Теорема Дирихле о единице

В математике принадлежащим теорема Дирихле о единице является основным результатом в алгебраической теории чисел, Питеру Густаву Лежену Дирихле . Он ранг группы единиц в кольце OK _K. целых чисел числового поля определяет алгебраических Регулятор — это положительное действительное число, которое определяет, насколько «плотны» юниты.

Утверждается, что группа единиц конечно порождена и имеет ранг (максимальное количество мультипликативно независимых элементов), равный

р знак равно р ₁ + р ₂ - 1

где r ₁ — количество действительных вложений , а r ₂ количество сопряженных пар комплексных вложений K — . Эта характеристика r ₁ и r ₂ основана на идее, что будет столько способов встроить K в поле комплексных чисел , сколько будет степень $n=[K:\mathbb {Q} ]$; это будут либо действительные числа , либо пары вложений, связанных комплексным сопряжением , так что

п знак равно р ₁ + 2 р ₂ .

Заметим, что если K галуа над $\mathbb {Q}$ тогда либо r ₁ = 0 , либо r ₂ = 0 .

Другими способами определения r ₁ и r ₂ являются

• используйте теорему о примитивном элементе, чтобы написать $K=\mathbb {Q} (\alpha )$, а затем r ₁ — число сопряжений α r вещественных , 2 — ₂ число комплексных; другими словами, если f — минимальный полином от α над $\mathbb {Q}$, то r ₁ — количество действительных корней, а 2r ₂ — количество невещественных комплексных корней f (которые входят в комплексно-сопряженные пары);
• напишите тензорное произведение полей $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ как продукт полей, имеется r ₁ экземпляров $\mathbb {R}$ и 2 _​ копии $\mathbb {C}$.

Например, если K — квадратичное поле , то ранг равен 1, если это действительное квадратичное поле, и 0, если это мнимое квадратичное поле. Теория действительных квадратичных полей по существу является теорией уравнения Пелля .

Ранг положителен для всех числовых полей, кроме $\mathbb {Q}$ и мнимые квадратичные поля, имеющие ранг 0. «Размер» единиц обычно измеряется определителем, называемым регулятором. В принципе, основу для единиц можно эффективно вычислить; на практике вычисления весьма сложны, когда n велико.

Кручением в группе единиц называется множество всех корней из единицы K , образующих конечную циклическую группу . Поэтому для числового поля хотя бы с одним действительным вложением кручение должно быть только {1,−1} . Существуют числовые поля, например большинство мнимых квадратичных полей , не имеющих вещественных вложений, которые также имеют {1,−1} для кручения своей единичной группы.

Полностью реальные поля являются особыми по отношению к единицам измерения. Если L / K — конечное расширение числовых полей степени больше 1 игруппы единиц целых чисел L и K имеют одинаковый ранг, тогда K вполне вещественен, а L — полностью комплексное квадратичное расширение. Обратное тоже справедливо. (Пример: K равен рациональным числам, а L равен мнимому квадратичному полю; оба имеют единичный ранг 0.)

Теорема применима не только к максимальному порядку OK _, любому порядку O ⊂ OK _{но и к} .

Существует обобщение теоремы о единице Гельмута Хассе (а позже Клода Шевалле ) для описания структуры группы S -единиц , определения ранга группы единиц в локализациях колец целых чисел. Кроме того, модуля Галуа структура $\mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ было определено.

Регулятор

Предположим, что K — числовое поле и $u_{1},\dots ,u_{r}$ представляют собой набор образующих группы из K единичной будет r + 1 архимедовых мест корней по модулю из единицы. В K , действительных или комплексных. Для $u\in K$, писать $u^{(1)},\dots ,u^{(r+1)}$ для различных вложений в $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ и установите N _j равным 1 или 2, если соответствующее вложение является вещественным или комплексным соответственно. Тогда r × ( r + 1) матрица размера

$$\left(N_{j}\log \left|u_{i}^{(j)}\right|\right)_{i=1,\dots ,r,\;j=1,\dots ,r+1}$$

обладает тем свойством, что сумма любой строки равна нулю (поскольку все единицы имеют норму 1, а лог нормы представляет собой сумму записей в строке). Это означает, что абсолютное значение R определителя подматрицы, образованной удалением одного столбца, не зависит от столбца. Число R называется регулятором поля алгебраических чисел (оно не зависит от выбора образующих ui ₎ . Он измеряет «плотность» юнитов: если регулятор маленький, это означает, что юнитов «много».

Регулятор имеет следующую геометрическую интерпретацию. Карта, переводящая единицу u в вектор с записями ${\textstyle N_{j}\log \left|u^{(j)}\right|}$ имеет образ в r -мерном подпространстве $\mathbb {R} ^{r+1}$ состоящий из всех векторов, сумма элементов которых равна 0, и по единичной теореме Дирихле образ представляет собой решетку в этом подпространстве. Объем фундаментальной области этой решетки равен $R{\sqrt {r+1}}$.

