максимально непротиворечивое и экземплифицируемое множество; это будет необходимый набор $\Gamma$.

Достигнув построения этого максимально непротиворечивого и экземплифицированного множества, можно построить описываемую им модель. Какие люди составляют вселенную модели? В случае логики первого порядка без равенства элементами предметной области будут термины формального языка. При построении функций и отношений модели мы тщательно следим за тем, что $\Gamma$ диктует: если язык содержит $n$-докладчик $R$, его интерпретация в модели будет связью, образованной всеми $n$-кортежи терминов во вселенной модели, такие, что формула, говорящая, что они связаны, принадлежит $\Gamma$. Если язык включает равенство, то областью модели являются классы эквивалентности терминов языка. Отношение эквивалентности устанавливается формулами максимально совместного множества: два слагаемых равны, если в $\Gamma$ формула, утверждающая, что они есть.

Подводя итог, демонстрация в случае исчисляемого языка состоит из двух частей:

1. Расширение набора $\Delta$ к максимально последовательному и наглядному множеству.
2. Построение модели, описываемой формулами этого набора, с использованием терминов языка – или его классов эквивалентности – как объектов вселенной модели.

Общие модели

Простая теория типов с $\lambda$-исчисление и стандартная семантика достаточно богаты, чтобы выражать арифметику категорически, откуда по теореме Гёделя о неполноте следует , что она неполна. Следуя идее идентификации именуемых элементов в иерархии типов, Хенкин предложил изменить интерпретацию языка, приняв в качестве иерархии типов некоторые из них, которые ранее не признавались. Если бы с каждого уровня иерархии было задано не то, что должны быть все соответствующие функции, а только те, которые определимы, то получается новая семантика, а вместе с ней и новая логика. Результирующая семантика известна как общая семантика. В нем в качестве моделей допустимы структуры, известные как «общие модели». Их можно использовать не только в теории типов, но и, например, для получения полных (и компактных) логик высшего порядка .

Получение полной логики высшего порядка с использованием общей семантики соответствует ожидаемому балансу между выразительной силой логики и силой ее дедуктивного исчисления. В логике второго порядка со стандартной семантикой известно, что количественная оценка предикативных переменных дает языку огромную выразительную мощь, в обмен на которую теряется сила дедуктивного исчисления: последнего недостаточно для создания расширенного набора действительных формул эта логика (со стандартной семантикой). Изменение исчисления ничего не решает, поскольку теорема Гёделя о неполноте гарантирует, что никакое дедуктивное исчисление не сможет достичь полноты. Напротив, изменяя семантику, то есть изменяя множества, образующие универсумы, в которых интерпретируются предикативные переменные и константы, логика оказывается полной, ценой потери выразительной способности.

В логике второго порядка набор допустимых формул настолько велик, потому что концепция стандартной структуры слишком ограничительна, и их недостаточно, чтобы найти модели, опровергающие формулы. Ослабляя условия, которые мы задаем для структур, на которых интерпретируется язык, появляется больше моделей, в которых формулы должны быть истинными, чтобы быть действительными, и, следовательно, набор действительных формул сокращается; он делает это таким образом, что совпадает с набором, полученным в результате дедуктивного исчисления, что приводит к полноте.

К переводу между логиками

Одной из областей, в которой основы, заложенные работами Хенкина, оказались плодотворными, является поиск логики, которая работает как общая основа для перевода между логиками. Эта структура предназначена для использования в качестве металогического инструмента; его цель состоит не в том, чтобы выбрать «одну логику» среди других, что подавило бы богатство, обеспечиваемое их разнообразием, а в том, чтобы обеспечить адекватный контекст, чтобы противопоставить их, понять их и, таким образом, наилучшим образом использовать качества каждой из них. .

