D -модуль

В математике — D -модуль это модуль над кольцом D дифференциальных операторов . Основной интерес такие D -модули представляют как подход к теории линейных уравнений в частных производных . Примерно с 1970 года теория D -модулей создавалась, главным образом, как ответ на идеи Микио Сато об алгебраическом анализе и развитие работ Сато и Джозефа Бернштейна по полиному Бернштейна-Сато .

Ранними важными результатами были теорема о конструктивности Касивары и теорема Масаки Кашивары об индексе Касивары . Методы теории D -модулей всегда черпались из теории пучков и других методов, вдохновленных работами Александра Гротендика по алгебраической геометрии . Подход носит глобальный характер и отличается от методов функционального анализа, традиционно используемых для изучения дифференциальных операторов. Наиболее сильные результаты получены для переопределенных систем ( голономные системы ), а также на характеристическом многообразии, вырезанном символами , которое в хорошем случае является лагранжевым подмногообразием кокасательного расслоения максимальной размерности ( инволютивные системы ). Техники были переняты со стороны школы Гротендика Зогманом Мебхаутом , который получил общую, производную категориальную версию соответствия Римана-Гильберта во всех измерениях.

Введение: модули над алгеброй Вейля

Первый случай алгебраических - модулей — это модули над алгеброй Вейля An _D ( K ) над полем K характеристики нулевой . Это алгебра, состоящая из многочленов от следующих переменных

Икс ₁ , ..., Икс _п , ∂ ₁ , ..., ∂ _п .

где переменные x _i и ∂ _j коммутируют друг с другом по отдельности, а x _i и ∂ _j коммутируют при i ≠ j , но коммутатор удовлетворяет соотношению

[∂ _я , Икс _я ] знак равно ∂ _я Икс _я - Икс _я ∂ _{я знак} равно 1.

Для любого многочлена f ( x ₁ , ..., x _n ) отсюда следует соотношение

[∂ _я , ж ] знак равно ∂ ж / ∂ Икс _я ,

тем самым связав алгебру Вейля с дифференциальными уравнениями.

(Алгебраический) D есть левый модуль над кольцом An _K ( -модуль по определению ). Примеры D -модулей включают саму алгебру Вейля (действующую на себя умножением слева), (коммутативное) кольцо многочленов K [ x ₁ , ..., x _n ], где x _i действует умножением, а ∂ _j действует частичным дифференцирование по x _j и, аналогично, кольцо ${\mathcal {O}}(\mathbf {C} ^{n})$ голоморфных функций на C ^н (функции n комплексных переменных.)

Для некоторого дифференциального оператора P = a _n ( x ) ∂ ^н + ... + а ₁ ( Икс ) ∂ ¹ + a ₀ ( x ), где x - комплексная переменная, a _i ( x ) - многочлены, фактор-модуль M = A ₁ ( C )/ A ₁ ( C ) P тесно связан с пространством решений дифференциального уравнения

П ж = 0,

где f - скажем, некоторая голоморфная функция в C . Векторное пространство, состоящее из решений этого уравнения, задается пространством гомоморфизмов D -модулей $\mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}}(\mathbf {C} ))$.

D -модули на алгебраических многообразиях

Общая теория D -модулей развивается на гладком алгебраическом многообразии X, определенном над алгебраически замкнутым полем K нулевой характеристики, например K = C . Пучок X дифференциальных операторов D _X определяется как O _X порожденная векторными полями на -алгебра , , интерпретируемыми как дифференцирования . A (левый) D _X -модуль M это O _X -модуль с левым действием D — _X. на него Выполнение такого действия эквивалентно указанию K -линейного отображения.

$\nabla :D_{X}\rightarrow \operatorname {End} _{K}(M),v\mapsto \nabla _{v}$

удовлетворяющий

$\nabla _{fv}(m)=f\,\nabla _{v}(m)$

$\nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)$ ( правило Лейбница )

$\nabla _{[v,w]}(m)=[\nabla _{v},\nabla _{w}](m)$

Здесь f — регулярная функция на X , v и w — векторные поля, m — локальное сечение M , [−, −] обозначает коммутатор . Поэтому, если M является, кроме того, локально свободным O _X -модулем, то придание M структуры D -модуля есть не что иное, как оснащение векторного расслоения ассоциированного с M плоской (или интегрируемой) связностью .

