Сопряженный элемент (теория поля)

В математике в частности в теории поля , сопряженные элементы или сопряжения алгебраического элемента $α$ над расширением поля $L / K$ являются корнями минимального полинома $pK алгебраические, α (x)$ от $α$ над $K.$ , Сопряженные элементы обычно называют сопряженными в контексте, где это не является двусмысленным. Обычно $α$ сам включается в набор сопряженных $α$ .

Эквивалентно, сопряжения $α$ являются образами $α$ при полевых автоморфизмах L $,$ которые оставляют фиксированными элементы $K$ . Эквивалентность двух определений является одной из отправных точек теории Галуа .

Понятие обобщает комплексное сопряжение , поскольку алгебраическое сопряжение над $\mathbb {R}$ комплексного числа — это само число и его комплексно-сопряженное число .

Пример

Кубические корни числа один :

{\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\[3pt]-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\[5pt]-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}

Последние два корня являются сопряженными элементами из $Q [i \sqrt 3]$ с минимальным полиномом

\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}=x^{2}+x+1.

Характеристики

Если K задано внутри замкнутого поля C , то сопряженные элементы можно взять внутри C. алгебраически Если такой C не указан, можно взять сопряжения в некотором относительно небольшом поле L . Наименьший возможный выбор для L взять поле расщепления над K из pK _{— это , α} , содержащее α . Если L — любое нормальное расширение K, содержащее α , то оно по определению уже содержит такое поле разложения.

Если тогда задано нормальное расширение L группы K с группой автоморфизмов Aut( L / K ) = G и содержащее α , любой элемент g ( α ) для g в G будет сопряжен с α , поскольку автоморфизм g отправляет корни p к корням p . Наоборот, любое сопряженное β к α имеет этот вид: другими словами, G действует транзитивно на сопряженных. Это следует из того, что K ( α ) K -изоморфно K ( β ) в силу неприводимости минимального полинома, и любой изоморфизм полей F и F ' , который отображает полином p в p ', может быть расширен до изоморфизма полей расщепления p над F и p ' над F ' соответственно.

Таким образом, сопряженные элементы α находятся в любом нормальном расширении L языка K , которое содержит K ( α ), как набор элементов g ( α ) для g в Aut( L / K ). Количество повторов в этом списке каждого элемента — это отделимая степень [ L : K ( α )] _sep .

Теорема Кронекера утверждает, что если α — ненулевое целое алгебраическое число такое, что α и все его сопряженные числа в комплексных числах имеют абсолютное значение не более 1, то α — корень из единицы . Существуют количественные формы этого, более точно устанавливающие границы (в зависимости от степени) наибольшего абсолютного значения сопряженного числа, которые подразумевают, что целое алгебраическое число является корнем из единицы.

Ссылки

Дэвид С. Даммит, Ричард М. Фут, Абстрактная алгебра , 3-е изд., Wiley, 2004.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Сопряженные элементы» . Математический мир .