Аффинная дифференциальная геометрия

Аффинная дифференциальная геометрия — это тип дифференциальной геометрии , сохраняющих объём , изучающий инварианты аффинных преобразований . Название «Аффинная дифференциальная геометрия» происходит от Клейна «Эрланген » программы . Основное различие между аффинной и римановой дифференциальной геометрией состоит в том, что аффинная дифференциальная геометрия изучает многообразия, снабженные формой объема, а не метрикой .

Предварительные сведения [ править ]

Здесь мы рассматриваем простейший случай, т.е. многообразия коразмерности один . Пусть M ⊂ R ^{п +1} — n -мерное многообразие, и пусть ξ — векторное поле на $R п +1$ трансверсально M $что$ такая, T _p R ^{п +1} = T _p M ⊕ Span(ξ) для всех p ∈ M , где ⊕ обозначает прямую сумму , а Span - линейную проекцию .

многообразия, скажем N , пусть Ψ( N ) обозначает модуль гладких векторных полей над N. Для гладкого Пусть D : Ψ( R ^{п +1})×Ψ( R ^{п +1}) → Ψ( R ^{п +1}) — стандартная ковариантная производная на R ^{п +1} где D ( Икс , Y ) знак равно D _Икс Y . Мы можем разложить D _X Y на компоненту, касательную к M , и поперечную компоненту, параллельную ξ. Это дает уравнение Гаусса : D _X Y = ∇ _X Y + h ( X , Y )ξ, где ∇: Ψ( M )×Ψ( M ) → Ψ( M ) — индуцированная связь на M и h : Ψ ( M )×Ψ( M ) → R — билинейная форма . Заметим, что ∇ и h зависят от выбора поперечного векторного поля ξ. Мы рассматриваем только те гиперповерхности для которых h невырождена , . Это свойство гиперповерхности M и не зависит от выбора поперечного векторного поля ξ. ^[1] Если h невырождено, то мы говорим, что M невырождено. В случае кривых на плоскости невырожденными являются кривые без перегибов . В случае поверхностей в трехмерном пространстве невырожденными являются поверхности без параболических точек .

Мы также можем рассмотреть производную ξ в некотором касательном направлении, скажем X. , Эту величину D _X ξ можно разложить на составляющую, касательную к M , и поперечную составляющую, параллельную ξ. Это дает уравнение Вайнгартена : D _X ξ = − SX + τ( X )ξ. типа (1,1) Тензор S : Ψ( M ) → Ψ( M ) называется оператором аффинной формы, дифференциальная форма τ : Ψ( M ) → R называется формой поперечной связи. Опять же, и S , и τ зависят от выбора поперечного векторного поля ξ.

Первая форма индуцированного объёма [ править ]

Пусть Ω : Ψ( R ^{п +1}) ^{п +1} → R — форма объема , определенная на R ^{п +1}. Мы можем индуцировать форму объема на M, заданную формулой ω: Ψ( M ) ^н → R , заданный формулой ω( X ₁ ,..., X _n ) := Ω( X ₁ ,..., X _n ,ξ). Это естественное определение: в евклидовой дифференциальной геометрии , где ξ — евклидова единица нормали , тогда стандартный евклидов объем, натянутый на X ₁ ,..., X _n, всегда равен ω( X ₁ ,..., X _n ). Заметим, что ω зависит от выбора поперечного векторного поля ξ.

Вторая форма индуцированного объёма [ править ]

Для касательных векторов X ₁ ,..., X _n пусть H := ( h _i,j ) будет размера n × n, матрицей заданной формулой h _i,j := h ( X _i , X _j ). Мы определяем вторую форму объема на M, заданную формулой ν: Ψ( M ) ^н → R , где ν( X ₁ ,..., X _n ) := |det(H)| ^{1 ⁄ 2}. Опять же, это естественное определение. Если М = Р ^н и h - евклидово скалярное произведение , то ν( X ₁ ,..., X _n ) всегда является стандартным евклидовым объемом, натянутым на векторы X ₁ ,..., X _n .Поскольку h зависит от выбора поперечного векторного поля ξ, отсюда следует, что и ν тоже.

Два природных состояния [ править ]

Мы налагаем два естественных условия. Во-первых, индуцированная связь ∇ и индуцированная форма объема ω совместимы, т.е. ∇ω ≡ 0. Это означает, что ∇ _X ω = 0 для всех X ∈ Ψ( M ). Другими словами, если мы параллельно транспортируем векторы X ₁ ,..., X _n вдоль некоторой кривой в M относительно связи ∇, то объем, натянутый на X ₁ ,..., X _n , относительно связи форма объема ω не меняется. Прямой расчет ^[1] показывает, что ∇ _X ω = τ( X )ω и, следовательно, ∇ _X ω = 0 для всех X ∈ Ψ( M ) тогда и только тогда, когда τ ≡ 0, т. е. D _X ξ ∈ Ψ( M ) для всех X ∈ Ψ ( М ). Это означает, что производная ξ в касательном направлении X относительно D всегда дает, возможно, нулевой, касательный вектор к M . Второе условие состоит в том, что две формы объема ω и ν совпадают, т.е. ω ≡ ν.

Заключение [ править ]

Это можно показать ^[1] что существует с точностью до знака единственный выбор поперечного векторного поля ξ, для которого оба условия ∇ω ≡ 0 и ω ≡ ν выполняются. Эти два специальных поперечных векторных поля называются аффинными нормальными векторными полями или иногда называемыми Бляшке . нормальными полями ^[2] Из его зависимости от форм объема для его определения мы видим, что аффинное нормальное векторное поле инвариантно относительно сохраняющих объем аффинных преобразований . Эти преобразования задаются формулой SL( n +1, R ) ⋉ R ^{п +1}, где SL( n +1, R ) обозначает специальную линейную группу матриц ( n +1) × ( n +1) с вещественными элементами и определителем 1, а ⋉ обозначает полупрямое произведение . SL( п +1, р ) ⋉ р ^{п +1} образует группу Ли .

