Аффинный фокальный набор

В математике, и особенно в аффинной дифференциальной геометрии , аффинное фокальное множество подмногообразия гладкого вложенное M, в гладкое многообразие N, представляет собой каустику, порожденную аффинными нормальными линиями. Его можно реализовать как бифуркационное множество некоторого семейства функций . Бифуркационное множество — это набор значений параметров семейства, которые дают функции с вырожденными особенностями . Это не то же самое, что бифуркационная диаграмма в динамических системах .

Предположим, что — M n - мерная гладкая гиперповерхность в вещественном ( n +1)-пространстве. Предположим, что M не имеет точек, в которых фундаментальная форма вырождена вторая . Из статьи «Аффинная дифференциальная геометрия» существует единственное поперечное векторное поле следует, что над M . Это аффинное нормальное векторное поле, или нормальное поле Бляшке . Специальное (т. е. det = 1) аффинное преобразование реального ( n + 1)-пространства перенесет векторное поле аффинных нормалей M в векторное поле аффинных нормалей образа M при преобразовании.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим локальную параметризацию M ​ . Позволять $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ быть открытой окрестностью 0 с координатами $\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n})$, и пусть $\mathbf {X} :U\to \mathbb {R} ^{n+1}$ — гладкая параметризация M в окрестности одной из его точек.

Аффинное нормальное векторное поле будем обозначать через $\mathbf {A}$. В каждой точке M оно трансверсально касательному пространству M т.е. ,

$\mathbf {A} :U\to T_{\mathbf {X} (U)}\mathbb {R} ^{n+1}.\,$

Для фиксированной $\mathbf {u} _{0}\in U$ аффинная нормаль к M в $\mathbf {X} (\mathbf {u} _{0})$ может быть параметризовано t где

$t\mapsto \mathbf {X} (\mathbf {u} _{0})+t\mathbf {A} (\mathbf {u} _{0}).$

Аффинное фокальное множество задается геометрически как бесконечно малые пересечения -параметрического семейства n аффинных нормальных линий. Для расчета выберите аффинную нормальную линию, скажем, в точке p ; затем посмотрите на аффинные нормальные линии в точках, бесконечно близких к p, и посмотрите, пересекаются ли они с линией в точке p . Если p бесконечно близко к $\mathbf {u} \in U$, то это можно выразить как $\mathbf {u} +d\mathbf {u}$ где $d\mathbf {u}$ представляет собой бесконечно малую разницу. Таким образом $\mathbf {X} (\mathbf {u} )$ и $\mathbf {X} (\mathbf {u} +d\mathbf {u} )$ будет наш p и его сосед.

Решите для t и $d\mathbf {u}$.

$\mathbf {X} (\mathbf {u} )+t\mathbf {A} (\mathbf {u} )=\mathbf {X} (\mathbf {u} +d\mathbf {u} )+t\mathbf {A} (\mathbf {u} +d\mathbf {u} ).$

Это можно сделать, используя разложение степенного ряда , и это не так уж сложно; он длинный и поэтому был опущен.

Вспоминая статью «Аффинная дифференциальная геометрия» , оператор аффинной формы S типа (1,1) представляет собой тензорное поле на M и задается формулой $Sv=D_{v}\mathbf {A}$, где D — ковариантная производная в вещественном ( n кто умеет читать: это обычная плоская ) без кручения + 1)-пространстве (для тех , связь .

Решения $\mathbf {X} (\mathbf {u} )+t\mathbf {A} (\mathbf {u} )=\mathbf {X} (\mathbf {u} +d\mathbf {u} )+t\mathbf {A} (\mathbf {u} +d\mathbf {u} )$ когда 1/ t является собственным значением S и что $d\mathbf {u}$ — соответствующий собственный вектор . Собственные значения S не всегда различны: могут быть повторяющиеся корни, могут быть комплексные корни, и S не всегда может быть диагонализируемым . Для $0\leq k\leq [n/2]$, где $[-]$ обозначает наибольшую целочисленную функцию обычно будет ( n − 2 k )-частей аффинного фокального множества , над каждой точкой p . −2 k соответствует тому, что пары собственных значений становятся комплексными (например, решение задачи $x^{2}+a=0$ как переход от отрицательного к положительному ).