Поскольку кольцо D _X некоммутативно, левые и правые D следует различать -модули. Однако эти два понятия можно поменять местами, поскольку существует эквивалентность категорий между обоими типами модулей, определяемая отображением левого модуля M в тензорное произведение M ⊗ Ω _X , где Ω _X — линейное расслоение, заданное высшим внешним модулем. мощность дифференциальных 1-форм на X . Этот расслоение имеет естественное правое действие, определяемое

ω ⋅ v := − Ли _v (ω),

где v — дифференциальный оператор первого порядка, то есть векторное поле, ω — n -форма ( n = dim X ), а Lie обозначает производную Ли .

Локально, после выбора некоторой системы координат x ₁ , ..., x _n ( n = dim X ) на X , определяющей базис ∂ ₁ , ..., ∂ _n касательного пространства X , сечения D _X могут быть однозначно представлены в виде выражений

$\sum f_{i_{1},\dots ,i_{n}}\partial _{1}^{i_{1}}\cdots \partial _{n}^{i_{n}}$, где $f_{i_{1},\dots ,i_{n}}$ являются регулярными функциями на X .

В частности, когда X — n -мерное аффинное пространство , это D _X — алгебра Вейля от n переменных.

Многие основные свойства D -модулей локальны и параллельны ситуации когерентных пучков . Это основано на том, что D _X является локально свободным пучком O X _{-модулей} , хотя и бесконечного ранга, как показывает упомянутый выше O _X -базис. X Можно показать , что D _{-модуль} , когерентный как O _X -модуль, обязательно локально свободен (конечного ранга).

Функциональность

D -модули на разных алгебраических многообразиях связаны функторами обратного и прямого движения, сравнимыми с функторами для когерентных пучков. Для отображения f : X → Y гладких многообразий определения следующие:

D _{X → Y} := O _X ⊗ _{f ⁻¹ ( О Й )} е ⁻¹ ( Д _Д )

Он оснащен левым действием D _X , имитирующим правило цепочки , и естественным правым действием f. ⁻¹ ( Д _Й ). Откат определяется как

ж ^∗ ( M ) знак равно D _{Икс → Y} ⊗ _{ж ⁻¹ ( Д Д )} е ⁻¹ ( М ).

Здесь M — левый D _Y его образ — левый модуль над X. -модуль, а Этот функтор точен справа , его левый производный функтор обозначается L f ^∗ . для правого D _X -модуля N Обратно ,

ж _* ( N ) знак равно ж _* ( N ⊗ _{D Икс} D _{Икс → Y} )

является правым D _Y -модулем. Поскольку это смешивает правое точное тензорное произведение с левым точным тензорным произведением, вместо этого обычно устанавливают

ж _* ( N ):= р ж _* ( N ⊗ ^л _{D X} D _{X → Y} ).

Из-за этого большая часть теории D -модулей разрабатывается с использованием всех возможностей гомологической алгебры , в частности производных категорий .

Голономные модули

Голономные модули над алгеброй Вейля

Можно показать, что алгебра Вейля является нётеровым (слева и справа) кольцом . Более того, оно просто , то есть его единственными двусторонними идеалами являются нулевой идеал и все кольцо. Эти свойства делают исследование D -модулей осуществимым. Примечательно, что стандартные понятия коммутативной алгебры , такие как полином Гильберта , кратность и длина модулей, переносятся и на D -модули. Точнее, D _X оснащен фильтрацией Бернштейна , то есть такой фильтрацией , что F ^п An _{- линейных} ( K ) состоит из K комбинаций дифференциальных операторов x ^а ∂ ^б с | α | + | β | ≤ p (с использованием мультииндексной записи ). Видно, что ассоциированное градуированное кольцо изоморфно кольцу многочленов от 2 n неопределенных значений. В частности, оно коммутативно.

Конечно порожденные D -модули M наделены так называемыми «хорошими» фильтрациями F ^∗ M , которые совместимы с F ^∗ An _{), по} ( K сути, параллельно ситуации леммы Артина–Риса . Полином Гильберта определяется как числовой полином , который согласуется с функцией

п ↦ dim _K F ^н М

для большого n . Размерность d ( M ) An ( _K определяется ) -модуля M как степень полинома Гильберта. Он ограничен неравенством Бернштейна

п ≤ d ( M ) ≤ 2 п .

Модуль, размерность которого достигает наименьшего возможного значения n , называется голономным .

A P ₁ ( K )-модуль M = A ₁ ( K )/ A ₁ ( K ) P (см. выше) голономен для любого ненулевого дифференциального оператора , но аналогичное утверждение для многомерных алгебр Вейля не выполняется.

