Частные значения дзета-функции Римана

В математике дзета- функция Римана является функцией комплексного анализа , которая также важна в теории чисел . Его часто обозначают $\zeta (s)$ и назван в честь математика Бернхарда Римана . Когда аргумент $s$ является действительным числом больше единицы, дзета-функция удовлетворяет уравнению $$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,.$$Таким образом, он может обеспечить сумму различных сходящихся бесконечных рядов , таких как ${\textstyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+}$${\textstyle {\frac {1}{2^{2}}}+}$${\textstyle {\frac {1}{3^{2}}}+\ldots \,.}$ Существуют явные или численно эффективные формулы для $\zeta (s)$ целочисленные аргументы, все из которых имеют действительные значения, включая этот пример. В этой статье перечислены эти формулы вместе с таблицами значений. Он также включает производные и некоторые ряды, состоящие из дзета-функции с целочисленными аргументами.

То же уравнение в $s$ выше также имеет место, когда $s$ — комплексное число которого , действительная часть больше единицы, что гарантирует сходимость бесконечной суммы. Затем дзета-функция может быть расширена на всю комплексную плоскость путем аналитического продолжения , за исключением простого полюса в точке $s=1$. Комплексная производная существует в этой более общей области, что делает дзета-функцию мероморфной функцией . Приведенное выше уравнение больше не применимо к этим расширенным значениям $s$, для которого соответствующая сумма расходилась бы. Например, полная дзета-функция существует при $s=-1$ (и, следовательно, там конечен), но соответствующий ряд будет иметь вид ${\textstyle 1+2+3+\ldots \,,}$ чьи частичные суммы вырастут до бесконечности.

Перечисленные ниже значения дзета-функции включают значения функции в отрицательных четных числах ( s = −2 , −4 и т. д. ), для которых ζ ( s ) = 0 и которые составляют так называемые тривиальные нули . Статья о дзета-функции Римана включает цветной график, иллюстрирующий, как функция изменяется в непрерывной прямоугольной области комплексной плоскости. Успешная характеристика его нетривиальных нулей в более широкой плоскости важна в теории чисел из-за гипотезы Римана .

Дзета-функция Римана в точках 0 и 1

В нуле человек имеет $$\zeta (0)={B_{1}^{-}}=-{B_{1}^{+}}=-{\tfrac {1}{2}}\!$$

В точке 1 есть полюс , поэтому ζ (1) не конечно, но левый и правый пределы таковы: $$\lim _{\varepsilon \to 0^{\pm }}\zeta (1+\varepsilon )=\pm \infty$$Поскольку это полюс первого порядка, он имеет комплексный вычет $$\lim _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \zeta (1+\varepsilon )=1\,.$$

Положительные целые числа

Даже положительные целые числа

Для четных натуральных чисел $n$, имеет отношение к числам Бернулли $B_{n}$:

$$\zeta (n)=(-1)^{{\tfrac {n}{2}}+1}{\frac {(2\pi )^{n}B_{n}}{2(n!)}}\,.$$

Вычисление $\zeta (2)$ известна как Базельская проблема . Стоимость $\zeta (4)$ связано с законом Стефана – Больцмана и приближением Вина в физике. Первые несколько значений задаются следующим образом: $${\begin{aligned}\zeta (2)&=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[4pt]\zeta (4)&=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\\[4pt]\zeta (6)&=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}\\[4pt]\zeta (8)&=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}\\[4pt]\zeta (10)&=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}\\[4pt]\zeta (12)&=1+{\frac {1}{2^{12}}}+{\frac {1}{3^{12}}}+\cdots ={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}\\[4pt]\zeta (14)&=1+{\frac {1}{2^{14}}}+{\frac {1}{3^{14}}}+\cdots ={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}\\[4pt]\zeta (16)&=1+{\frac {1}{2^{16}}}+{\frac {1}{3^{16}}}+\cdots ={\frac {3617\pi ^{16}}{325641566250}}\,.\end{aligned}}$$

Принимая предел $n\rightarrow \infty$, получается $\zeta (\infty )=1$.

