Кубическое поле

В математике , особенно в области теории алгебраических чисел , кубическое поле — это поле алгебраических чисел степени третьей .

Определение

Если K — поле расширения рациональных чисел Q степени K [ . : Q ] = 3, то называется кубическим полем K Любое такое поле изоморфно полю вида

\mathbf {Q} [x]/(f(x))

где f — неприводимый кубический с коэффициентами из Q. многочлен Если f имеет три вещественных корня , то K называется вполне вещественным кубическим полем и является примером вполне вещественного поля . Если, с другой стороны, f имеет невещественный корень, то K называется комплексным кубическим полем .

Кубическое поле K называется циклическим кубическим полем , если оно содержит все три корня порождающего многочлена f . Эквивалентно, K является циклическим кубическим полем, если оно является расширением Галуа поля Q , и в этом случае его группа Галуа над Q является циклической третьего порядка . Это может произойти только в том случае, если К полностью реален. Это редкое явление в том смысле, что если набор кубических полей упорядочен дискриминантом , то доля циклических кубических полей приближается к нулю, поскольку граница дискриминанта приближается к бесконечности. ^[1]

Кубическое поле называется чистым кубическим полем , если его можно получить присоединением вещественного кубического корня. ${\sqrt[{3}]{n}}$ положительного целого числа без кубов n в поле рациональных чисел Q . Такие поля всегда являются комплексными кубическими полями, поскольку каждое положительное число имеет два комплексных невещественных кубических корня.

Примеры

Присоединение действительного кубического корня из 2 к рациональным числам дает кубическое поле $\mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ . Это пример чистого кубического поля и, следовательно, комплексного кубического поля. Фактически из всех чистых кубических полей оно имеет наименьший дискриминант (по абсолютной величине ), а именно -108. ^[2]
Комплексное кубическое поле, полученное присоединением к Q корня из x ³ + х ² − 1 не является чистым. Он имеет наименьший дискриминант (по абсолютной величине) из всех кубических полей, а именно -23. ^[3]
Присоединение к корню x ³ + х ² − 2 x − 1 в Q дает циклическое кубическое поле и, следовательно, вполне вещественное кубическое поле. Оно имеет наименьший дискриминант из всех вполне вещественных кубических полей, а именно 49. ^[4]
Поле, полученное присоединением к Q корня x ³ + х ² − 3 x − 1 является примером вполне вещественного кубического поля, которое не является циклическим. Его дискриминант равен 148, это наименьший дискриминант нециклического полностью вещественного кубического поля. ^[5]
Никакие круговые поля не являются кубическими, поскольку степень кругового поля равна φ( n ), где φ — функция тотента Эйлера , которая принимает только четные значения, за исключением φ(1) = φ(2) = 1.

Замыкание Галуа

Циклическое кубическое поле K представляет собой собственное замыкание Галуа с группой Галуа Gal( K / Q ), изоморфной циклической группе третьего порядка. Однако любое другое кубическое поле K является не-Галуа расширением Q и имеет расширение поля N степени два в качестве замыкания Галуа. Группа Галуа Gal( N / Q ) изоморфна симметрической группе S3 _{по трем буквам} .

Связанное квадратичное поле

Дискриминант кубического поля K однозначно можно записать как df ² где d — фундаментальный дискриминант . Тогда K является циклическим тогда и только тогда, когда = 1, и в этом случае единственным подполем K Q. является d само Если d ≠ 1, то замыкание Галуа N поля K содержит единственное квадратичное поле k, дискриминант которого равен d (в случае d = 1 подполе Q иногда рассматривается как «вырожденное» квадратичное поле дискриминанта 1). Проводником f N над k является а , f ² является дискриминантом N K над . относительным Дискриминант N равен d ³ж ⁴. ^[6]^[7]

Поле K является чисто кубическим полем тогда и только тогда, когда d = −3. Это тот случай, когда квадратичное поле, содержащееся в замыкании Галуа K, является круговым полем кубических корней из единицы . ^[7]

Дискриминант

Поскольку знак дискриминанта числового поля K равен (−1) ^{год ₂}, где r ₂ — число пар сопряженных комплексных вложений K в C , дискриминант кубического поля будет положительным именно тогда, когда поле полностью вещественное, и отрицательным, если это комплексное кубическое поле.

