Теорема о комплексном сопряженном корне

В математике теорема комплексно-сопряженном корне гласит, что если P — многочлен от одной переменной с действительными коэффициентами , а a + bi — корень P о с a и b действительными числами , то его комплексно-сопряженный элемент a − bi также является корнем П. ​

) следует Из этого (и основной теоремы алгебры , что если степень вещественного многочлена нечетна , он должен иметь хотя бы один вещественный корень. Этот факт также можно доказать , используя теорему о промежуточном значении .

Примеры и последствия

• Полином x ² + 1 = 0 имеет корни ± i .
• Любая действительная квадратная матрица нечетной степени имеет хотя бы одно действительное собственное значение . Например, если , то матрица ортогональна 1 или −1 является собственным значением.
• Полином

$x^{3}-7x^{2}+41x-87$

имеет корни

$3,\,2+5i,\,2-5i,$

и, таким образом, может быть расценено как

$(x-3)(x-2-5i)(x-2+5i).$

При вычислении произведения последних двух множителей мнимые части сокращаются, и мы получаем

$(x-3)(x^{2}-4x+29).$

Недействительные факторы входят в пары, которые при умножении дают квадратичные многочлены с действительными коэффициентами. Поскольку каждый многочлен с комплексными коэффициентами можно разложить на множители 1-й степени (это один из способов формулировки фундаментальной теоремы алгебры ), отсюда следует, что каждый многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители степени не выше 2: только 1-й степени. -степень и квадратичные коэффициенты.

• Если корни a + bi и a − bi , они образуют квадратичный

$x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2})$.

Если третий корень равен c , это становится

$(x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2}))(x-c)$

$=x^{3}+x^{2}(-2a-c)+x(2ac+a^{2}+b^{2})-c(a^{2}+b^{2})$.

Следствие о полиномах нечетной степени

следует Из настоящей теоремы и основной теоремы алгебры , что если степень вещественного многочлена нечетна, то он должен иметь хотя бы один вещественный корень.

Это можно доказать следующим образом.

• Поскольку невещественные комплексные корни бывают сопряженными парами, четное число ; их
• Но многочлен нечетной степени имеет нечетное число корней;
• Поэтому некоторые из них должны быть реальными.

Это требует некоторой осторожности при наличии нескольких корней ; но комплексный корень и сопряженный ему корень имеют одинаковую кратность (и эту лемму нетрудно доказать). Эту проблему также можно обойти, рассматривая только неприводимые полиномы ; любой действительный многочлен нечетной степени должен иметь неприводимый множитель нечетной степени, который (не имея кратных корней) должен иметь действительный корень согласно приведенным выше рассуждениям.

Это следствие также можно доказать непосредственно, используя теорему о промежуточном значении .

Доказательство

Одно из доказательств теоремы состоит в следующем:

Рассмотрим полином

$P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}$

где все реальны _r . Предположим, что некоторое комплексное число ζ является корнем P , то есть $P(\zeta )=0$. Необходимо показать, что

$P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=0$

также.

Если P ( ζ ) = 0, то

$a_{0}+a_{1}\zeta +a_{2}\zeta ^{2}+\cdots +a_{n}\zeta ^{n}=0$

который можно представить как

$\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}=0.$

Сейчас

$P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}$

и учитывая свойства комплексного сопряжения ,

$\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\overline {\zeta ^{r}}}=\sum _{r=0}^{n}{\overline {a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}.$

С

${\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {0}},$

отсюда следует, что

$\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}={\overline {0}}=0.$

То есть,

$P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=a_{0}+a_{1}{\overline {\zeta }}+a_{2}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{2}+\cdots +a_{n}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{n}=0.$

Обратите внимание, что это работает только потому , что a _r действительны, то есть ${\overline {a_{r}}}=a_{r}$. Если бы какой-либо из коэффициентов был недействительным, корни не обязательно находились бы в сопряженных парах.