Орбитальный интеграл

В математике орбитальный интеграл — это интегральное преобразование , которое обобщает оператор сферического среднего на однородные пространства . Вместо интегрирования по сферам однородного пространства X = G / H с обобщенная сфера центром в точке x ₀ является орбитой изотропии группы x происходит интегрирование по обобщенным сферам: для ₀ .

Определение

Модельным случаем орбитальных интегралов является риманово симметрическое пространство G / K , где G — группа Ли , а K — симметрическая компактная подгруппа . Обобщенные сферы тогда являются реальными геодезическими сферами, и оператор сферического усреднения определяется как

$M^{r}f(x)=\int _{K}f(gk\cdot y)\,dk,$

где

• точка обозначает действие группы G на однородном пространстве X
• g ∈ G — элемент группы такой, что x = g · o
• y ∈ X — произвольный элемент геодезической сферы радиуса r с центром в точке x : d ( x , y ) = r
• интегрирование ведется по мере Хаара на K (поскольку K компактна, она унимодулярна , а левая и правая меры Хаара совпадают и могут быть нормированы так, что масса K равна 1).

Орбитальные интегралы подходящих функций также могут быть определены в однородных пространствах G / K , где подгруппа K больше не считается компактной, а вместо этого считается только унимодулярной. К такому типу относятся лоренцевы симметрические пространства. Орбитальные интегралы в этом случае также получаются интегрированием по K -орбите в G / K по мере K. Хаара Таким образом

$\int _{K}f(gk\cdot y)\,dk$

— орбитальный интеграл с центром в точке x по орбите, проходящей через y . Как и выше, g — это элемент группы, который представляет смежный класс x .

Интегральная геометрия

Центральной проблемой интегральной геометрии является восстановление функции на основе знания ее орбитальных интегралов. Преобразование Функа и преобразование Радона представляют собой два особых случая. Когда G / K — риманово симметрическое пространство, проблема тривиальна, поскольку M ^р ƒ( x ) — среднее значение ƒ по обобщенной сфере радиуса r , и

$f(x)=\lim _{r\to 0^{+}}M^{r}f(x).$

Когда K компактен (но не обязательно симметричен), работает аналогичный ярлык. Проблема становится более интересной, когда K некомпактно. Например, преобразование Радона — это орбитальный интеграл, который получается, если взять G в качестве евклидовой группы изометрии, а K — группу изотропии гиперплоскости.

Орбитальные интегралы — важный технический инструмент теории автоморфных форм , где они входят в формулировку различных формул следов .

Ссылки

• Хельгасон, Сигурдур (1984), Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции , Academic Press, ISBN  0-12-338301-3