Симплекс Паскаля

Первые пять слоев 3-симплекса Паскаля ( пирамиды Паскаля ). Каждая грань (оранжевая сетка) представляет собой 2-симплекс Паскаля ( треугольник Паскаля ). Стрелки показывают вывод двух примеров терминов.

В математике — симплекс Паскаля это обобщение треугольника Паскаля на произвольное число измерений , основанное на полиномиальной теореме .

Паскаля Общий м -симплекс

Пусть m ( m > 0 ) — количество членов многочлена, а n ( n ≥ 0 ) — степень, в которую возводится многочлен.

Пусть ⁠ $\wedge$⁠ ^м Паскаля обозначим m - симплекс . Паскаля Каждый m - симплекс представляет собой полубесконечный объект, состоящий из бесконечного ряда своих компонент.

Пусть ⁠ $\wedge$⁠ ^м
_n обозначает его n- й компонент, который сам по себе является конечным ( m − 1) - симплексом с длиной ребра n , с обозначением, эквивалентным $\vartriangle _{n}^{m-1}$.

n -й компонент

$\wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}$ состоит из коэффициентов полиномиального разложения многочлена с m членами, возведенными в степень n :

$|x|^{n}=\sum _{|k|=n}{{\binom {n}{k}}x^{k}};\ \ x\in \mathbb {R} ^{m},\ k\in \mathbb {N} _{0}^{m},\ n\in \mathbb {N} _{0},\ m\in \mathbb {N}$

где $\textstyle |x|=\sum _{i=1}^{m}{x_{i}},\ |k|=\sum _{i=1}^{m}{k_{i}},\ x^{k}=\prod _{i=1}^{m}{x_{i}^{k_{i}}}$.

Пример для ⋀ ⁴

4-симплекс Паскаля (последовательность A189225 в OEIS ), разрезанный вдоль k ₄ . Все точки одного цвета принадлежат одному и тому же n -му компоненту: от красного (при n = 0 ) до синего (при n = 3 ).

Конкретно простой Паскаль

1-симплекс Паскаля

⁠ $\wedge$⁠ ¹ не известен под каким-либо особым названием.

n -й компонент

$\wedge _{n}^{1}=\vartriangle _{n}^{0}$ (точка) — это коэффициент полиномиального разложения многочлена с 1 членом, возведенным в степень n :

$(x_{1})^{n}=\sum _{k_{1}=n}{n \choose k_{1}}x_{1}^{k_{1}};\ \ k_{1},n\in \mathbb {N} _{0}$

Расположение $\vartriangle _{n}^{0}$

$\textstyle {n \choose n}$

что равно 1 для всех n .

2-симплекс Паскаля

$\wedge ^{2}$ известен как треугольник Паскаля (последовательность A007318 в OEIS ).

n -й компонент

$\wedge _{n}^{2}=\vartriangle _{n}^{1}$ (линия) состоит из коэффициентов биномиального разложения многочлена с двумя членами, возведенными в степень n :

$(x_{1}+x_{2})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}=n}{n \choose k_{1},k_{2}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}};\ \ k_{1},k_{2},n\in \mathbb {N} _{0}$

Расположение $\vartriangle _{n}^{1}$

$\textstyle {n \choose n,0},{n \choose n-1,1},\cdots ,{n \choose 1,n-1},{n \choose 0,n}$

3-симплекс Паскаля

$\wedge ^{3}$ известен как тетраэдр Паскаля (последовательность A046816 в OEIS ).

n -й компонент

$\wedge _{n}^{3}=\vartriangle _{n}^{2}$ (треугольник) состоит из коэффициентов трехчленного разложения многочлена с тремя членами, возведенными в степень n :

$(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=n}{n \choose k_{1},k_{2},k_{3}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x_{3}^{k_{3}};\ \ k_{1},k_{2},k_{3},n\in \mathbb {N} _{0}$

Расположение $\vartriangle _{n}^{2}$

${\begin{aligned}\textstyle {n \choose n,0,0}&,\textstyle {n \choose n-1,1,0},\cdots \cdots ,{n \choose 1,n-1,0},{n \choose 0,n,0}\\\textstyle {n \choose n-1,0,1}&,\textstyle {n \choose n-2,1,1},\cdots \cdots ,{n \choose 0,n-1,1}\\&\vdots \\\textstyle {n \choose 1,0,n-1}&,\textstyle {n \choose 0,1,n-1}\\\textstyle {n \choose 0,0,n}\end{aligned}}$

Характеристики

Наследование компонентов

$\wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}$ численно равна каждой ( m − 1) -грани ( m + 1 ) их $\vartriangle _{n}^{m}=\wedge _{n}^{m+1}$, или:

