Гипотезы Старка

В теории чисел гипотезы Штарка , выдвинутые Старком ( 1971 , 1975 , 1976 , 1980 ) и позднее расширенные Тейтом ( 1984 ), дают предположительной информацию о коэффициенте главного члена в разложении Тейлора L -функции Артина, ассоциированной с расширением Галуа K / k полей алгебраических чисел . Гипотезы обобщают формулу числа аналитических классов, выражающую старший коэффициент ряда Тейлора для дзета-функции Дедекинда числового поля как произведение регулятора, связанного с S-единицами поля, и рационального числа .

Когда K / k является абелевым расширением и порядок исчезновения L-функции при s = 0 равен единице, Старк дал уточнение своей гипотезы, предсказав существование определенных S-единиц, называемых единицами Штарка , которые порождают абелевы расширения. числовых полей.

Формулировка

Общий случай

Гипотезы Штарка в наиболее общей форме предсказывают, что старший коэффициент L-функции Артина является произведением типа регулятора, регулятора Штарка , на алгебраическое число .

Абелев случай первого ранга

Когда расширение является абелевым и порядок исчезновения L-функции при s = 0 равен единице, уточненная гипотеза Штарка предсказывает существование штарковских единиц , корни которых порождают куммеровы расширения K , абелевы над базовым полем k (а не просто абелева над K , как это следует из теории Куммера). Таким образом, это уточнение его гипотезы имеет теоретическое значение для решения двенадцатой проблемы Гильберта .

Вычисление

Штарковские единицы в абелевом случае первого ранга были вычислены на конкретных примерах, что позволило проверить достоверность его уточненной гипотезы. Они также предоставляют важный вычислительный инструмент для создания абелевых расширений числовых полей, формируя основу для некоторых стандартных алгоритмов вычисления абелевых расширений числовых полей.

Первые случаи нулевого ранга используются в последних версиях системы компьютерной алгебры PARI/GP для вычисления полей классов Гильберта полей полностью действительных чисел, и эти гипотезы обеспечивают одно решение двенадцатой проблемы Гильберта, которая поставила перед математиками задачу показать, как поля классов могут быть построено над любым числовым полем методами комплексного анализа .

Прогресс

Основная гипотеза Старка была доказана в нескольких особых случаях, например, когда характер, определяющий L -функцию, принимает только рациональные значения. За исключением случаев, когда базовым полем является поле рациональных чисел или мнимое квадратичное поле , которые были освещены в работе Старка, абелева гипотеза Штарка для числовых полей до сих пор не доказана. Больший прогресс был достигнут в функциональных полях алгебраического многообразия .

Манин ( 2004 ) связал гипотезы Старка с некоммутативной геометрией Алена Конна . Это обеспечивает концептуальную основу для изучения гипотез, хотя на данный момент неясно, дадут ли методы Манина фактическое доказательство.

Вариации

В 1980 году Бенедикт Гросс сформулировал гипотезу Гросса-Старка , p -адический аналог гипотез Штарка, связывающий производные Делиня-Рибе p -адических L -функций (для вполне четных характеров полностью вещественных числовых полей ) с p -единицами. Это условно доказали Анри Дармон , Самит Дасгупта и Роберт Поллак в 2011 году. Доказательство было завершено и сделано безоговорочным Дасгуптой, Махешем Какде и Кевином Вентулло в 2018 году. Дальнейшее уточнение p -адической гипотезы было предложено Гроссом в 1988 году.

В 1984 году Джон Тейт сформулировал гипотезу Брумера-Старка , которая дает уточнение абелевой гипотезы Штарка первого ранга для полностью расщепляемых конечных простых чисел (для полностью комплексных расширений полностью вещественных базовых полей). Аналог функционального поля гипотезы Брумера-Старка был доказан Джоном Тейтом и Пьером Делинем в 1984 году. В 2023 году Дасгупта и Какде доказали гипотезу Брумера-Старка вдали от простого числа 2.

В 1996 году Карл Рубин предложил интегральное уточнение гипотезы Штарка в абелевом случае. В 1999 году Кристиан Думитру Попеску предложил аналог гипотезы Рубина функционального поля и доказал его в некоторых случаях.

Ссылки

• Бернс, Дэвид; Сэндс, Джонатан; Соломон, Дэвид, ред. (2004), Гипотезы Старка: последние работы и новые направления , Современная математика, вып. 358, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , номер документа : 10.1090/conm/358 , ISBN.  978-0-8218-3480-0 , MR   2090725 , заархивировано из оригинала 26 апреля 2012 г.
• Манин, Юрий Иванович (2004), «Вещественное умножение и некоммутативная геометрия (ein Alterstraum)», в Пиене, Рагни; Лаудал, Олав Арнфинн (ред.), Наследие Нильса Хенрика Абеля , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 685–727, arXiv : math/0202109 , Bibcode : 2002math......2109M , ISBN  978-3-540-43826-7 , МР   2077591
• Попеску, Кристиан Д. (1999), «Об уточненной гипотезе Штарка для функциональных полей», Compositio Mathematica , 116 (3): 321–367, doi : 10.1023/A:1000833610462 , ISSN   0010-437X , MR   1691163
• Рубин, Карл (1996), «Гипотеза Штарка относительно Z для абелевых L-функций с кратными нулями» , Annales de l'Institut Fourier , 46 (1): 33–62, doi : 10.5802/aif.1505 , ISSN   0373- 0956 , МР   1385509
• Старк, Гарольд М. (1971), «Значения L-функций при s = 1. I. L-функции для квадратичных форм», « Успехи в математике» , 7 (3): 301–343, doi : 10.1016/S0001- 8708(71)80009-9 , ISSN   0001-8708 , МР   0289429
• Старк, Гарольд М. (1975), «L-функции при s = 1. II. L-функции Артина с рациональными характерами», Advances in Mathematics , 17 (1): 60–92, doi : 10.1016/0001-8708( 75)90087-0 , ISSN   0001-8708 , МР   0382194
• Старк, Х.М. (1977), «Поля классов и модульные формы с весом один», в Серре, Жан-Пьер ; Загер, Д.Б. (ред.), Модульные функции одной переменной V: Материалы международной конференции, Боннский университет, Sonderforschungsbereich Theoretische Mathematik, июль 1976 г. , Конспекты лекций по математике, том. 601, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 277–287, doi : 10.1007/BFb0063951 , ISBN.  978-3-540-08348-1 , МР   0450243
• Старк, Гарольд М. (1976), «L-функции при s = 1. III. Полностью вещественные поля и двенадцатая проблема Гильберта», Advance in Mathematics , 22 (1): 64–84, doi : 10.1016/0001-8708( 76)90138-9 , ISSN   0001-8708 , МР   0437501
• Старк, Гарольд М. (1980), «L-функции при s = 1. IV. Первые производные при s = 0», Advance in Mathematics , 35 (3): 197–235, doi : 10.1016/0001-8708 (80 )90049-3 , ISSN   0001-8708 , MR   0563924
• Тейт, Джон (1984), «Гипотезы Старка о L-функциях Артина при s = 0» , Математическое программирование , Progress in Mathematics, 47 (1–3), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston: 143–153, doi : 10.1007/BF01580857 , ISBN  978-0-8176-3188-8 , МР   0782485 , S2CID   13291194

Внешние ссылки

• Хейс, Дэвид Р. (1999), Лекции по гипотезам Старка , заархивировано из оригинала 4 февраля 2012 г. {{citation}}: CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка )