Геометротермодинамика

В физике геометротермодинамика (ГТД) — это формализм, разработанный в 2007 году Эрнандо Кеведо для описания свойств термодинамических систем с точки зрения концепций дифференциальной геометрии.

Рассмотрим термодинамическую систему в рамках классической равновесной термодинамики. Состояния термодинамического равновесия рассматриваются как точки абстрактного равновесного пространства, в которое риманова метрика может быть введена несколькими способами. В частности, можно ввести гессианские метрики, такие как информационная метрика Фишера , метрика Вейнхольда , метрика Руппейнера и другие, компоненты которых рассчитываются как гессиан определенного термодинамического потенциала .

Другая возможность - ввести метрики, независимые от термодинамического потенциала - свойства, которое присуще всем термодинамическим системам классической термодинамики. Поскольку изменение термодинамического потенциала эквивалентно преобразованию Лежандра , а преобразования Лежандра не действуют в равновесном пространстве, необходимо ввести вспомогательное пространство для корректной обработки преобразований Лежандра. Это так называемое термодинамическое фазовое пространство. Если фазовое пространство оснащено лежандровой инвариантной римановой метрикой, можно ввести гладкое отображение, которое индуцирует термодинамическую метрику в равновесном многообразии. Затем термодинамическую метрику можно использовать с различными термодинамическими потенциалами без изменения геометрических свойств равновесного многообразия. Ожидается, что геометрические свойства равновесного многообразия будут связаны с макроскопическими физическими свойствами.

Детали этой связи можно свести к трем основным моментам:

1. Кривизна является мерой термодинамического взаимодействия.
2. Особенности кривизны соответствуют фазовым переходам кривизны.
3. Термодинамические геодезические соответствуют квазистатическим процессам.

Геометрические аспекты

Основным ингредиентом GTD является (2 n + 1)-мерное многообразие. ${\mathcal {T}}$ с координатами $Z^{A}=\{\Phi ,E^{a},I^{a}\}$, где $\Phi$ – произвольный термодинамический потенциал, $E^{a}$, $a=1,2,\ldots ,n$, являютсяобширные переменные и $I^{a}$ интенсивные переменные. Это такжеможно каноническим образом ввести фундаментальныеодноформенный $\Theta =d\Phi -\delta _{ab}I^{a}dE^{b}$ (суммирование по повторяющимся индексам) с $\delta _{ab}={\rm {diag}}(+1,\ldots ,+1)$, что удовлетворяет условию $\Theta \wedge (d\Theta )^{n}\neq 0$, где $n$ это число термодинамическихстепеней свободы системы и инвариантен относительноПреобразования Лежандра

$\{Z^{A}\}\longrightarrow \{{\widetilde {Z}}^{A}\}=\{{\tilde {\Phi }},{\tilde {E}}^{a},{\tilde {I}}^{a}\}\ ,\quad \Phi ={\tilde {\Phi }}-\delta _{kl}{\tilde {E}}^{k}{\tilde {I}}^{l},\quad E^{i}=-{\tilde {I}}^{i},\quad E^{j}={\tilde {E}}^{j},\quad I^{i}={\tilde {E}}^{i},\quad I^{j}={\tilde {I}}^{j}\ ,$

где $i\cup j$ – любое непересекающееся разложение множества индексов $\{1,\ldots ,n\}$,и $k,l=1,\ldots ,i$. В частности, для $i=\{1,\ldots ,n\}$ и $i=\emptyset$ мы получаемполное преобразование Лежандра и тождество соответственно.Предполагается также, что в ${\mathcal {T}}$ существует метрика $G$ что такжеинвариант относительно преобразований Лежандра. Триада $({\mathcal {T}},\Theta ,G)$ определяет риманово контактное многообразие, котороеназывается термодинамическим фазовым пространством (фазовым многообразием). ПространствоСостояния термодинамического равновесия (равновесное многообразие) – этоn-мерное риманово подмногообразие ${\mathcal {E}}\subset {\mathcal {T}}$индуцированное гладким отображением $\varphi :{\mathcal {E}}\rightarrow {\mathcal {T}}$,т.е. $\varphi :\{E^{a}\}\mapsto \{\Phi ,E^{a},I^{a}\}$, с $\Phi =\Phi (E^{a})$и $I^{a}=I^{a}(E^{a})$, такой, что $\varphi ^{*}(\Theta )=\varphi ^{*}(d\Phi -\delta _{ab}I^{a}dE^{b})=0$ держится, где $\varphi ^{*}$ этооткат $\varphi$. Многообразие ${\mathcal {E}}$ естественно оборудованс римановой метрикой $g=\varphi ^{*}(G)$. Целью GTD являетсяпродемонстрировать, что геометрические свойства ${\mathcal {E}}$ являютсясвязанные с термодинамическими свойствами системы с фундаментальнымитермодинамическое уравнение $\Phi =\Phi (E^{a})$.Условие инвариантности относительно полных преобразований Лежандра приводит к метрике

$G^{I}=(d\Phi -\delta _{ab}I^{a}dE^{b})^{2}+\Lambda \,(\xi _{ab}E^{a}I^{b})\left(\delta _{cd}dE^{c}dI^{d}\right)\ ,\quad \delta _{ab}={\rm {diag}}(1,\ldots ,1)$

$G^{II}=(d\Phi -\delta _{ab}I^{a}dE^{b})^{2}+\Lambda \,(\xi _{ab}E^{a}I^{b})\left(\eta _{cd}dE^{c}dI^{d}\right)\ ,\quad \eta _{ab}={\rm {diag}}(-1,1,\ldots ,1)$

где $\xi _{ab}$ представляет собой постоянную диагональную матрицу, которую можно выразить через $\delta _{ab}$ и $\eta _{ab}$, и $\Lambda$ — произвольная лежандрова инвариантная функция $Z^{A}$. Метрики $G^{I}$ и $G^{II}$ были использованы для описания термодинамических систем с фазовыми переходами первого и второго рода соответственно. Наиболее общей метрикой, инвариантной относительно частичных преобразований Лежандра, является

$G^{III}=(d\Phi -\delta _{ab}I^{a}dE^{b})^{2}+\Lambda \,(E_{a}I_{a})^{2k+1}\left(dE^{a}dI^{a}\right)\ ,\quad E_{a}=\delta _{ab}E^{b}\ ,\quad I_{a}=\delta _{ab}I^{b}\ .$

Компоненты соответствующей метрики равновесного многообразия ${\mathcal {E}}$ может быть вычислено как

$g_{ab}={\frac {\partial Z^{A}}{\partial E^{a}}}{\frac {\partial Z^{B}}{\partial E^{b}}}G_{AB}\ .$

Приложения

GTD применялась для описания лабораторных систем, таких как идеальный газ, газ Ван-дер-Ваальса, модель Изинга и т. д., более экзотических систем, таких как черные дыры, в различных теориях гравитации. в контексте релятивистской космологии, и описывать химические реакции.