Аффинное фокальное множество не обязательно должно состоять из гладких гиперповерхностей. Фактически, для общего положения гиперповерхности M аффинное фокальное множество будет иметь особенности . Особенности можно найти расчетным путем, но это может оказаться затруднительным, и нет никакого представления о том, как выглядит особенность с точностью до диффеоморфизма . Использование теории особенностей дает гораздо больше информации.

Подход теории особенностей

Идея здесь состоит в том, чтобы определить семейство функций над M . Семейство будет иметь окружающее реальное ( n + 1)-пространство в качестве пространства параметров, т. е. для каждого выбора окружающей точки существует функция, определенная над M . Это семейство представляет собой семейство функций аффинного расстояния:

$\Delta :\mathbb {R} ^{n+1}\times M\to \mathbb {R} .\,$

Учитывая окружающую точку $\mathbf {x}$ и точку поверхности p , можно разложить хорду, соединяющую p с $\mathbf {x}$ как тангенциальная составляющая и поперечная составляющая параллельная , $\mathbf {A}$. Значение Δ задано неявно в уравнении

$\mathbf {x} -p=Z(\mathbf {x} ,p)+\Delta (\mathbf {x} ,p)\mathbf {A} (p)$

где Z — касательный вектор . Теперь мы ищем бифуркационное множество семейства ∆, т. е. окружающие точки, для которых ограниченная функция

$\Delta :\{\mathbf {x} \}\times M\to \mathbb {R}$

имеет вырожденную особенность в некотором p . Функция имеет вырожденную особенность, если и матрица Якоби первого порядка частных производных , и матрица Гессе частных производных второго порядка имеют нулевой определитель .

дифференцировать уравнение x - p = Z + ΔA Чтобы выяснить, имеет ли матрица Якоби нулевой определитель, необходимо . Пусть X — касательный вектор к M и продифференцируем в этом направлении:

$D_{X}(\mathbf {x} -p)=D_{X}(Z+\Delta \mathbf {A} ),$

$-X=\nabla _{X}Z+h(X,Z)\mathbf {A} +d_{X}\Delta \mathbf {A} -\Delta SX,$

$(\nabla _{X}Z+(I-\Delta S)X)+(h(X,Z)+d_{X}\Delta )\mathbf {A} =0,$

где я личность ​ . Это означает, что $\nabla _{X}Z=(\Delta S-I)X$ и $h(X,Z)=-d_{X}\Delta$. Последнее равенство говорит о том, что мы имеем следующее уравнение дифференциальных одноформ $h(-,Z)=d\Delta$. Матрица Якобиана будет иметь нулевой определитель тогда и только тогда, когда $d\Delta$ вырождено т.е. как одноформа, $d_{X}\Delta =0$ для всех касательных векторов X . С $h(-,Z)=d\Delta$ отсюда следует, что $d\Delta$ вырождено тогда и только тогда, когда $h(-,Z)$ является вырожденным. Поскольку h — невырожденная двуформа, отсюда следует, что Z = 0 . Обратите внимание: поскольку M имеет невырожденную вторую фундаментальную форму, из этого следует, что h является невырожденной двойной формой. Поскольку Z = 0, множество окружающих точек x , для которых ограниченная функция $\Delta :\{\mathbf {x} \}\times M\to \mathbb {R}$ имеет особенность в некоторой точке p — это аффинная нормаль к M в точке p .