Выбранные значения для четных целых чисел

Ценить	Десятичное расширение	Источник
$\zeta (2)$	1.644 934 066 848 226 4364 ...	ОЭИС : A013661
$\zeta (4)$	1.082 323 233 711 138 1915 ...	ОЭИС : A013662
$\zeta (6)$	1.017 343 061 984 449 1397 ...	ОЭИС : A013664
$\zeta (8)$	1.004 077 356 197 944 3393 ...	ОЭИС : A013666
$\zeta (10)$	1.000 994 575 127 818 0853 ...	ОЭИС : A013668
$\zeta (12)$	1.000 246 086 553 308 0482 ...	ОЭИС : A013670
$\zeta (14)$	1.000 061 248 135 058 7048 ...	ОЭИС : A013672
$\zeta (16)$	1.000 015 282 259 408 6518 ...	ОЭИС : A013674

Связь между дзета в положительных четных целых числах и числами Бернулли можно записать как

$$A_{n}\zeta (2n)=\pi ^{2n}B_{n}$$

где $A_{n}$ и $B_{n}$ являются целыми числами для всех четных $n$. Они задаются целочисленными последовательностями OEIS : A002432 и OEIS : A046988 соответственно в OEIS . Некоторые из этих значений воспроизведены ниже:

коэффициенты

н	А	Б
1	6	1
2	90	1
3	945	1
4	9450	1
5	93555	1
6	638512875	691
7	18243225	2
8	325641566250	3617
9	38979295480125	43867
10	1531329465290625	174611
11	13447856940643125	155366
12	201919571963756521875	236364091
13	11094481976030578125	1315862
14	564653660170076273671875	6785560294
15	5660878804669082674070015625	6892673020804
16	62490220571022341207266406250	7709321041217
17	12130454581433748587292890625	151628697551

Если мы позволим $\eta _{n}=B_{n}/A_{n}$ быть коэффициентом $\pi ^{2n}$ как указано выше, $$\zeta (2n)=\sum _{\ell =1}^{\infty }{\frac {1}{\ell ^{2n}}}=\eta _{n}\pi ^{2n}$$затем мы находим рекурсивно,

$${\begin{aligned}\eta _{1}&=1/6\\\eta _{n}&=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1)^{\ell -1}{\frac {\eta _{n-\ell }}{(2\ell +1)!}}+(-1)^{n+1}{\frac {n}{(2n+1)!}}\end{aligned}}$$

Это рекуррентное соотношение может быть получено из соотношения для чисел Бернулли .

Также есть еще один рецидив:

$$\zeta (2n)={\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}\sum _{k=1}^{n-1}\zeta (2k)\zeta (2n-2k)\quad {\text{ for }}\quad n>1$$что можно доказать, используя это ${\frac {d}{dx}}\cot(x)=-1-\cot ^{2}(x)$

Значения дзета-функции в неотрицательных четных целых числах имеют производящую функцию : $$\sum _{n=0}^{\infty }\zeta (2n)x^{2n}=-{\frac {\pi x}{2}}\cot(\pi x)=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}x^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{90}}x^{4}+{\frac {\pi ^{6}}{945}}x^{6}+\cdots$$С $$\lim _{n\rightarrow \infty }\zeta (2n)=1$$ Формула также показывает, что для $n\in \mathbb {N} ,n\rightarrow \infty$, $$\left|B_{2n}\right|\sim {\frac {(2n)!\,2}{\;~(2\pi )^{2n}\,}}$$

Нечетные положительные целые числа

Сумма гармонического ряда бесконечна. $$\zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty \!$$

Величина ζ (3) также известна как постоянная Апери и играет роль в гиромагнитном отношении электрона.Величина ζ (3) фигурирует и в законе Планка .Эти и дополнительные значения:

Выбранные значения для нечетных целых чисел

Ценить	Десятичное расширение	Источник
$\zeta (3)$	1.202 056 903 159 594 2853 ...	ОЭИС : A02117
$\zeta (5)$	1.036 927 755 143 369 9263 ...	ОЭИС : A013663
$\zeta (7)$	1.008 349 277 381 922 8268 ...	ОЭИС : A013665
$\zeta (9)$	1.002 008 392 826 082 2144 ...	ОЭИС : A013667
$\zeta (11)$	1.000 494 188 604 119 4645 ...	ОЭИС : A013669
$\zeta (13)$	1.000 122 713 347 578 4891 ...	ОЭИС : A013671
$\zeta (15)$	1.000 030 588 236 307 0204 ...	ОЭИС : A013673

Известно, что ζ (3) иррационально ( теорема Апери ) и что бесконечно многие числа ζ (2 n + 1) : n ∈ $\mathbb {N}$ , иррациональны. Имеются также результаты об иррациональности значений дзета-функции Римана на элементах определенных подмножеств натуральных нечетных чисел; например, по крайней мере одно из ζ (5), ζ (7), ζ (9) или ζ (11) иррационально.