Для некоторого вещественного числа N > 0 существует лишь конечное число кубических полей K, дискриминант D _K которых удовлетворяет условию | Д _К | ≤ Н. ^[9] Известны формулы, вычисляющие разложение D _K на простые числа , поэтому его можно вычислить явно. ^[10]

В отличие от квадратичных полей, несколько неизоморфных кубических полей K ₁ , ..., K _m могут иметь один и тот же дискриминант D . Число m этих полей называется кратностью ^[11] дискриминанта D . Некоторые небольшие примеры: m = 2 для D = -1836, 3969, m = 3 для D = -1228, 22356, m = 4 для D = -3299, 32009 и m = 6 для D = -70956, 3054132.

Любое кубическое поле K будет иметь вид K = Q (θ) для некоторого числа θ, являющегося корнем неприводимого многочлена.

f(X)=X^{3}-aX+b

где a и b — целые числа. Дискриминант равен f ∆ = 4 a ³ − 27 б ². Обозначая дискриминант K через D , индекс i (θ) θ затем определяется как Δ = i (θ) ²Д.

В случае нециклического кубического поля K эту формулу индекса можно объединить с формулой проводника D = f ²d, чтобы получить разложение полиномиального дискриминанта Δ = i (θ) ²ж ²d в квадрат произведения i (θ) f и дискриминанта d квадратичного поля k, связанного с кубическим полем K , где d бесквадратен с точностью до возможного множителя 2 ² или 2 ³. Георгий Вороной дал способ разделения i (θ) и f в квадратной части Δ. ^[12]

Изучение количества кубических полей, дискриминант которых меньше заданной границы, является актуальным направлением исследований. Пусть N ⁺( X ) (соответственно N ⁻( X )) обозначают количество вполне вещественных (соответственно комплексных) кубических полей, дискриминант которых ограничен X по абсолютной величине. В начале 1970-х годов Гарольд Давенпорт и Ханс Хейлбронн определили первый член асимптотического поведения N ^±( X ) (т.е. когда X стремится к бесконечности). ^[13]^[14] Посредством анализа остатка дзета - функции Шинтани в сочетании с изучением таблиц кубических полей, составленных Каримом Белабасом ( Белабас 1997 ), и некоторых эвристик , Дэвид П. Робертс предположил более точную асимптотическую формулу: ^[15]

N^{\pm }(X)\sim {\frac {A_{\pm }}{12\zeta (3)}}X+{\frac {4\zeta ({\frac {1}{3}})B_{\pm }}{5\Gamma ({\frac {2}{3}})^{3}\zeta ({\frac {5}{3}})}}X^{\frac {5}{6}}

где A _± = 1 или 3, B _± = 1 или ${\sqrt {3}}$ , в соответствии с полностью вещественным или комплексным случаем, ζ( s ) — это дзета-функция Римана , а Γ( s ) — это гамма-функция . Доказательства этой формулы были опубликованы Бхаргавой, Шанкаром и Цимерманом (2013) с использованием методов, основанных на более ранней работе Бхаргавы, а также Танигучи и Торном (2013) на основе дзета-функции Шинтани.

Группа единиц

Согласно теореме Дирихле о единице без кручения , единичный ранг r поля алгебраических чисел K с r ₁ действительными вложениями и r ₂ парами сопряженных комплексных вложений определяется по формуле r = r ₁ + r ₂ − 1. Следовательно, вполне вещественное кубическое поле K с r ₁ = 3, r ₂ = 0 имеет две независимые единицы ε ₁ , ε ₂ , а комплексное кубическое поле K с r ₁ = r ₂ = 1 имеет одну фундаментальную единицу ε ₁ . Эти фундаментальные системы единиц могут быть рассчитаны с помощью обобщенных цепной дроби алгоритмов Вороного : ^[16] которые были геометрически интерпретированы Делоне и Фаддеевым . ^[17]

Примечания

^ Харви Кон вычислил асимптотику числа циклических кубических полей ( Кон 1954 ), а Гарольд Давенпорт и Ханс Хейлбронн вычислили асимптотику для всех кубических полей ( Давенпорт и Хейлбронн 1971 ).
^ Коэн 1993 , §B.3 содержит таблицу комплексных кубических полей.
^ Коэн 1993 , §B.3
^ Коэн 1993 , §B.4 содержит таблицу полностью действительных кубических полей и указывает, какие из них являются циклическими.
^ Коэн 1993 , §B.4
^ Хассе 1930 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Коэн 1993 , §6.4.5
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Точные значения были вычислены Мишелем Оливье и доступны по адресу [1] . Асимптотика первого порядка принадлежит Гарольду Давенпорту и Гансу Хейлбронну ( Davenport & Heilbronn, 1971 ). Член второго порядка был выдвинут Дэвидом П. Робертсом ( Roberts 2001 ), а доказательство было опубликовано Манджулом Бхаргавой , Арулом Шанкаром и Джейкобом Цимерманом ( Bhargava, Shankar & Tsimerman 2013 ).
^ Х. Минковский , Диофантовые приближения , глава 4, §5.
^ Льоренте, П.; Нарт, Э. (1983). «Эффективное определение разложения рациональных простых чисел в кубическом поле» . Труды Американского математического общества . 87 (4): 579–585. дои : 10.1090/S0002-9939-1983-0687621-6 .
^ Майер, округ Колумбия (1992). «Кратности двугранных дискриминантов» . Математика. Комп. 58 (198): 831–847 и S55–S58. Бибкод : 1992MaCom..58..831M . дои : 10.1090/S0025-5718-1992-1122071-3 .
^ Г. Ф. Вороной, О целых алгебраических числах, выводимых из корня уравнения третьей степени , Магистерская диссертация, Санкт-Петербург, 1894 (рус.).
^ Давенпорт и Хайльбронн, 1971 г.
^ Их работу также можно интерпретировать как вычисление среднего размера 3-торсионной части группы классов квадратичного поля и, таким образом, представляет собой один из немногих доказанных случаев гипотез Коэна – Ленстры : см., например, Бхаргава, Манджул ; Варма, Ила (2014), Среднее число 3-крученных элементов в группах классов и идеальных группах квадратичных порядков , arXiv : 1401.5875 , Bibcode : 2014arXiv1401.5875B , Эта теорема [Давенпорта и Хейльбронна] дает единственные два доказанных случая эвристик Коэна-Ленстры для групп классов квадратичных полей.
^ Робертс 2001 , Гипотеза 3.1.
^ Вороной, Г. Ф. (1896). Об обобщении алгоритма цепных дробей . Варшава: Докторская диссертация.
^ Делоне, Б.Н.; Фаддеев, Д.К. (1964). Теория иррациональностей третьей степени . Переводы математических монографий. Том. 10. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.

Ссылки

Шабан Аладжа, Кеннет С. Уильямс, Вводная алгебраическая теория чисел , Cambridge University Press , 2004.
Белабас, Карим (1997), «Быстрый алгоритм вычисления кубических полей», Mathematics of Computation , 66 (219): 1213–1237, doi : 10.1090/s0025-5718-97-00846-6 , MR 1415795
Bhargava, Манджул ; Шанкар, Арул; Цимерман, Джейкоб (2013), «О теореме Давенпорта – Хейльбронна и членах второго порядка», Inventiones Mathematicae , 193 (2): 439–499, arXiv : 1005.0672 , Bibcode : 2013InMat.193..439B , doi : 10.1007/s00222 -012-0433-0 , МР 3090184 , С2КИД 253738365
Коэн, Анри (1993), Курс вычислительной алгебраической теории чисел , Тексты для аспирантов по математике, том. 138, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-55640-4 , МР 1228206
Кон, Харви (1954), «Плотность абелевых кубических полей», Труды Американского математического общества , 5 (3): 476–477, doi : 10.2307/2031963 , JSTOR 2031963 , MR 0064076
Давенпорт, Гарольд ; Хейлбронн, Ганс (1971), «О плотности дискриминантов кубических полей. II», Proceedings of the Royal Society A , 322 (1551): 405–420, Бибкод : 1971RSPSA.322..405D , doi : 10.1098/rspa .1971.0075 , МР 0491593 , S2CID 122814162
Хассе, Хельмут (1930), «Арифметическая теория полей кубических чисел, основанная на теории полей классов», Mathematical Journal (на немецком языке), 31 (1): 565–582, doi : 10.1007/BF01246435 , S2CID 121649559
Робертс, Дэвид П. (2001), «Плотность дискриминантов кубического поля», Mathematics of Computation , 70 (236): 1699–1705, arXiv : math/9904190 , doi : 10.1090/s0025-5718-00-01291-6 , МР 1836927 , S2CID 7524750
Танигучи, Такаши; Торн, Франк (2013), «Вторичные члены в счетных функциях для кубических полей», Duke Mathematical Journal , 162 (13): 2451–2508, arXiv : 1102.2914 , doi : 10.1215/00127094-2371752 , MR 3127806 , S2CID 164632 50