Общее определение

Как упоминалось выше, модули над алгеброй Вейля соответствуют D -модулям в аффинном пространстве. Поскольку фильтрация Бернштейна недоступна на D _X для общих многообразий X , определение обобщается на произвольные аффинно гладкие многообразия X посредством порядковой фильтрации на D _X , определяемой порядком дифференциальных операторов . Соответствующее градуированное кольцо gr D _X задается регулярными функциями на кокасательном расслоении T ^∗ Х. ​

Характеристическое многообразие определяется как подмногообразие кокасательного расслоения, вырезанное радикалом аннулятора gr D M , где M снова снабжено подходящей фильтрацией (относительно порядковой фильтрации на X ₎ . Как обычно, аффинная конструкция затем приклеивается к произвольным многообразиям.

Неравенство Бернштейна продолжает выполняться для любого (гладкого) многообразия X . В то время как верхняя оценка является непосредственным следствием приведенной выше интерпретации gr D _X в терминах кокасательного расслоения, нижняя оценка является более тонкой.

Свойства и характеристики

Голономные модули имеют тенденцию вести себя как конечномерные векторные пространства. Например, их длина конечна. Кроме того, M голономно тогда и только тогда, когда все группы когомологий комплекса L i ^∗ ( M ) — конечномерные K -векторные пространства, где i — замкнутое погружение любой точки X. из

Для любого D -модуля M определяется двойственный модуль формулой

$\mathrm {D} (M):={\mathcal {R}}\operatorname {Hom} (M,D_{X})\otimes \Omega _{X}^{-1}[\dim X].$

Голономные модули также можно охарактеризовать гомологическим условием: M голономно тогда и только тогда, когда D( M ) сконцентрировано (рассматривается как объект в производной категории D -модулей) в степени 0. Этот факт является первым проблеском Вердье. двойственность и соответствие Римана–Гильберта . Это доказывается путем распространения гомологического изучения регулярных колец (особенно того, что связано с глобальной гомологической размерностью ) на фильтрованное кольцо D _X .

Другая характеристика голономных модулей осуществляется через симплектическую геометрию . Характеристическое многообразие Ch( M ) любого D -модуля M рассматривается как подмногообразие кокасательного расслоения T ^∗ X of X , инволютивное многообразие. Модуль голономен тогда и только тогда, когда Ch( M ) лагранжев .

Приложения

Одним из первых применений голономных D -модулей был полином Бернштейна – Сато .

Kazhdan–Lusztig conjecture

Гипотеза Каждана –Люстига была доказана с использованием D -модулей.

Соответствие Римана – Гильберта

Соответствие Римана –Гильберта устанавливает связь между некоторыми D -модулями и конструктивными пучками. Таким образом, это послужило мотивацией для введения извращенных пучков .

Теория геометрических представлений

D -модули также применяются в теории геометрических представлений. Основным результатом в этой области является локализация Бейлинсона-Бернштейна . Он связывает D -модули на многообразиях флагов G / B с представлениями алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ группы редуктивной G . D -модули также играют решающую роль в формулировке геометрической программы Ленглендса .

Ссылки

• Бейлинсон А.А .; Бернштейн, Джозеф (1981), «Локализация g -модулей», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 292 (1): 15–18, ISSN   0249-6291 , MR   0610137
• Бьорк, Ж.-Э. (1979), Кольца дифференциальных операторов , Математическая библиотека Северной Голландии, вып. 21, Амстердам: Северная Голландия, ISBN  978-0-444-85292-2 МР  0549189
• Брылинский, Жан-Люк; Кашивара, Масаки (1981), «Гипотеза Каждана-Люстига и голономные системы», Inventiones Mathematicae , 64 (3): 387–410, Бибкод : 1981InMat..64..387B , doi : 10.1007/BF01389272 , ISSN   0020-9910 , МР   0632980 , S2CID   18403883
• Коутиньо, SC (1995), Учебник по алгебраическим D -модулям , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 33, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-55119-9 , МР   1356713
• Борель, Арманд , изд. (1987), Алгебраические D-модули , Перспективы математики, вып. 2, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN  978-0-12-117740-9
• MGM van Doorn (2001) [1994], «D-модуль» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Хотта, Рёши; Такеучи, Киёси; Танисаки, Тошиюки (2008), D -модули, извращенные пучки и теория представлений (PDF) , Progress in Mathematics, vol. 236, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон, ISBN  978-0-8176-4363-8 , MR   2357361 , заархивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 г. , получено 10 декабря 2009 г.

Внешние ссылки

• Бернштейн, Джозеф , Алгебраическая теория D -модулей (PDF)
• Гайтсгори, Деннис, Лекции по геометрической теории представлений (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 26 марта 2015 г. , получено 14 декабря 2011 г.
• Миличич, Драган, Лекции по алгебраической теории D -модулей