Положительные нечетные целые числа дзета-функции появляются в физике, в частности, в корреляционных функциях антиферромагнитной спиновой цепочки XXX .

Большинство личностей, следующих ниже, предоставлены Саймоном Плуффом . Они примечательны тем, что сходятся довольно быстро, давая почти три цифры точности на итерацию, и поэтому полезны для высокоточных вычислений.

Плуфф без доказательства установил следующие тождества. Доказательства позднее были даны другими авторами.

г (5)

$${\begin{aligned}\zeta (5)&={\frac {1}{294}}\pi ^{5}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}\\\zeta (5)&=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\sinh(\pi n)}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}+{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}\end{aligned}}$$

г (7)

$$\zeta (7)={\frac {19}{56700}}\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}(e^{2\pi n}-1)}}\!$$

Обратите внимание, что сумма представлена ​​в виде ряда Ламберта .

г (2 н + 1)

Определив величины

$$S_{\pm }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}(e^{2\pi n}\pm 1)}}$$

ряд отношений можно представить в виде

$$0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}+C_{n}S_{-}(n)+D_{n}S_{+}(n)$$

где An _Cn , Bn _Dn , положительные _. и — _числа целые Плуфф приводит таблицу значений:

коэффициенты

н	А	Б	С	Д
3	180	7	360	0
5	1470	5	3024	84
7	56700	19	113400	0
9	18523890	625	37122624	74844
11	425675250	1453	851350500	0
13	257432175	89	514926720	62370
15	390769879500	13687	781539759000	0
17	1904417007743250	6758333	3808863131673600	29116187100
19	21438612514068750	7708537	42877225028137500	0
21	1881063815762259253125	68529640373	3762129424572110592000	1793047592085750

Эти целочисленные константы могут быть выражены как суммы чисел Бернулли, как указано в (Вепстас, 2006) ниже.

Быстрый алгоритм вычисления дзета-функции Римана для любого целого аргумента предложен Е. А. Карацубой.

Отрицательные целые числа

В общем, для отрицательных целых чисел (а также нуля) есть

$$\zeta (-n)=(-1)^{n}{\frac {B_{n+1}}{n+1}}$$

Так называемые «тривиальные нули» встречаются в отрицательных четных целых числах:

$$\zeta (-2n)=0$$ ( суммирование Рамануджана )

Первые несколько значений отрицательных нечетных целых чисел:

$${\begin{aligned}\zeta (-1)&=-{\frac {1}{12}}\\[4pt]\zeta (-3)&={\frac {1}{120}}\\[4pt]\zeta (-5)&=-{\frac {1}{252}}\\[4pt]\zeta (-7)&={\frac {1}{240}}\\[4pt]\zeta (-9)&=-{\frac {1}{132}}\\[4pt]\zeta (-11)&={\frac {691}{32760}}\\[4pt]\zeta (-13)&=-{\frac {1}{12}}\end{aligned}}$$

Однако, как и числа Бернулли , они не остаются малыми для все более отрицательных нечетных значений. Подробнее о первом значении см. 1 + 2 + 3 + 4 + · · · .

Таким образом, ζ ( m ) можно использовать в качестве определения всех (в том числе для индексов 0 и 1) чисел Бернулли.

Производные

Производная дзета-функции в отрицательных четных целых числах определяется выражением

$$\zeta ^{\prime }(-2n)=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{2(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n+1)\,.$$

Первые несколько значений из которых

$${\begin{aligned}\zeta ^{\prime }(-2)&=-{\frac {\zeta (3)}{4\pi ^{2}}}\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-4)&={\frac {3}{4\pi ^{4}}}\zeta (5)\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-6)&=-{\frac {45}{8\pi ^{6}}}\zeta (7)\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-8)&={\frac {315}{4\pi ^{8}}}\zeta (9)\,.\end{aligned}}$$

У одного также есть

$${\begin{aligned}\zeta ^{\prime }(0)&=-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-1)&={\frac {1}{12}}-\ln A\\[4pt]\zeta ^{\prime }(2)&={\frac {1}{6}}\pi ^{2}(\gamma +\ln 2-12\ln A+\ln \pi )\end{aligned}}$$

где A — постоянная Глейшера–Кинкелина . Первое из этих тождеств означает, что регуляризованное произведение обратных чисел положительных целых чисел равно $1/{\sqrt {2\pi }}$, отсюда и забавное «уравнение» $\infty !={\sqrt {2\pi }}$.

