Элемент (теория категорий)

В теории категорий понятие элемента или точки обобщает более обычное множественное понятие элемента множества теоретико - на объект любой категории . Эта идея часто позволяет переформулировать определения или свойства морфизмов (таких как мономорфизм или произведение ), заданных универсальным свойством , в более привычных терминах, указывая их отношение к элементам. Некоторые очень общие теоремы, такие как лемма Йонеды и теорема вложения Митчелла , очень полезны для этого, позволяя работать в контексте, где эти переводы действительны. Такой подход к теории категорий – в частности использование леммы Йонеды таким образом – принадлежит Гротендику и часто называется методом функтора точек .

Определение

Предположим, — любая категория , а A , T — два объекта C. C Т - значная точка A — это просто морфизм $p\colon T\to A$. Набор всех T -значных точек A изменяется функториально с T , порождая «функтор точек» A ; согласно лемме Йонеды , это полностью определяет А объект С. как

Свойства морфизмов

Многие свойства морфизмов можно переформулировать в терминах точек. Например, карта $f$ называется мономорфизмом, если

Для всех карт $g$, $h$, если $f\circ g=f\circ h$ затем $g=h$.

Предполагать $f\colon B\to C$ и $g,h\colon A\to B$ в С. ​Тогда g и h являются A -значными точками в B и, следовательно, мономорфизм эквивалентен более знакомому утверждению

f является мономорфизмом, если это инъективная функция в точках B .

Необходим некоторый уход. f является эпиморфизмом, если выполнено двойственное условие:

Для всех отображений g , h (некоторого подходящего типа) $g\circ f=h\circ f$ подразумевает $g=h$.

В теории множеств термин «эпиморфизм» является синонимом « сюръекции », т.е.

Каждая точка C является образом под действием некоторой точки B. f

Это явно не перевод первого утверждения на язык точек, и на самом деле эти утверждения не вообще эквивалентны. Однако в некоторых контекстах, таких как абелевы категории , «мономорфизм» и «эпиморфизм» подкреплены достаточно сильными условиями, которые фактически допускают такую ​​​​реинтерпретацию точек.

Точно так же категориальные конструкции, такие как произведение, имеют указанные аналоги. Напомним, что если A , B — два объекта C , их произведение A × B — это объект такой, что

Существуют карты $p\colon A\times B\to A,$ $q\colon A\times B\to B$, и для любых T и отображений $f\colon T\to A,g\colon T\to B$, существует единственное отображение $h\colon T\to A\times B$ такой, что $f=p\circ h$ и $g=q\circ h$.

В этом определении f и g являются T -значными точками A и B соответственно, а является T - значной точкой A × B. h Таким образом, альтернативное определение продукта звучит так:

A × B является объектом C вместе с картами проекций $p\colon A\times B\to A$ и $q\colon A\times B\to B$, такой, что p и q обеспечивают взаимно однозначное соответствие между точками A × B и парами точек A и B .

Это более знакомое определение произведения двух наборов.

Геометрическое происхождение

См. Также: Рациональная точка

Терминология имеет геометрическое происхождение; В алгебраической геометрии Гротендик ввел понятие схемы , чтобы объединить этот предмет с арифметической геометрией , которая имела дело с той же идеей изучения решений полиномиальных уравнений (т.е. алгебраических многообразий ), но где решения являются не комплексными числами , а рациональными числами . целые числа или даже элементы некоторого конечного поля . Тогда схема — это всего лишь схема объединения всех проявлений многообразия, определяемого одними и теми же уравнениями, но с решениями, взятыми в разных наборах чисел. Одна схема дает сложную разновидность, точки которой являются ее $(\operatorname {Spec} \mathbb {C} )$-оценочные баллы, а также набор $(\operatorname {Spec} \mathbb {Q} )$-значные точки (рациональные решения уравнений) и даже $(\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p})$-значные точки (решения по модулю p ).

Из этого примера очевидна одна особенность языка точек: в общем случае недостаточно рассматривать только точки со значениями в одном объекте. Например, уравнение $x^{2}+1=0$ (определяющая схему) не имеет вещественных решений, но имеет комплексные решения, а именно $\pm i$. Он также имеет одно решение по модулю 2 и два по модулю 5, 13, 29 и т. д. (все простые числа равны 1 по модулю 4). Простое принятие реальных решений не даст никакой информации.

с

Ситуация аналогична случаю, когда — категория Set C наборов реальных элементов. В этом случае мы имеем «одноточечное» множество {1}, и элементы любого множества S совпадают с {1}-значными точками S . Кроме того, существуют точки со значениями {1,2} , которые являются парами элементов S или элементов S × S . В контексте множеств эти высшие точки являются посторонними: S полностью определяется своими {1}-точками . Однако, как показано выше, это особый случай (в данном случае это связано с тем, что все наборы являются повторяемыми копродуктами {1}).

Ссылки

• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (1985). Топосы, тройки и теории (PDF) . Спрингер.
• Аводи, Стив (2006). Теория категорий . Издательство Оксфордского университета. Раздел 2.3. ISBN  0-19-856861-4 .