Идеи Хенкина в этом направлении развиваются в исследовании Марии Мансано, одной из его учениц, которая предлагает использовать многосортированную логику в качестве общей основы для перевода логики. Цели этого предложения можно свести к двум: 1) использовать для всех из них единое дедуктивное исчисление; и 2) использовать метасвойства многосортной логики, чтобы упростить доказательство метасвойств других логик. Кроме того, наличие логической структуры полезно для сравнения различных логик путем сравнения теорий, которые их представляют. Хотя Хенкин не говорит о переводе формул и не дает явного описания многосортного языка или исчисления, идеи, которые он использует в двух своих статьях, служат основой подхода к переводу: « Полнота в теории типов » и « Отмена правила замены функциональных переменных ».

Математическая индукция

Тема математической индукции часто затрагивалась в педагогической деятельности Хенкина. Вероятно, его опыт в этой области стал результатом его статьи « О математической индукции ». Это была любимая статья Хенкина, о которой он даже писал, что считает ее своей лучшей разъяснительной статьей. В нем он определил модели Пеано как модели, которые удовлетворяют трем аксиомам второго порядка Пеано, а модели индукции — как модели, которые удовлетворяют третьей из них: аксиоме индукции . Он продемонстрировал, что, хотя все рекурсивные операции могут быть введены в модели Пеано, в моделях индукции это не так. Конкретно, существуют индукционные модели, в которых операция возведения в степень не может быть определена. В этой статье Хенкин также представляет математическую структуру, которую могут иметь модели индукции, которая довольно проста: они могут быть либо стандартной моделью, то есть изоморфной натуральным числам, либо еще двумя способами; изоморфны циклам, которые соответствуют $\mathbb {Z}$ модуль целых чисел $n$; или изоморфно тому, что Хенкин называл «ложками», что представляет собой комбинацию конечного списка, за которым следует цикл.

Философская позиция

Из статей, опубликованных Хенкиным, наиболее философской являются « Некоторые заметки о номинализме ». который он написал в ответ на две статьи о номинализме, один Куайна, а другой написан совместно Куайном и Гудманом. Дискуссии, относящиеся к этой философской доктрине, естественным образом возникают в доказательствах полноты, данных Хенкиным, а также в его предложении об изменении семантики посредством общих моделей. И по содержанию его работ, и по его собственным высказываниям считается, что его позиция была номиналистической.

Обучение

Деятельность Хенкина как профессора университета была бурной. Он преподавал на всех уровнях, уделяя каждому из них одинаковую заботу и преданность. Некоторые из курсов, которые он преподавал, были непосредственно связаны с областью его исследований, например « Математическая логика », « Метаматематика » или « Цилиндрическая алгебра », но другие распространялись на самые разнообразные области, включая, среди прочего, « Основы геометрии ». , « Алгебра и тригонометрия », « Конечная математика », « Исчисление с аналитической геометрией » или « Математические понятия для учителей начальной школы ». Его ученики соглашаются, что его объяснения были предельно ясными и привлекали внимание слушателя. По словам одного из его учеников, « частью его волшебства было его элегантное изложение математических принципов, но он также много работал, чтобы вовлечь свою аудиторию в предположения и видение следующего шага или в удивление по этому поводу. Он определенно уловил интерес». его аудитории ».

Одним из аспектов своих лекций, которому он уделял особое внимание, был поиск подходящего темпа, сталкиваясь с постоянной дилеммой: как найти оптимальную скорость для обучения. Он считал важным, чтобы студенты могли следовать ритму урока, даже если это означало, что некоторым он покажется медленным, — они могли продолжать чтение в своем собственном темпе. Однако он также считал, что то, что легко усвоить, легко забывается, поэтому он искал баланс между тем, чтобы сделать свои занятия доступными и сложными для учеников, чтобы они приложили усилия к более глубокому обучению. О своем студенческом опыте он так прокомментировал в интервью: « Из-за того, что идеи приходили легко, их было слишком легко забыть. Вероятно, я выучил более сжатый материал на том, что мы называли «семинаром для младенцев по конъюнктивной топологии». , под руководством Артура Стоуна, я узнал больше, потому что он заставил нас делать всю работу » .