Из логарифмической производной функционального уравнения

$$2{\frac {\zeta '(1/2)}{\zeta (1/2)}}=\log(2\pi )+{\frac {\pi \cos(\pi /4)}{2\sin(\pi /4)}}-{\frac {\Gamma '(1/2)}{\Gamma (1/2)}}=\log(2\pi )+{\frac {\pi }{2}}+2\log 2+\gamma \,.$$

Выбранные производные финансовые инструменты

Ценить	Десятичное расширение	Источник
$\zeta '(3)$	−0.198 126 242 885 636 853 33 ...	ОЭИС : A244115
$\zeta '(2)$	−0.937 548 254 315 843 753 70 ...	ОЭИС : A073002
$\zeta '(0)$	−0.918 938 533 204 672 741 78 ...	ОЭИС : A075700
$\zeta '(-{\tfrac {1}{2}})$	−0.360 854 339 599 947 607 34 ...	ОЭИС : A271854
$\zeta '(-1)$	−0.165 421 143 700 450 929 21 ...	ОЭИС : A084448
$\zeta '(-2)$	−0.030 448 457 058 393 270 780 ...	ОЭИС : A240966
$\zeta '(-3)$	+0.005 378 576 357 774 301 1444 ...	ОЭИС : A259068
$\zeta '(-4)$	+0.007 983 811 450 268 624 2806 ...	ОЭИС : A259069
$\zeta '(-5)$	−0.000 572 985 980 198 635 204 99 ...	ОЭИС : A259070
$\zeta '(-6)$	−0.005 899 759 143 515 937 4506 ...	ОЭИС : A259071
$\zeta '(-7)$	−0.000 728 642 680 159 240 652 46 ...	ОЭИС : A259072
$\zeta '(-8)$	+0.008 316 161 985 602 247 3595 ...	ОЭИС : A259073

Ряд с участием ζ ( n )

Из производящей функции можно получить следующие суммы: $$\sum _{k=2}^{\infty }\zeta (k)x^{k-1}=-\psi _{0}(1-x)-\gamma$$где ψ0 _. – функция дигамма -

$${\begin{aligned}\sum _{k=2}^{\infty }(\zeta (k)-1)&=1\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(\zeta (2k)-1)&={\frac {3}{4}}\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(\zeta (2k+1)-1)&={\frac {1}{4}}\\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}(\zeta (k)-1)&={\frac {1}{2}}\end{aligned}}$$

Ряды, связанные с постоянной Эйлера – Маскерони (обозначаются γ ), имеют вид $${\begin{aligned}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k}}&=\gamma \\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=1-\gamma \\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=\ln 2+\gamma -1\end{aligned}}$$

и используя главное значение $$\zeta (k)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (k+\varepsilon )+\zeta (k-\varepsilon )}{2}}$$что, конечно, влияет только на значение 1, эти формулы можно записать как

$${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k}}&=0\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=0\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=\ln 2\end{aligned}}$$

и покажем, что они зависят от главного значения ζ (1) = γ .

Нетривиальные нули

Основная статья: гипотеза Римана

Нули дзета Римана, за исключением отрицательных четных целых чисел, называются «нетривиальными нулями». Гипотеза Римана утверждает, что действительная часть каждого нетривиального нуля должна быть равна ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ . Другими словами, все известные нетривиальные нули дзеты Римана имеют вид z = ⁠ 1/2 , ⁠ + где y i y — действительное число. Следующая таблица содержит десятичное разложение Im( z ) для первых нескольких нетривиальных нулей:

