Доказательство на примере

В логике и математике , доказательство на примере (иногда называемое неуместным обобщением ) — это логическая ошибка при которой обоснованность утверждения иллюстрируется одним или несколькими примерами или случаями, а не полноценным доказательством . ^[1]^[2]

Структура, форма аргументов и формальная форма доказательства примером обычно выглядят следующим образом:

Структура:

Я знаю, что X таков.

Следовательно, все, что связано с X, также является таковым.

Форма аргумента :

Я знаю, что , который является членом группы X , обладает свойством P. x

все остальные элементы X должны обладать свойством P. Следовательно , ^[2]

Формальная форма :

\exists x:P(x)\;\;\vdash \;\;\forall x:P(x)

Следующий пример демонстрирует, почему эта линия рассуждений является логической ошибкой:

Я видел, как человек застрелил кого-то.

Следовательно, все люди — убийцы.

В обычном дискурсе доказательство на примере также может использоваться для описания попытки обосновать утверждение с использованием статистически незначимых примеров. В этом случае ценность каждого аргумента, возможно, придется оценивать на индивидуальной основе. ^[3]

Действительные случаи доказательства на примере [ править ]

В определенных обстоятельствах примеров может быть достаточно в качестве логически обоснованного доказательства.

Доказательства экзистенциальных утверждений

В некоторых сценариях аргумент на примере может быть действительным, если он ведет от единственной посылки к экзистенциальному выводу (т. е. доказывает, что утверждение верно хотя бы для одного случая, а не для всех случаев). Например:

Сократ мудр.

Значит, кто-то мудр.

(или)

Я видел, как человек воровал.

Следовательно, (некоторые) люди могут воровать.

Эти примеры описывают неформальную версию логического правила, известного как экзистенциальное введение , также известное как партикуляризация или экзистенциальное обобщение :

Экзистенциальное введение: ${\underline {\varphi (\beta /\alpha )}}\,\!$; $\exists \alpha \,\varphi \,\!$

(где $\varphi (\beta /\alpha )$ обозначает формулу , образованную заменой всех свободных вхождений переменной $\alpha$ в $\varphi$ к $\beta$ .)

Точно так же нахождение контрпримера опровергает (доказывает отрицание ) универсальный вывод. Это используется в доказательстве от противного .

доказательства Исчерпывающие

Примеры также являются действительными, хотя и неэлегантными , доказательствами, если также было продемонстрировано, что рассмотренные примеры охватывают все возможные случаи.

В математике доказательство примером также может использоваться для обозначения попыток проиллюстрировать утверждение путем доказательства случаев утверждения, понимая, что эти случаи содержат ключевые идеи, которые можно обобщить в полноценное доказательство. ^[4]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ «Логические ошибки» . www.auburn.edu. Архивировано из оригинала 31 июля 2002 года.
^ Jump up to: ^а ^б «Доказательство примером – Грамматик» . Грамматист . Проверено 1 декабря 2019 г.
^ «Что такое доказательство примером?» . Просто . Проверено 1 декабря 2019 г.
^ «Доказательства» . www.mit.edu . Проверено 1 декабря 2019 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

Бенджамин Матшке: Действительные доказательства на примерах из математики (arXiv)

[1] «Логические ошибки» . www.auburn.edu. Архивировано из оригинала 31 июля 2002 года.

[:1-2] Jump up to: ^а ^б «Доказательство примером – Грамматик» . Грамматист . Проверено 1 декабря 2019 г.

[3] «Что такое доказательство примером?» . Просто . Проверено 1 декабря 2019 г.

[4] «Доказательства» . www.mit.edu . Проверено 1 декабря 2019 г.

[1]

[2]

[3]

[4]