Помимо курсов и руководства аспирантами, роль Хенкина в образовании ученых была значительной. Тарский пригласил его в Беркли с ясной целью. Как математик, Хенкин сыграл ключевую роль в проекте Тарского по превращению Беркли в центр развития логики. объединив математиков, логиков и философов. Хенкин помог ему реализовать проект, помогая ему в создании междисциплинарной группы по логике и методологии науки , успешная работа которой во многом была связана с энтузиазмом Хенкина. Частью этого проекта было создание междисциплинарной университетской программы, кульминацией которой стала степень доктора философии. по специальности « Логика, методология и философия науки ». Он также участвовал в организации важных встреч и конференций, которые способствовали междисциплинарному сотрудничеству, объединенному логикой. В результате в 1950-х и 1960-х годах в Беркли произошло бурное развитие логики, в результате чего появились многие достижения в теории моделей.

Хотя Хенкин впервые столкнулся с преподаванием математики, будучи профессором, позже он начал также заниматься исследованиями в области преподавания математики. Некоторые из его работ в этой области: « Восстановление элементарной математики », « Новые направления в школьной математике » или « Роль действия и мысли в математическом образовании ». С 1979 года он уделял особое внимание этому аспекту своих исследований. и последние докторские диссертации, которыми он руководил, связаны с преподаванием математики или интеграцией групп меньшинств в исследования.

Хенкин любил писать разъяснительные статьи. за некоторые из которых он получил такие награды, как премия Шовене (1964), за статью « Тождественны ли логика и математика? » или Премия Лестера Р. Форда, за статью « Математические основы математики ».

Социальные проекты

На протяжении всей своей жизни Леон Хенкин проявлял глубокую приверженность обществу, и его часто называли общественным деятелем. Многие из его проектов по преподаванию математики были направлены на то, чтобы приблизить меньшинства или социально незащищенные группы к математике и смежным областям. Он осознавал, что мы являемся частью истории и контекста вокруг нас, как сказано в одном из его произведений:

« Волны истории захлестывают нашу нацию, возбуждая наше общество и наши институты. Вскоре мы видим изменения в том, как мы все делаем что-то, включая нашу математику и наше преподавание. формируются реки, порождающие мощные течения, которые вызовут будущие волны истории. Великая депрессия и Вторая мировая война легли в основу моих лет обучения; Холодная война и движение за гражданские права были фоном, на котором я начал свою карьеру математика-исследователя, а позже начал заниматься математическим образованием ».

Хенкин был убежден, что перемен можно добиться с помощью образования, и, верный своей идее, он посвятил себя как программам начального математического образования, так и программам, целью которых была борьба с изоляцией. Он проявил политическую приверженность обществу, защищая прогрессивные идеи. Он вдохновил многих своих учеников заняться математическим образованием. Диана Ресек, одна из его учениц, склонная к преподаванию, описала его следующим образом:

« Леон был привержен делу достижения равенства в обществе. Он смог увидеть, что профессиональные математики могут изменить ситуацию, особенно в отношении расового неравенства в Соединенных Штатах. Он был одним из первых, кто сказал, что есть одна вещь, сдерживающая расовое неравенство. Он считал, что существуют способы преподавания и новые программы, которые могут решить эту проблему » .

Осознавая вклад, который математики могут внести посредством преподавания, Хенкин защищал, что преподавание должно цениться в академической среде, как он выразил в личном письме: « В эти времена, когда наши традиционно подготовленные доктора философии по математике переживают тяжелые времена на рынке, мне кажется, что мы, преподаватели, должны особенно искать новые сферы, в которых обучение математике может внести существенный вклад в основные цели общества » .