$\wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}\subset \ \vartriangle _{n}^{m}=\wedge _{n}^{m+1}$

Отсюда следует, что весь $\wedge ^{m}$ is ( m + 1) -раз входит в $\wedge ^{m+1}$, или:

$\wedge ^{m}\subset \wedge ^{m+1}$

Пример

	$\wedge ^{1}$	$\wedge ^{2}$	$\wedge ^{3}$	$\wedge ^{4}$
$\wedge _{0}^{m}$	1	1	1	1
$\wedge _{1}^{m}$	1	1 1	1 1 1	1 1 1 1
$\wedge _{2}^{m}$	1	1 2 1	1 2 1 2 2 1	1 2 1 2 2 1 2 2 2 1
$\wedge _{3}^{m}$	1	1 3 3 1	1 3 3 1 3 6 3 3 3 1	1 3 3 1 3 6 3 3 3 1 3 6 3 6 6 3 3 3 3 1

Дополнительные термины в приведенном выше массиве см. (последовательность A191358 в OEIS ).

Равенство субграней

Наоборот, $\wedge _{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{m}$ ( m + 1) -раз ограничен $\vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}$, или:

$\wedge _{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{m}\supset \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}$

Отсюда следует, что для данного n все i -грани численно равны в n )-симплексов Паскаля -х компонентах всех ( m > i , или:

$\wedge _{n}^{i+1}=\vartriangle _{n}^{i}\subset \vartriangle _{n}^{m>i}=\wedge _{n}^{m>i+1}$

Пример

Третья компонента (2-симплекс) 3-симплекса Паскаля ограничена тремя равными 1-гранями (прямыми). Каждая 1-грань (линия) ограничена двумя равными 0-гранями (вершинами):

2-simplex   1-faces of 2-simplex         0-faces of 1-face

 1 3 3 1    1 . . .  . . . 1  1 3 3 1    1 . . .   . . . 1
  3 6 3      3 . .    . . 3    . . .
   3 3        3 .      . 3      . .
    1          1        1        .

Кроме того, для всех m и всех n :

$1=\wedge _{n}^{1}=\vartriangle _{n}^{0}\subset \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}$

Количество коэффициентов

Для n -го компонента ( ( m - 1) -симплекса Паскаля -симплекса) m количество коэффициентов полиномиального разложения, из которых он состоит, определяется выражением:

${(n-1)+(m-1) \choose (m-1)}+{n+(m-2) \choose (m-2)}={n+(m-1) \choose (m-1)}=\left(\!\!{\binom {m}{n}}\!\!\right),$

(где последнее — обозначение множественного выбора ). Мы можем рассматривать это либо как сумму числа коэффициентов ( n - 1) -го компонента ( ( m - 1) -симплекса Паскаля -симплекса) m с количеством коэффициентов n -го компонента ( ( m - 2) -симплекса Паскаля -симплекс) ( m − 1) , или числом всех возможных разбиений n-й степени среди m показателей.

Пример

Число коэффициентов n -й компоненты ( ( m − 1) Паскаля -симплекса) m -симплекса

м-симплекс	n -й компонент	п = 0	п = 1	п = 2	п = 3	п = 4	п = 5
1-симплекс	0-симплекс	1	1	1	1	1	1
2-симплекс	1-симплекс	1	2	3	4	5	6
3-симплекс	2-симплекс	1	3	6	10	15	21
4-симплекс	3-симплекс	1	4	10	20	35	56
5-симплекс	4-симплекс	1	5	15	35	70	126
6-симплекс	5-симплекс	1	6	21	56	126	252

Члены этой таблицы представляют собой треугольник Паскаля в формате симметричной матрицы Паскаля .

Симметрия

n - я компонента ( ( m − 1) -симплекса Паскаля -симплекс) m обладает ( m !)-кратной пространственной симметрией.

Геометрия

Ортогональные оси k ₁ , ..., km _на в m -мерном пространстве, вершины компонента в точке n каждой оси, вершина в точке [0, ..., 0] для n = 0 .

Числовая конструкция

Обернутая n -я степень большого числа мгновенно дает n -ю компоненту симплекса Паскаля.

$\left|b^{dp}\right|^{n}=\sum _{|k|=n}{{\binom {n}{k}}b^{dp\cdot k}};\ \ b,d\in \mathbb {N} ,\ n\in \mathbb {N} _{0},\ k,p\in \mathbb {N} _{0}^{m},\ p:\ p_{1}=0,p_{i}=(n+1)^{i-2}$

где $\textstyle b^{dp}=(b^{dp_{1}},\cdots ,b^{dp_{m}})\in \mathbb {N} ^{m},\ p\cdot k={\sum _{i=1}^{m}{p_{i}k_{i}}}\in \mathbb {N} _{0}$.