Полином Суиннертона-Дайера

В алгебре полиномы Суиннертона -Дайера представляют собой семейство полиномов, введенное Питером Суиннертоном-Дайером , которые служат примерами того, как алгоритмы полиномиальной факторизации имеют время выполнения в наихудшем случае. Они обладают свойством сокращаться по модулю каждого простого числа, но при этом неприводимы к рациональным числам. Они являются стандартным контрпримером в теории чисел .

Учитывая конечное множество $P$ простых чисел , полином Суиннертона-Дайера, связанный с $P$ полином: $$f_{P}(x)=\prod \left(x+\sum _{p\in P}(\pm ){\sqrt {p}}\right)$$где продукт распространяется на все $2^{|P|}$ выбор знака в прилагаемой сумме. Полином $f_{P}(x)$ имеет степень $2^{|P|}$ и целые коэффициенты, чередующиеся по знаку. Если $|P|>1$, затем $f_{P}(x)$ приводим по модулю $p$ для всех простых чисел $p$, на линейные и квадратичные факторы, но неприводимые по $\mathbb {Q}$. Группа Галуа ​ $f_{P}(x)$ является $\mathbb {Z} _{2}^{|P|}$.

Первые несколько полиномов Суиннертона-Дайера: $${\mathcal {P}}=\{2\}:\quad f_{P}(x)=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})=x^{2}-2$$$${\mathcal {P}}=\{2,3\}:\quad f_{P}(x)=(x-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(x-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})=x^{4}-10x^{2}+1$$$${\mathcal {P}}=\{2,3,5\}:\quad f_{P}(x)=x^{8}-20x^{6}+352x^{4}-960x^{2}+576.$$

Ссылки

• фон цур Гатен, Иоахим; Герхард, Юрген (апрель 2013 г.). Современная компьютерная алгебра (Третье изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  9781107039032 .
• Варди, I (1991), Вычислительные развлечения в Mathematica , Аддисон-Уэсли, стр. 225–226.
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Суиннертона-Дайера» . Математический мир .
• ОЭИС : A153731