Ниже приведены некоторые из социальных проектов, которые он сформировал или в которых участвовал. В период с 1957 по 1959 год он участвовал в Летних институтах, ориентированных на учителей математики и направленных на улучшение образования в средней школе и колледже. В 1958 году Национальный научный фонд уполномочил комитет Американского математического общества, который в течение нескольких лет интересовался использованием фильмов и визуальных материалов для математического образования, производить для этой цели экспериментальные фильмы, сопровождаемые печатными руководствами с приложениями, которые бы углубиться в содержание и проблемы, которые необходимо решить. Хенкин участвовал в этом проекте, представив фильм по математической индукции, дополнительное руководство к которому было напечатано Американским математическим обществом. Фильм транслировался в цикле « Математика сегодня ». В период с 1961 по 1964 год он участвовал в серии курсов для учителей начальной школы, организованных Комитетом по программе бакалавриата по математике. Примерно в то же время он продвигал инициативу «Действия по расширению возможностей», целью которой было предоставить возможности многообещающим студентам из групп этнических меньшинств, предлагая им летние курсы и стипендии. Он принял участие в программе SEED (Специальное начальное образование для малоимущих), которая поощряла студентов колледжей участвовать в начальном образовании, а также в SESAME (Особое превосходство в области естественных наук и математического образования), междисциплинарной докторской программе, созданной членами различных научные факультеты, целью которых было исследование преподавания и изучения естественных наук, техники и математики. В период с 1960 по 1968 год он участвовал в серии конференций в математических школах и участвовал в разработке нескольких фильмов, снятых Национальным советом учителей математики (NCTM). Эти фильмы были посвящены таким темам, как система целых чисел и рациональная система счисления. Он также участвовал в курсах поддержки для студенток по математическому анализу и убедил факультет математики разрешить аспирантам получать такую ​​​​же финансовую поддержку для работы учителями начальной школы, как и для работы помощниками преподавателя в колледже. « Он не только верил в равенство, но и активно работал над его достижением ».

Основные статьи Хенкина

• Хенкин, Л. (1949). Полнота функционального исчисления первого порядка. Журнал символической логики , 14 (3), 159–166.
• Хенкин, Л. (1950). Полнота в теории типов. Журнал символической логики , 15 (2), 81–91.
• Хенкин, Л. (1953). Отмена правила замены функциональных переменных. Журнал символической логики , 18 (3), 201–208.
• Хенкин, Л. (1953). Некоторые взаимосвязи современной алгебры и математической логики. Труды Американского математического общества , 74, 410–427.
• Хенкин, Л. (1953). Некоторые заметки о номинализме, Журнал символической логики , 18 (1), 19–29.
• Хенкин, Л. (1954) Обобщение концепции $\omega$-согласованности. Журнал символической логики . 19(3), 183-196.
• Хенкин, Л. (1955) Номиналистическая интерпретация математического языка. Бюллетень Бельгийского математического общества . 7, 137–141.
• Хенкин, Л. (1955) Теорема о представлении цилиндрических алгебр. Эн Сколем Т., Хасенджагер Г., Крайзель Г., Робинсон А. (ред.) Математическая интерпретация формальных систем , стр. 85–97.
• Хенкин, Л. (1957) Обобщение концепции -полноты. Журнал символической логики . 22(1), 1-14.
• Хенкин, Л. (1960). О математической индукции. Американский математический ежемесячник . 67(4), 323-338.
• Хенкин, Л. (1961). Математическая индукция. En Руководство по кинематографии MAA № 1. Математическая ассоциация Америки, Университет Буффало, Нуэва-Йорк.
• Хенкин Л., Тарский А. (1961) Цилиндрические алгебры. Эн Дилворт, Р.П. (ред.) Теория решеток. Труды симпозиумов по чистой математике. Американское математическое общество , 2, 83–113.
• Хенкин, Л. Смит, В.Н., Варино, В.Дж., Уолш, М.Дж. (1962) Прослеживая элементарную математику . Макмиллан, Нью-Йорк.
• Хенкин, Л. (1962). Логика и математика идентичны?, Science, vol.138, 788-794.
• Хенкин, Л. (1963). Новые направления в математике средней школы. Эн Ричи, Р.В. (ред.) Новые направления в математике , 1-6. Прентис Холл, Нью-Йорк.
• Хенкин, Л. (1963). Расширение интерполяционной теоремы Крейга-Линдона. Журнал символической логики . 28(3), 201-216.
• Хенкин, Л. (1963). Теория пропозициональных типов. Основы математики . 52, 323–344.
• Хенкин, Л. (1971). Математические основы математики. Американский математический ежемесячник . 78(5), 463-487.
• Хенкин, Л. (1975). Идентичность как логический примитив. Философия 5, 31–45.
• Хенкин, Л. (1977). Логика равенства. Американский математический ежемесячник . 84(8), 597-612.
• Хенкин, Л. (1995). Роль действия и мысли в математическом образовании – один отрывок математика. Фишер, Н.Д., Кейнс, Х.Б., Ваграйх, доктор философии. (Ред.), Изменение культуры: математическое образование в исследовательском сообществе , Проблемы CBMS в математическом образовании, том. 5, стр. 3–16. Американское математическое общество в сотрудничестве с Математической ассоциацией Америки, Провиденс.
• Хенкин, Л. (1996). Открытие моих доказательств полноты, Бюллетень символической логики , вып. 2(2), 127–158.

