По модулю (математика)

В математике термин modulo («по модулю», латинский аблятив модуля , который сам по себе означает «малая мера») часто используется, чтобы утверждать, что два различных математических объекта можно рассматривать как эквивалентные, если их разница равна объясняется дополнительным фактором. Первоначально он был введен в математику в контексте модульной арифметики Карлом Фридрихом Гауссом в 1801 году. ^[1] С тех пор этот термин приобрел множество значений — как точных, так и неточных (например, приравнивание «по модулю» к «за исключением»). ^[2] По большей части этот термин часто встречается в высказываниях вида:

А то же самое, что Б по модулю С.

что часто эквивалентно « А такое же, как от В до С », и означает

A и B одинаковы, за исключением различий, учитываемых или C. объясняемых

История [ править ]

Модуль — это математический жаргон , который был введен в математику в книге Disquisitiones Arithmeticae» Карла Фридриха Гаусса « в 1801 году. ^[3]Учитывая целые числа a , b и n , выражение « a ≡ b (mod n )», произносимое как « a соответствует b по модулю n », означает, что a − b является целым числом, кратным n , или, что то же самое, a и b. оба имеют один и тот же остаток при делении на n . Это латинский аблятив модуля , который сам по себе означает «малая мера». ^[4]

За прошедшие годы этот термин приобрел множество значений — как точных, так и неточных. Наиболее общее и точное определение дается просто в терминах отношения эквивалентности R , где a эквивалентно , (или конгруэнтно) по b модулю R если aRb .

Использование [ править ]

Первоначальное использование [ править ]

Первоначально Гаусс намеревался использовать «по модулю» следующим образом: учитывая целые числа a , b и n , выражение a ≡ b (mod n ) (произносится как « a соответствует b по модулю n ») означает, что a − b является целым числом, кратным от n или, что то же самое, a и b оставляют одинаковый остаток при делении на n . Например:

13 соответствует 63 по модулю 10.

Значит это

13 − 63 кратно 10 (эквивалентно, 13 и 63 отличаются кратно 10).

Вычисление [ править ]

В информатике и информатике этот термин можно использовать несколькими способами:

В вычислениях это обычно операция по модулю вещественных), a и n , модуль n — это остаток от числового деления a на n : для данных двух чисел (целых или при определенных ограничениях.
В теории категорий применительно к функциональному программированию «операция по модулю» — это специальный жаргон, который относится к отображению функтора в категорию путем выделения или определения остатков. ^[5]

Структуры [ править ]

Термин «по модулю» можно использовать по-разному — применительно к различным математическим структурам. Например:

Два члена a и b группы , конгруэнтны по модулю подгруппы нормальной тогда и только тогда когда ab ⁻¹ является членом нормальной подгруппы ( см. Факторгруппа и теорема об изоморфизме ). подробнее
Два члена кольца или алгебры конгруэнтны по модулю идеала , если разница между ними находится в идеале.
- Используемый в качестве глагола процесс выделения нормальной подгруппы (или идеала) из группы (или кольца) часто называется « модификацией ...» или «теперь мы модифицируем ...».
Два подмножества бесконечного множества равны по модулю конечных множеств именно в том случае, если их симметричная разность конечна, то есть из первого подмножества можно удалить конечный кусок, затем добавить к нему конечный кусок и в результате получить второе подмножество.
Короткая точная последовательность отображений приводит к определению факторпространства как одного пространства по модулю другого; так, например, что когомологии — это пространство замкнутых форм по модулю точных форм.

Модификация [ править ]

В общем, моддинг — это несколько неформальный термин, который означает объявление эквивалентных вещей, которые в противном случае считались бы разными. Например, предположим, что последовательность 1 4 2 8 5 7 следует рассматривать как ту же самую, что и последовательность 7 1 4 2 8 5, поскольку каждая из них представляет собой циклически сдвинутую версию другой:

{\begin{array}{ccccccccccccc}&1&&4&&2&&8&&5&&7\\\searrow &&\searrow &&\searrow &&\searrow &&\searrow &&\searrow &&\searrow \\&7&&1&&4&&2&&8&&5\end{array}}

В этом случае происходит «модификация посредством циклических сдвигов ».

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ «Модульная арифметика» . Британская энциклопедия . Проверено 21 ноября 2019 г.
^ «по модулю» . catb.org . Проверено 21 ноября 2019 г.
^ Буллинк, Мартен (1 февраля 2009 г.). «Модульная арифметика до К.Ф. Гаусса: систематизация и обсуждение проблем остатка в Германии 18-го века». История Математики . 36 (1): 48–72. дои : 10.1016/j.hm.2008.08.009 . ISSN 0315-0860 .
^ "modulo" , The Free Dictionary , получено 21 ноября 2019 г.
^ Барр; Уэллс (1996). Теория категорий для информатики . Лондон: Прентис Холл. п. 22. ISBN 0-13-323809-1 .

Внешние ссылки [ править ]

По модулю в файле жаргона

[1] «Модульная арифметика» . Британская энциклопедия . Проверено 21 ноября 2019 г.

[2] «по модулю» . catb.org . Проверено 21 ноября 2019 г.

[3] Буллинк, Мартен (1 февраля 2009 г.). «Модульная арифметика до К.Ф. Гаусса: систематизация и обсуждение проблем остатка в Германии 18-го века». История Математики . 36 (1): 48–72. дои : 10.1016/j.hm.2008.08.009 . ISSN 0315-0860 .

[4] "modulo" , The Free Dictionary , получено 21 ноября 2019 г.

[5] Барр; Уэллс (1996). Теория категорий для информатики . Лондон: Прентис Холл. п. 22. ISBN 0-13-323809-1 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]