Чтобы вычислить матрицу Гессе, рассмотрим дифференциальную двухформу $(X,Y)\mapsto d_{Y}(d_{X}\Delta )$. Это двухформа, матричным представлением которой является матрица Гессе. Это уже было видно $h(X,Z)=-d_{X}\Delta$ и это $d_{Y}(d_{X}\Delta )=-d_{Y}(h(X,Z)).$ То, что остается, это

$(X,Y)\mapsto -d_{Y}(h(X,Z))=-(\nabla _{Y}h)(X,Z)-h(\nabla _{Y}X,Z)-h(X,\nabla _{Y}Z)$.

Теперь предположим, что ∆ имеет особенность в точке p , т. е. Z = 0, тогда мы имеем две формы

$(X,Y)\mapsto -h(X,\nabla _{Y}Z)$.

Также было замечено, что $\nabla _{X}Z=(\Delta S-I)X$, и поэтому двойная форма становится

$(X,Y)\mapsto h(X,(I-\Delta S)Y)$.

Это вырождено как двуформа тогда и только тогда, когда существует ненулевое X , для которого оно равно нулю для всех Y . Поскольку h невырождено, должно быть так, что $\det(I-\Delta S)=0$ и $Y\in \ker(I-\Delta S)$. Таким образом, особенность является вырожденной тогда и только тогда, когда окружающая точка x лежит на аффинной нормальной линии к p , а величина, обратная ее расстоянию от p, является собственным значением S , т. е. точки $\mathbf {x} =p+t\mathbf {A}$ 1/ t — собственное значение S. где Аффинный фокальный набор!

Особые точки

Аффинный фокальный набор может быть следующим:

$\{p+t\mathbf {A} (p):p\in M,\det(I-tS)=0\}\ .$

Чтобы найти особые точки, просто продифференцируйте p + tA в некотором касательном направлении X :

$D_{X}(p+t\mathbf {A} )=(I-tS)X+d_{X}t\mathbf {A} .$

Аффинное фокальное множество сингулярно тогда и только тогда, когда существует ненулевое X такое, что $D_{X}(p+t\mathbf {A} )=0$, т.е. тогда и только тогда, когда X является собственным вектором S и производная t в этом направлении равна нулю. Это означает, что производная аффинной главной кривизны в собственном аффинном главном направлении равна нулю.

Локальная структура

Стандартные идеи можно использовать в теории особенностей для классификации с точностью до локального диффеоморфизма аффинного фокального множества. Если можно показать, что семейство аффинных дистанционных функций является семейством определенного типа, то локальная структура известна. Семейство аффинных дистанционных функций должно быть версальным развертыванием возникающих особенностей.

Аффинное фокальное множество плоской кривой обычно состоит из гладких участков кривой и обычных точек возврата (полукубических парабол).

Аффинное фокальное множество поверхности в трехмерном пространстве, как правило, состоит из гладких участков поверхности, точек возврата ( $A_{3}$), точки ласточкиного хвоста ( $A_{4}$), кошелек баллы ( $D_{4}^{+}$) и точки пирамиды ( $D_{4}^{-}$). $A_{k}$ и $D_{k}$ серии такие же, как в Арнольда списке .

Вопрос о локальной структуре в гораздо более высоком измерении представляет большой интерес. Например, можно построить дискретный список типов особенностей (с точностью до локального диффеоморфизма). В гораздо более высоких измерениях такой дискретный список построить невозможно, поскольку существуют функциональные модули .

Ссылки

• В.И. Арнольд , С.М. Гусейн-Заде и А.Н. Варченко, "Особенности дифференцируемых отображений", Том 1, Биркхойзер, 1985.
• Дж. В. Брюс и П. Дж. Гиблин, «Кривые и особенности», второе издание, издательство Кембриджского университета, 1992.
• Т. Е. Сесил, "Фокусные точки и вспомогательные функции", Геом. Дедикада 50, № 3, 291 – 300, 1994.
• Д. Дэвис, «Аффинная дифференциальная геометрия и теория особенностей», докторская диссертация, Ливерпуль, 2008 г.
• К. Номидзу и Сасаки, «Аффинная дифференциальная геометрия», издательство Кембриджского университета, 1994.