Внешние ссылки

СМИ, связанные с кубическим полем, на Викискладе?

[1] Харви Кон вычислил асимптотику числа циклических кубических полей ( Кон 1954 ), а Гарольд Давенпорт и Ханс Хейлбронн вычислили асимптотику для всех кубических полей ( Давенпорт и Хейлбронн 1971 ).

[2] Коэн 1993 , §B.3 содержит таблицу комплексных кубических полей.

[3] Коэн 1993 , §B.3

[4] Коэн 1993 , §B.4 содержит таблицу полностью действительных кубических полей и указывает, какие из них являются циклическими.

[5] Коэн 1993 , §B.4

[6] Хассе 1930 г.

[Cohen_1993_loc=§6.4.5-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Коэн 1993 , §6.4.5

[discdata-8] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Точные значения были вычислены Мишелем Оливье и доступны по адресу [1] . Асимптотика первого порядка принадлежит Гарольду Давенпорту и Гансу Хейлбронну ( Davenport & Heilbronn, 1971 ). Член второго порядка был выдвинут Дэвидом П. Робертсом ( Roberts 2001 ), а доказательство было опубликовано Манджулом Бхаргавой , Арулом Шанкаром и Джейкобом Цимерманом ( Bhargava, Shankar & Tsimerman 2013 ).

[9] Х. Минковский , Диофантовые приближения , глава 4, §5.

[10] Льоренте, П.; Нарт, Э. (1983). «Эффективное определение разложения рациональных простых чисел в кубическом поле» . Труды Американского математического общества . 87 (4): 579–585. дои : 10.1090/S0002-9939-1983-0687621-6 .

[11] Майер, округ Колумбия (1992). «Кратности двугранных дискриминантов» . Математика. Комп. 58 (198): 831–847 и S55–S58. Бибкод : 1992MaCom..58..831M . дои : 10.1090/S0025-5718-1992-1122071-3 .

[12] Г. Ф. Вороной, О целых алгебраических числах, выводимых из корня уравнения третьей степени , Магистерская диссертация, Санкт-Петербург, 1894 (рус.).

[13] Давенпорт и Хайльбронн, 1971 г.

[14] Их работу также можно интерпретировать как вычисление среднего размера 3-торсионной части группы классов квадратичного поля и, таким образом, представляет собой один из немногих доказанных случаев гипотез Коэна – Ленстры : см., например, Бхаргава, Манджул ; Варма, Ила (2014), Среднее число 3-крученных элементов в группах классов и идеальных группах квадратичных порядков , arXiv : 1401.5875 , Bibcode : 2014arXiv1401.5875B , Эта теорема [Давенпорта и Хейльбронна] дает единственные два доказанных случая эвристик Коэна-Ленстры для групп классов квадратичных полей.

[15] Робертс 2001 , Гипотеза 3.1.

[16] Вороной, Г. Ф. (1896). Об обобщении алгоритма цепных дробей . Варшава: Докторская диссертация.

[17] Делоне, Б.Н.; Фаддеев, Д.К. (1964). Теория иррациональностей третьей степени . Переводы математических монографий. Том. 10. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]