Теорема вложения Митчелла

Теорема вложения Митчелла , также известная как теорема Фрейда-Митчелла или теорема полного вложения , является результатом об абелевых категориях ; по сути, он утверждает, что эти категории, хотя и довольно абстрактно определены, на самом деле являются категориями модулей конкретными . Это позволяет использовать доказательства поэлементного поиска диаграмм в этих категориях. Теорема названа в честь Барри Митчелла и Питера Фрейда .

Подробности

Точное утверждение таково: если A — малая абелева категория, то существует кольцо R (с 1, не обязательно коммутативное) и полный , точный и точный функтор F : A → R -Mod (где последний обозначает категория всех левых R -модулей ).

Функтор F обеспечивает эквивалентность между A и полной подкатегорией R - Mod таким образом, что ядра и коядра, вычисленные в A, соответствуют обычным ядрам и коядрам, вычисленным в R -Mod. Такая эквивалентность обязательно аддитивна .Таким образом, теорема по существу говорит, что объекты A можно рассматривать как R -модули, а морфизмы - как R -линейные отображения с ядрами, коядрами, точными последовательностями и суммами морфизмов, определяемыми, как и в случае модулей. Однако проективные и инъективные объекты в A не обязательно соответствуют проективным и инъективным R -модулям.

доказательства

Позволять ${\mathcal {L}}\subset \operatorname {Fun} ({\mathcal {A}},Ab)$ — категория левых точных функторов из абелевой категории ${\mathcal {A}}$ к категории абелевых групп $Ab$. Сначала построим контравариантное вложение $H:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {L}}$ к $H(A)=h^{A}$ для всех $A\in {\mathcal {A}}$, где $h^{A}$ – ковариантный hom-функтор, $h^{A}(X)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)$. утверждает Лемма Йонеды , что $H$ полностью верен, и мы также получаем левую точность $H$ очень легко, потому что $h^{A}$ уже осталось точным. Доказательство правильной точности $H$ сложнее, и его можно прочитать в Swan, Lecture Notes in Mathematics 76 .

После этого докажем, что ${\mathcal {L}}$ является абелевой категорией с использованием теории локализации (также Свона). Это самая трудная часть доказательства.

Легко проверить, что абелева категория ${\mathcal {L}}$ это категория АВ5 с генератором $\bigoplus _{A\in {\mathcal {A}}}h^{A}$.Другими словами, это категория Гротендика и, следовательно, имеет инъективный когенератор. $I$.

эндоморфизмов Кольцо $R:=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(I,I)$ — то кольцо, которое нам нужно для категории R -модулей.

К $G(B)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(B,I)$ мы получаем еще одно контравариантное, точное и вполне точное вложение $G:{\mathcal {L}}\to R\operatorname {-Mod} .$ Состав $GH:{\mathcal {A}}\to R\operatorname {-Mod}$ – искомое ковариантное точное и вполне точное вложение.

Заметим, что доказательство теоремы вложения Габриэля–Квиллена для точных категорий практически идентично.

Ссылки

• Р. Г. Лебедь (1968). Алгебраическая К-теория, Конспект лекций по математике 76 . Спрингер.
• Питер Фрейд (1964). Абелевы категории: Введение в теорию функторов . Харпер и Роу. перепечатано с нападающим как «Абелевы категории» . Переиздания по теории и приложениям категорий . 3 : 23–164. 2003.
• Митчелл, Барри (июль 1964 г.). «Теорема полного вложения». Американский журнал математики . 86 (3). Издательство Университета Джонса Хопкинса: 619–637. дои : 10.2307/2373027 .
• Чарльз А. Вейбель (1993). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике.