Звездный продукт Редхеффера

В математике звездное произведение Редхеффера — бинарная операция над линейными операторами , возникающая в связи с решением связанных систем линейных уравнений . Он был представлен Раймондом Редхеффером в 1959 году. и впоследствии получил широкое распространение в вычислительных методах для матриц рассеяния . Учитывая две матрицы рассеяния от разных линейных рассеивателей, звездное произведение Редхеффера дает комбинированную матрицу рассеяния, получаемую, когда некоторые или все выходные каналы одного рассеивателя подключены к входам другого рассеивателя.

Определение

Предполагать $A,B$ являются блочными матрицами $A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}$и $B={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}}$,чьи блоки $A_{ij},B_{kl}$ иметь одинаковую форму, когда $ij=kl$.Тогда звездное произведение Редхеффера определяется следующим образом:

$A\star B={\begin{pmatrix}B_{11}(I-A_{12}B_{21})^{-1}A_{11}&B_{12}+B_{11}(I-A_{12}B_{21})^{-1}A_{12}B_{22}\\A_{21}+A_{22}(I-B_{21}A_{12})^{-1}B_{21}A_{11}&A_{22}(I-B_{21}A_{12})^{-1}B_{22}\end{pmatrix}}$,

предполагая, что $(I-A_{12}B_{21}),(I-B_{21}A_{12})$ являются обратимыми ,где $I$ является единичной матрицей, созвучной к $A_{12}B_{21}$ или $B_{21}A_{12}$, соответственно.Это можно переписать несколькими способами, используя так называемый сквозная идентичность $(I-AB)A=A(I-BA)\iff A(I-BA)^{-1}=(I-AB)^{-1}A$.

Определение Редхеффера выходит за рамки матриц: линейные операторы в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$. .По определению, $A_{ij},B_{kl}$ являются линейными эндоморфизмами ${\mathcal {H}}$,изготовление $A,B$ линейные эндоморфизмы ${\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {H}}$,где $\oplus$ это прямая сумма .Однако звездообразное произведение по-прежнему имеет смысл, пока преобразования совместимы.что возможно, когда $A\in {\mathcal {L(H_{\gamma }\oplus H_{\alpha },H_{\alpha }\oplus H_{\gamma })}}$и $B\in {\mathcal {L(H_{\alpha }\oplus H_{\beta },H_{\beta }\oplus H_{\alpha })}}$так что $A\star B\in {\mathcal {L(H_{\gamma }\oplus H_{\beta },H_{\beta }\oplus H_{\gamma })}}$.

Характеристики

Существование

$(I-A_{12}B_{21})^{-1}$ существует тогда и только тогда, когда $(I-B_{21}A_{12})^{-1}$ существует. Таким образом, когда любой из них существует, существует и звездное произведение Редхеффера.

Личность

Звездная идентичность – это идентичность на ${\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {H}}$,или ${\begin{pmatrix}I&0\\0&I\end{pmatrix}}$.

Ассоциативность

Звездчатое произведение является ассоциативным при условии, что определены все соответствующие матрицы. Таким образом $A\star B\star C=(A\star B)\star C=A\star (B\star C)$.

заместитель

При условии существования любой из сторон сопряженный к Редхефферу звездный продукт $(A\star B)^{*}=B^{*}\star A^{*}$.

Обратный

Если $B$ является левой матрицей, обратной матрице $A$ такой, что $BA=I$, $A_{22}$ имеет правый обратный и $A\star B$ существует, то $A\star B=I$. Аналогично, если $B$ является левой матрицей, обратной матрице $A$ такойчто $BA=I$, $A_{11}$ имеет правый обратный и $B\star A$ существует, то $B\star A=I$.

Кроме того, если $A\star B=I$ и $A_{22}$ имеет левый обратныйзатем $BA=I$.

Обратная звезда равна обратной матрице , и оба могут быть вычислены с помощью блокировать инверсию как

${\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}&(A_{21}-A_{22}A_{12}^{-1}A_{11})^{-1}\\(A_{12}-A_{11}A_{21}^{-1}A_{22})^{-1}&(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1}\end{pmatrix}}$.

Вывод из линейной системы

Связанная система уравнений со стрелками, обозначающими входные и выходные данные каждой матрицы.

Звездное произведение получается в результате решения нескольких линейных систем уравнений, которые имеют общуюпеременные общие.Часто каждая линейная система моделирует поведение одной подсистемы в физическом процессе.а соединив несколько подсистем в единое целое, можно исключить переменныераспределяются между подсистемами, чтобы получить общую линейную систему.Например, пусть $\{x_{i}\}_{i=1}^{6}$ быть элементами гильбертова пространства ${\mathcal {H}}$ такой, что

${\begin{pmatrix}x_{3}\\x_{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{5}\\x_{4}\end{pmatrix}}$

и

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{3}\\x_{2}\end{pmatrix}}$

«Сантехника» одной из систем уравнений Редхеффера.

давая следующее $4$ уравнения в $6$ переменные:

${\begin{aligned}x_{3}&=A_{11}x_{5}+A_{12}x_{4}\\x_{6}&=A_{21}x_{5}+A_{22}x_{4}\\x_{1}&=B_{11}x_{3}+B_{12}x_{2}\\x_{4}&=B_{21}x_{3}+B_{22}x_{2}\end{aligned}}$.

Подставив первое уравнение в последнее, находим:

$x_{4}=(I-B_{21}A_{12})^{-1}(B_{21}A_{11}x_{5}+B_{22}x_{2})$.

Подставив последнее уравнение в первое, находим:

$x_{3}=(I-A_{12}B_{21})^{-1}(A_{11}x_{5}+A_{12}B_{22}x_{2})$.

Устранение $x_{3},x_{4}$ заменив два предыдущих уравненияв те, для $x_{1},x_{6}$ приводит к звездному произведению Редхеффераматрица такая, что:

Звездчатое произведение исключает общие переменные в этой связанной системе уравнений.

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{6}\end{pmatrix}}=(A\star B){\begin{pmatrix}x_{5}\\x_{2}\end{pmatrix}}$.

Подключение к матрицам рассеяния

«Сантехника» матрицы рассеяния имеет другое соглашение, чем Редхеффер, которое сводится к замене и перемаркировке нескольких величин. Преимущество состоит в том, что теперь индексы S-матрицы обозначают порты ввода и вывода, а также индексы блоков.

Многие процессы рассеяния принимают форму, мотивирующую разныесоглашение о блочной структуре линейной системы матрицы рассеяния.Обычно физическое устройство, выполняющее линейное преобразование входных данных, напримерлинейные диэлектрические среды на электромагнитных волнах или в квантово-механическом рассеянии,может быть инкапсулирован как система, которая взаимодействует с окружающей средой посредством различныхпорты, каждый из которых принимает входные данные и возвращает выходные данные. Для гильбертова пространства принято использовать другое обозначение: ${\mathcal {H}}_{i}$, чей индексобозначает порт на устройстве.Кроме того, любой элемент, $c_{i}^{\pm }\in {\mathcal {H}}_{i}$, имеет дополнительный верхний индекс, обозначающий направление движения (где + указывает на перемещение из порта i в i+1, а - указывает на обратное).

Эквивалентное обозначение преобразования Редхеффера: $R\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{2},H_{2}\oplus H_{1})}}$,использованный в предыдущем разделе

${\begin{pmatrix}c_{2}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}R_{11}&R_{12}\\R_{21}&R_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{2}^{-}\end{pmatrix}}$.

Действие S-матрицы , $S\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{2},H_{1}\oplus H_{2})}}$,определяется с дополнительным переворотом по сравнению с определением Редхеффера:

${\begin{pmatrix}c_{1}^{-}\\c_{2}^{+}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{2}^{-}\end{pmatrix}}$,

так $S={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}R$.Обратите внимание, что для того, чтобы определить недиагональные единичные матрицы,нам требуется ${\mathcal {H_{1},H_{2}}}$ быть тем же основным гильбертовым пространством.(Нижний индекс не подразумевает никакой разницы, а является просто меткой для бухгалтерского учета.)

Звездный продукт, $\star _{S}$,для двух S-матриц, $A,B$, определяется

«Сантехника» связанной пары матриц рассеяния в звездном произведении.

$A\star _{S}B={\begin{pmatrix}A_{11}+A_{12}(I-B_{11}A_{22})^{-1}B_{11}A_{21}&A_{12}(I-B_{11}A_{22})^{-1}B_{12}\\B_{21}(I-A_{22}B_{11})^{-1}A_{21}&B_{22}+B_{21}(I-A_{22}B_{11})^{-1}A_{22}B_{12}\end{pmatrix}}$,

где $A\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{2},H_{1}\oplus H_{2})}}$и $B\in {\mathcal {L(H_{2}\oplus H_{3},H_{2}\oplus H_{3})}}$,так $A\star _{S}B\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{3},H_{1}\oplus H_{3})}}$.

Характеристики

Это аналоги свойств $\star$ для $\star _{S}$Большинство из них следуют из переписки $J(A\star B)=(JA)\star _{S}(JB)$. $J$, оператор обмена, также является звездным тождеством S-матрицы, определенным ниже.Что касается остальной части этого раздела, $A,B,C$ являются S-матрицами.

Существование

$A\star _{S}B$ существует, когда либо $(I-A_{22}B_{11})^{-1}$или $(I-B_{11}A_{22})^{-1}$существовать.

Личность

Звездная идентичность S-матрицы, $J$, является $J={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}$.Это означает $J\star _{S}S=S\star _{S}J=S$

Ассоциативность

Ассоциативность $\star _{S}$ следует из ассоциативности $\star$ и матричного умножения.

заместитель

Из переписки между $\star$ и $\star _{S}$,и сопряжение $\star$, у нас это есть $(A\star _{S}B)^{*}=J(B^{*}\star _{S}A^{*})J$

Обратный

Матрица $\Sigma$ это звездное произведение S-матрицы, обратное $S$ в том смысле, что $\Sigma \star _{S}S=S\star _{S}\Sigma =J$является $JS^{-1}J$ где $S^{-1}$ это обычная обратная матрица и $J$ такое, как определено выше.

Подключение к передаче матриц

Матрицы переноса имеют иную «водопроводку», чем матрицы рассеяния. Они подключают один порт к другому вместо входов всех портов к выходам всех портов.

Заметим, что матрицу рассеяния можно переписать в виде матрица переноса , $T$, с действием ${\begin{pmatrix}c_{2}^{+}\\c_{2}^{-}\end{pmatrix}}=T{\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}$,где

$T={\begin{pmatrix}T_{\scriptscriptstyle ++}&T_{\scriptscriptstyle +-}\\T_{\scriptscriptstyle -+}&T_{\scriptscriptstyle --}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{21}-S_{22}S_{12}^{-1}S_{11}&S_{22}S_{12}^{-1}\\-S_{12}^{-1}S_{11}&S_{12}^{-1}\end{pmatrix}}$.

Здесь индексы относятся к различным направлениям распространения на каждом порту.В результате звездное произведение матриц рассеяния

${\begin{pmatrix}c_{3}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}=(S^{A}\star S^{B}){\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{3}^{-}\end{pmatrix}}$,

аналогично следующему матричному умножению матриц переноса

${\begin{pmatrix}c_{3}^{+}\\c_{3}^{-}\end{pmatrix}}=(T^{A}T^{B}){\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}$,

где $T^{A}\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{1},H_{2}\oplus H_{2})}}$и $T^{B}\in {\mathcal {L(H_{2}\oplus H_{2},H_{3}\oplus H_{3})}}$,так $T^{A}T^{B}\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{1},H_{3}\oplus H_{3})}}$.

Обобщения

Редхеффер обобщил звездный продукт несколькими способами:

Произвольные биекции

Если существует биекция $M\leftrightarrow L$ данный $L=f(M)$ тогда ассоциативное звездообразное произведение можно определить следующим образом:

$A\star B=f^{-1}(f(A)f(B))$.

Конкретный звездный продукт, определенный Редхеффером выше, получается из:

$f(A)=((I-A)+(I+A)J)^{-1}((A-I)+(A+I)J)$

где $J(x,y)=(-x,y)$.

продукт 3x3 звезды

Звездчатое произведение также можно определить для матриц 3х3.

Приложения к матрицам рассеяния

В физике звездное произведение Редхеффера появляется при построении полного матрица рассеяния от двух и более подсистем.Если система $A$ имеет матрицу рассеяния $S^{A}$ и система $B$ имеет матрицу рассеяния $S^{B}$, то комбинированная система $AB$ имеет матрицу рассеяния $S^{AB}=S^{A}\star S^{B}$.

Теория линий электропередачи

Многие физические процессы, в том числе перенос излучения, диффузия нейтронов, теория цепей и др., описываются процессами рассеяния, формулировка которых зависит от размерности процесса и представления операторов. Для вероятностных задач уравнение рассеяния может появиться в уравнении типа Колмогорова .

Электромагнетизм

Звездное произведение Редхеффера можно использовать для решения проблемы распространения электромагнитных полей в стратифицированных многослойных средах. Каждый слой структуры имеет свою собственную матрицу рассеяния, а общую матрицу рассеяния структуры можно описать как звездообразное произведение между всеми слоями. Бесплатная программа, моделирующая электромагнетизм в слоистых средах, — это Стэнфордский решатель стратифицированных структур .

Полупроводниковые интерфейсы

Кинетические модели последовательных полупроводниковых интерфейсов могут использовать формулировку матрицы рассеяния для моделирования движения электронов между полупроводниками.

Факторизация на графах

При анализе операторов Шредингера на графах матрица рассеяния графа может быть получена как обобщенное звездное произведение матриц рассеяния, соответствующих его подграфам.