Выбранные нетривиальные нули

Десятичное разложение Im( z )	Источник
14.134 725 141 734 693 790 ...	ОЭИС : A058303
21.022 039 638 771 554 992 ...	ОЭИС : A065434
25.010 857 580 145 688 763 ...	ОЭИС : A065452
30.424 876 125 859 513 210 ...	ОЭИС : A065453
32.935 061 587 739 189 690 ...	ОЭИС : A192492
37.586 178 158 825 671 257 ...	ОЭИС : A305741
40.918 719 012 147 495 187 ...	ОЭИС : A305742
43.327 073 280 914 999 519 ...	ОЭИС : A305743
48.005 150 881 167 159 727 ...	ОЭИС : A305744
49.773 832 477 672 302 181 ...	ОЭИС : A306004

Эндрю Одлызко вычислил первые 2 миллиона нетривиальных нулей с точностью до 4 × 10. ⁻⁹ и первые 100 нулей с точностью до 1000 десятичных знаков. См. их веб-сайт для таблиц и библиографии. Таблица примерно из 103 миллиардов нулей с высокой точностью (±2 ^-102 ≈±2·10 ^-31 ) доступен для интерактивного доступа и скачивания (правда, в очень неудобном сжатом формате) через LMFDB .

Соотношения

Хотя оценить конкретные значения дзета-функции сложно, часто определенные соотношения можно найти, подставив определенные значения гамма-функции в функциональное уравнение.

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$

У нас есть простые соотношения для полуцелых аргументов.

${\begin{aligned}{\frac {\zeta (3/2)}{\zeta (-1/2)}}&=-4\pi \\{\frac {\zeta (5/2)}{\zeta (-3/2)}}&=-{\frac {16\pi ^{2}}{3}}\\{\frac {\zeta (7/2)}{\zeta (-5/2)}}&={\frac {64\pi ^{3}}{15}}\\{\frac {\zeta (9/2)}{\zeta (-7/2)}}&={\frac {256\pi ^{4}}{105}}\end{aligned}}$

Далее следуют другие примеры для более сложных оценок и соотношений гамма-функции. Например, следствие отношения

$\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)=\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{\tfrac {1}{4}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}^{\tfrac {1}{2}}$

это соотношение дзета-отношения

${\frac {\zeta (3/4)}{\zeta (1/4)}}=2{\sqrt {\frac {\pi }{(2-{\sqrt {2}})\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}}}$

где AGM – среднее арифметико-геометрическое . Подобным же образом можно сформировать радикальные отношения, например, от

${\frac {\Gamma \left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}{\Gamma \left({\frac {1}{10}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10}}{\sqrt[{4}]{5}}}}$

аналогичное дзета-отношение

${\frac {\zeta (1/5)^{2}\zeta (7/10)\zeta (9/10)}{\zeta (1/10)\zeta (3/10)\zeta (4/5)^{2}}}={\frac {(5-{\sqrt {5}})\left({\sqrt {10}}+{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)}{10\cdot 2^{\tfrac {3}{10}}}}$

Дальнейшее чтение

• Чаурри, Оскар; Навас, Луис М.; Руис, Франсиско Дж.; Варона, Хуан Л. (май 2015 г.). «Простое вычисление ζ (2 k )». Американский математический ежемесячник . 122 (5): 444–451. doi : 10.4169/amer.math.monthly.122.5.444 . JSTOR   10.4169/amer.math.monthly.122.5.444 . S2CID   207521195 .
• Саймон Плуфф , « Личность, вдохновленная записными книжками Рамануджана, заархивированными 30 января 2009 г. в Wayback Machine » (1998).
• Саймон Плуфф , « Личность, вдохновленная блокнотами Рамануджана, часть 2, PDF-файл, архивировано 26 сентября 2011 г. в Wayback Machine » (2006).
• Вепстас, Линас (2006). «О личностях Рамануджана Плуффа» (PDF) . Журнал Рамануджана . 27 (3): 387–408. arXiv : math.NT/0609775 . дои : 10.1007/s11139-011-9335-9 . S2CID   8789411 .
• Зудилин, Вадим (2001). «Одно из чисел ζ (5), ζ (7), ζ (9), ζ (11) иррационально» Российские математические обзоры . 56 (4): 774–776. Бибкод : 2001РуМаС..56..774Z . дои : 10.1070/RM2001v056n04ABEH000427 . МР   1861452 . S2CID   250734661 . PDF PDF Русский PS Русский
• Ссылка на нетривиальные нули Эндрю Одлызко :
  • Библиография
  • Таблицы