Теорема о звезде Давида

Теорема Звезды *Давида* (здесь строки треугольника Паскаля показаны столбцами).

Теорема Звезды Давида — математический результат об арифметических свойствах биномиальных коэффициентов . Он был открыт Генри Гулдом в 1972 году.

Заявление

Наибольшие общие делители биномиальных коэффициентов, образующих каждый из двух треугольников формы Звезды Давида в треугольнике Паскаля, равны:

{\begin{aligned}&\gcd \left\{{\binom {n-1}{k-1}},{\binom {n}{k+1}},{\binom {n+1}{k}}\right\}\\[8pt]={}&\gcd \left\{{\binom {n-1}{k}},{\binom {n}{k-1}},{\binom {n+1}{k+1}}\right\}.\end{aligned}}

Примеры

Ряды 8, 9 и 10 треугольника Паскаля:

		1		8		28		56		70		56		28		8		1
	1		9		36		84		126		126		84		36		9		1
1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1

Для n =9, k =3 или n =9, k =6 элемент 84 окружен последовательно элементами 28, 56, 126, 210, 120, 36. Принимая чередующиеся значения, мы имеем gcd(28 , 126, 120) = 2 = НОД(56, 210, 36).

Элемент 36 окружен последовательностью 8, 28, 84, 120, 45, 9, и, принимая чередующиеся значения, имеем НОД(8, 84, 45) = 1 = НОД(28, 120, 9).

Обобщение

Вышеупомянутый наибольший общий делитель также равен $\gcd \left({n-1 \choose k-2},{n-1 \choose k-1},{n-1 \choose k},{n-1 \choose k+1}\right).$ ^[1] Таким образом, в приведенном выше примере для элемента 84 (в его крайнем правом появлении) мы также имеем gcd(70, 56, 28, 8) = 2. Этот результат, в свою очередь, имеет дальнейшие обобщения.

Связанные результаты

Два набора из трех чисел, которые, как утверждает теорема Звезды Давида, имеют равные наибольшие общие делители, также имеют равные произведения. ^[1] Например, снова наблюдая, что элемент 84 окружен последовательно элементами 28, 56, 126, 210, 120, 36, и снова принимая чередующиеся значения, мы имеем 28×126×120 = 2 ⁶×3 ³×5×7 ² = 56×210×36. Этот результат можно подтвердить, выписав каждый биномиальный коэффициент в факториальной форме, используя

{a \choose b}={\frac {a!}{(a-b)!b!}}.

См. также

Список факториальных и биномиальных тем

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о звезде Давида». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/StarofDavidTheorem.html

Х. В. Гулд, «Новое свойство наибольшего общего делителя биномиальных коэффициентов», Fibonacci Quarterly 10 (1972), 579–584.
Теорема о звезде Давида с сайта MathForum .
Теорема о звезде Давида , сообщение в блоге.

Внешние ссылки

Демонстрация теоремы о звезде Давида в системе Mathematica .

[Weisstein-1] Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о звезде Давида». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/StarofDavidTheorem.html

[1]