Полученные награды

• 1964 — Премия Шовене , присуждаемая Математической ассоциацией Америки автору выдающейся разъяснительной статьи на математическую тему, написанной членом Ассоциации.
• 1972 — Премия Лестера Р. Форда — за математические основы математики , American Mathematical Monthly 78 (1971), 463–487.
• 1990 — первый лауреат Премии Гуна и Ху за выдающиеся заслуги перед математикой.
• 1991 — Berkeley Citation — высшая награда Калифорнийского университета.
• 2000 — Благодарность Леона Хенкина — за выдающиеся заслуги, которая вручается преподавателю (UC) за «исключительную приверженность образовательному развитию студентов из групп, которые недостаточно представлены в академии».

См. также

• Квантор ветвления

Дальнейшее чтение

• Г. Уивер (2001) [1994], «Конструкция Хенкина» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Джордж Уивер (1997). Модели Хенкина-Кейслера . Спрингер. ISBN  978-0-7923-4366-0 .
• Хенкин, Леон (1949). «Полнота функционального исчисления первого порядка», Журнал символической логики . 14: 159–166. дои : 10.2307/2267044
• Хенкин, Леон (1949). «Фрагменты исчисления высказываний», Журнал символической логики 14: 42–48. дои : 10.2307/2268976
• Хенкин, Леон (1950). «Полнота в теории типов» , Журнал символической логики 15: 81–91.
• Хенкин, Леон (1996). «Открытие доказательств моей полноты». Бюллетень символической логики 2 (2): 127–158. ISSN 1079-8986 . дои: 10.2307/421107 .
• Мансано, Мария , Саин, Ильдико, Алонсо, Энрике (ред.). (2014). «Жизнь и творчество Леона Хенкина» , Биркхаузер.

Внешние ссылки

• Леон Хенкин в проекте «Математическая генеалогия»
• Премия Беркли за цитирование
• Интервью с Хенкиным и другими об их опыте в Принстоне.
• Интервью с Хенкиным о его опыте работы в Принстоне
• Леон Хенкин, защитник разнообразия в математике и естественных науках, умер Робертом Сандерсом, пресс-релиз UC Berkeley News, 9 ноября 2006 г.
• Некрологи: Леон Хенкин, 85 лет: профессор направил меньшинства и женщин к математике Валери Дж. Нельсон, Los Angeles Times, 16 ноября 2006 г., стр. Б-6.
• Леон А. Хенкин — преподаватель математики в Калифорнийском университете , автор: Рик ДельВеккио, San Francisco Chronicle, 20 ноября 2006 г., стр. Б-3.
• Памяти Леона Альберта Хенкина работы Джона Аддисона, Уильяма Крейга, Кэролин Кейн и Алана Шонфельда (памятник Академического сената Калифорнийского университета).
• Памяти: Леон Альберт Хенкин, 1921–2006 , Дж. Дональд Монк, Бюллетень символической логики, том. 15, нет. 3 (сентябрь 2009 г.), стр. 326–331.