Глоссарий тензорной теории

Это глоссарий тензорной теории . Изложение тензорной теории с разных точек зрения см.:

Для некоторой истории абстрактной теории см. также полилинейную алгебру .

Классические обозначения

Фигурное исчисление: Самая ранняя основа тензорной теории – обозначение тензорного индекса. ^[1]

Порядок тензора: Компоненты тензора относительно базиса представляют собой индексированный массив. Порядок тензора — это количество необходимых индексов. В некоторых текстах к тензорному порядку можно отнести термин «степень» или «ранг» .

Ранг тензора: Ранг тензора — это минимальное количество тензоров первого ранга, которые необходимо просуммировать, чтобы получить тензор. Тензор первого ранга можно определить как внешнее произведение количества ненулевых векторов, необходимых для получения правильного порядка.

Диадический тензор: Диадический квадратной тензор — это тензор второго порядка, который может быть представлен в виде матрицы . Напротив, диада - это именно диадический тензор первого ранга.

Обозначение Эйнштейна: Это обозначение основано на понимании того, что всякий раз, когда многомерный массив содержит повторяющуюся букву индекса, интерпретация по умолчанию заключается в том, что произведение суммируется по всем разрешенным значениям индекса. Например, если ij _. — матрица, то согласно этому соглашению ii _— ее след a Соглашение Эйнштейна широко используется в текстах по физике и инженерному делу до такой степени, что, если суммирование не применяется, нормально отметить это явно.

Кронекера дельта

Символ Леви-Чивита

Ковариантный тензор

Контравариантный тензор: Классическая интерпретация – по компонентам. Например, в дифференциальной форме a _i dx ^я компоненты представляют собой a _i ковариантный вектор. Это означает, что все индексы ниже; контрвариантность означает, что все индексы являются верхними.

Смешанный тензор: Это относится к любому тензору, имеющему как нижний, так и верхний индексы.

Декартов тензор: Декартовы тензоры широко используются в различных разделах механики сплошных сред , например в механике жидкости и упругости . В классической механике сплошной среды интересующее пространство обычно представляет собой трехмерное евклидово пространство , как и касательное пространство в каждой точке. Если мы ограничим локальные координаты декартовыми координатами с тем же масштабом и центром в интересующей точке, метрический тензор будет дельтой Кронекера . Это означает, что нет необходимости различать ковариантные и контравариантные компоненты, а тем более нет необходимости различать тензоры и тензорные плотности . Все декартово-тензорные индексы записываются в виде нижних индексов. Декартовы тензоры позволяют значительно упростить вычисления за счет общности и некоторого теоретического понимания.

Сжатие тензора

Повышение и понижение индексов

Симметричный тензор

Антисимметричный тензор

Несколько перекрестных произведений

Алгебраические обозначения

Это позволяет избежать первоначального использования компонентов и отличается явным использованием символа тензорного произведения.

Тензорное произведение

Если v и w — векторы в векторных пространствах V и W соответственно, то

v\otimes w

является тензором в

V\otimes W.

То есть операция ⊗ является бинарной операцией , но она переносит значения в новое пространство (в строгом смысле внешнее ). Операция ⊗ является билинейным отображением ; но к нему не применяются никакие другие условия.

Чистый тензор: Чистый тензор V ⊗ W — это тензор вида v ⊗ w .; Его можно было бы записать двоично ^яб ^дж , точнее, , или ^яб ^дж e _i ⊗ f _j , где e _i — базис для V а f _j — базис для W. , Следовательно, если V и W не имеют одинаковой размерности, массив компонентов не обязательно должен быть квадратным. Такие чистые тензоры не являются общими: если и V , и W имеют размерность больше 1, будут тензоры, которые не являются чистыми, и будут нелинейные условия, которым тензор должен удовлетворять, чтобы быть чистым. Подробнее см. встраивание Сегре .

Тензорная алгебра: В тензорной алгебре T ( V ) векторного пространства V операция $\otimes$ становится обычной (внутренней) бинарной операцией . Следствием этого является то, что T ( V ) имеет бесконечную размерность, если только V не имеет размерность 0. Свободная алгебра на множестве X для практических целей аналогична тензорной алгебре в векторном пространстве с X в качестве базиса.

Звездный оператор Ходжа

Внешняя мощность

Клиновое произведение представляет собой антисимметричную форму операции ⊗. Фактор-пространство T ( V ), на котором она становится внутренней операцией, является алгеброй V внешней ; это градуированная алгебра которой градуированный фрагмент веса k называется k -й внешней V. степенью , в