Регулятор поля алгебраических чисел степени больше 2 обычно довольно громоздок для вычисления, хотя сейчас существуют пакеты компьютерной алгебры, которые могут сделать это во многих случаях. Обычно гораздо проще вычислить произведение hR h номера класса и регулятора по формуле номера класса , а основная трудность при вычислении номера класса поля алгебраических чисел обычно заключается в вычислении регулятора.

Примеры

Фундаментальная область в логарифмическом пространстве группы единиц циклического кубического поля K, полученная присоединением к $\mathbb {Q}$ корень из f ( x ) = x ³ + х ² - 2 Икс - 1 . Если α обозначает корень f ( x ) , то набор фундаментальных единиц равен { ε ₁ , ε ₂ } , где ε ₁ = α ² + α − 1 и ε ₂ = 2 − α ² . Площадь фундаментального домена составляет примерно 0,910114, поэтому регулятор K составляет примерно 0,525455.

• Регулятор мнимого квадратичного поля или целых рациональных чисел равен 1 (поскольку определитель матрицы 0 × 0 равен 1).
• Регулятором действительного квадратичного поля является логарифм его основной единицы : например, $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ является ${\textstyle \log {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$. Это можно увидеть следующим образом. Фундаментальная единица – это ${\textstyle ({\sqrt {5}}+1)/2}$, и его изображения под двумя вложениями в $\mathbb {R}$ являются ${\textstyle ({\sqrt {5}}+1)/2}$ и ${\textstyle (-{\sqrt {5}}+1)/2}$. Таким образом, матрица размера r × ( r + 1) равна
  $$\left[1\times \log \left|{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|,\quad 1\times \log \left|{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|\ \right].$$
• Регулятор циклического кубического поля $\mathbb {Q} (\alpha )$, где α — корень x ³ + х ² − 2 x − 1 , составляет примерно 0,5255. Базисом группы единиц по модулю корней из единицы является { ε ₁ , ε ₂ } , где ε ₁ = α ² + α − 1 и ε ₂ = 2 − α ² .

Высшие регуляторы

«Высший» регулятор — это конструкция функции на алгебраической K -группе с индексом n > 1 , которая играет ту же роль, что и классический регулятор для группы единиц, которая представляет собой группу K ₁ . Теория таких регуляторов находилась в разработке благодаря работам Армана Бореля и других. Такие высшие регуляторы играют роль, например, в гипотезах Бейлинсона и, как ожидается, будут возникать при вычислении некоторых L -функций при целочисленных значениях аргумента. См. также регулятор Beilinson .

Регулятор Старка

Формулировка гипотез Старка привела Гарольда Старка к определению того, что сейчас называется регулятором Старка , аналогично классическому регулятору как определителю логарифмов единиц, присоединенному к любому представлению Артина .

р - т.е. регулятор

Пусть K — числовое поле и для каждого простого числа из K выше фиксированного рационального простого числа p пусть UP _P обозначает локальные единицы в P и пусть U _{1, P} обозначают подгруппу главных единиц в UP _{некоторого} . Набор

$$U_{1}=\prod _{P|p}U_{1,P}.$$

Тогда пусть E ₁ обозначает набор глобальных единиц ε , которые отображаются в U ₁ посредством диагонального вложения глобальных единиц в E .

Поскольку E ₁ является конечного индекса подгруппой глобальных единиц , она является абелевой группой ранга r ₁ + r ₂ − 1 . p - адический регулятор является определителем матрицы, образованной p -адическими логарифмами образующих этой группы. Гипотеза Леопольдта утверждает, что этот определитель отличен от нуля.

См. также

• Эллиптический блок
• Циклотомная единица
• Теорема Шинтани о единице

Ссылки

• Коэн, Анри (1993). Курс вычислительной алгебраической теории чисел . Тексты для аспирантов по математике . Том. 138. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-55640-4 . МР   1228206 . Збл   0786.11071 .
• Эльстродт, Юрген (2007). «Жизнь и творчество Густава Лежена Дирихле (1805–1859)» (PDF) . Клэй Труды по математике . Архивировано из оригинала (PDF) 22 мая 2021 г. Проверено 13 июня 2010 г.
• Ланг, Серж (1994). Алгебраическая теория чисел . Тексты для аспирантов по математике. Том. 110 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  0-387-94225-4 . Збл   0811.11001 .
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-65399-8 . МР   1697859 . Збл   0956.11021 .
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Основы математических наук , том. 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4 , МР   1737196 , Збл   0948.11001