Аффинная нормальная линия [ править ]

Аффинная нормаль в точке p ∈ M — это линия, проходящая через точку p и параллельная ξ.

Плоские кривые [ править ]

Аффинная нормаль для кривой γ( t ) = ( t + 2 t ², т ²) при t = 0.

Аффинное нормальное векторное поле для кривой на плоскости имеет хорошую геометрическую интерпретацию. ^[2] Пусть I ⊂ R — открытый интервал и γ : I → R ² — гладкая параметризация плоской кривой. Предположим, что γ( I ) — невырожденная кривая (в смысле Номидзу и Сасаки ^[1]), т.е. без точек перегиба . Рассмотрим точку p = γ( t ₀ ) на плоской кривой. Поскольку γ( I ) не имеет точек перегиба, отсюда следует, что γ( t ₀ ) не является точкой перегиба, и поэтому кривая будет локально выпуклой, ^[3] т.е. все точки γ( t ) с t ₀ − ε < t < t ₀ + ε для достаточно малого ε будут лежать по одну сторону касательной к γ( I ) в точке γ( t ₀ ).

Рассмотрим касательную к γ( I точке γ( t0 _{) в} ) и рассмотрим близлежащие параллельные линии на стороне касательной, содержащей участок кривой P := {γ(t) ∈ R ² : t ₀ − ε < t < t ₀ + ε}. Для параллельных прямых, достаточно близких к касательной, они будут пересекать P ровно в двух точках. На каждой параллельной прямой отмечаем середину отрезка , соединяющего эти две точки пересечения. Для каждой параллельной линии мы получаем среднюю точку, и поэтому геометрическое место средних точек образует кривую, начинающуюся с точки p . Предельная касательная к геометрическому месту средних точек при приближении к является в точности аффинной нормальной линией, т.е. линией, содержащей вектор аффинной нормали к γ( I ) в точке γ( t0 _p ). Обратите внимание, что это аффинно-инвариантная конструкция, поскольку параллелизм и средние точки инвариантны относительно аффинных преобразований.

Рассмотрим параболу , заданную параметризацией γ( t ) = ( t + 2 t ², т ²) . Это имеет уравнение x ² + 4 года ² − 4 xy − y = 0. Касательная линия в точке γ(0) имеет уравнение y = 0 , поэтому параллельные прямые задаются формулой y = k для достаточно малого k ≥ 0. Прямая y = k пересекает кривую в точке x знак равно 2 k ± √ k . Геометрическое положение средних точек определяется выражением {(2 k , k ) : k ≥ 0}. Они образуют отрезок, и поэтому ограничивающая касательная к этому отрезку при стремлении к γ(0) — это просто линия, содержащая этот отрезок, т. е. линия x = 2 y . В этом случае аффинная нормаль к кривой в точке γ(0) имеет уравнение x = 2 y . Фактически, прямой расчет показывает, что вектор аффинной нормали в точке γ(0), а именно ξ(0), имеет вид ξ(0) = 2 ^{1 ⁄ 3}·(2,1). ^[4] На рисунке красная кривая — это кривая γ, черные линии — это касательная линия и некоторые близлежащие касательные линии, черные точки — это средние точки отображаемых линий, а синяя линия — это геометрическое место средних точек.

Поверхности в трехмерном пространстве [ править ]

Аналогичный аналог существует для нахождения аффинной нормали в эллиптических точках гладких поверхностей в трехмерном пространстве. На этот раз берутся плоскости, параллельные касательной плоскости. Для плоскостей, достаточно близких к касательной плоскости, они пересекают поверхность, образуя выпуклые плоские кривые. Каждая выпуклая плоская кривая имеет центр масс . Место расположения центров масс очерчивает кривую в трехмерном пространстве. Ограничивающая касательная к этому локусу при стремлении к исходной точке поверхности является аффинной нормальной линией, т.е. линией, содержащей вектор аффинной нормали.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Номидзу, К.; Сасаки, Т. (1994), Аффинная дифференциальная геометрия: геометрия аффинных погружений , Cambridge University Press, ISBN 0-521-44177-3
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Су, Бучин (1983), Аффинная дифференциальная геометрия , Harwood Academic, ISBN 0-677-31060-9
^ Брюс, JW; Гиблин, П.Дж. (1984), Кривые и особенности , издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-42999-4
^ Дэвис, Д. (2006), Общая аффинная дифференциальная геометрия кривых в R ^н, учеб. Роял Соц. Эдинбург , 136А, 1195–1205 гг.

[Nomizu-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Номидзу, К.; Сасаки, Т. (1994), Аффинная дифференциальная геометрия: геометрия аффинных погружений , Cambridge University Press, ISBN 0-521-44177-3

[Su-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Су, Бучин (1983), Аффинная дифференциальная геометрия , Harwood Academic, ISBN 0-677-31060-9

[CAS-3] Брюс, JW; Гиблин, П.Дж. (1984), Кривые и особенности , издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-42999-4

[Davis-4] Дэвис, Д. (2006), Общая аффинная дифференциальная геометрия кривых в R ^н, учеб. Роял Соц. Эдинбург , 136А, 1195–1205 гг.

[1]

[2]

[3]

[4]