S -единица

В математике , в области теории алгебраических чисел , S -единица обобщает идею единицы кольца целых полей. Многие результаты, справедливые для единиц, справедливы и для S -единиц.

Определение

Пусть K — числовое поле с кольцом целых R. чисел Пусть S — конечное множество простых R идеалов . Элемент x из K является S -единицей, если главный дробный идеал ( x ) является произведением простых чисел в S (в положительные или отрицательные степени). Для кольца целых рациональных чисел Z можно взять S как конечный набор простых чисел и определить S -единицу как рациональное число , числитель и знаменатель которого делятся только на простые числа из S .

Характеристики

S - единицы образуют мультипликативную группу, единицы R. содержащую

Теорема Дирихле о единице справедлива для S -единиц: группа S -единиц конечно порождена , с рангом (максимальным числом мультипликативно независимых элементов), равным r + s , где r — ранг единичной группы и s = | С |.

Уравнение S-единицы

Уравнение S -единицы представляет собой диофантово уравнение.

u + v = 1

где u и v ограничены тем, что они являются S -единицами K (или, в более общем смысле, элементами конечно порожденной подгруппы мультипликативной группы любого поля нулевой характеристики). Число решений этого уравнения конечно ^[1] и решения эффективно определяются с использованием оценок для линейных форм в логарифмах , разработанных в теории трансцендентных чисел . Множество диофантовых уравнений в принципе сводятся к некоторой форме S -единичного уравнения: ярким примером является теорема Зигеля о целых точках на эллиптических кривых и, в более общем смысле, суперэллиптических кривых формы y. ^н знак равно ж ( Икс ).

Вычислительный решатель для уравнения с S -единицей доступен в программном обеспечении SageMath . ^[2]

Ссылки

^ Бойкерс, Ф.; Шликкевей, Х. (1996). «Уравнение x+y=1 в конечно порожденных группах» . Акта Арифметика . 78 (2): 189–199. дои : 10.4064/aa-78-2-189-199 . ISSN 0065-1036 .
^ «Решение уравнения с единицей S x + y = 1 — Справочное руководство Sage v8.7: Алгебраические числа и числовые поля» . doc.sagemath.org . Проверено 16 апреля 2019 г.

Эверест, Грэм; ван дер Портен, Альф ; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003). Повторяющиеся последовательности . Математические обзоры и монографии. Том. 104. Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество . стр. 19–22. ISBN 0-8218-3387-1 . Збл 1033.11006 .
Ланг, Серж (1978). Эллиптические кривые: Диофантов анализ . Основные принципы математических наук. Том 231. Шпрингер-Верлаг . стр. 128–153. ISBN 3-540-08489-4 .
Ланг, Серж (1986). Алгебраическая теория чисел . Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-94225-4 . Глава. В.
Смарт, Найджел (1998). Алгоритмическое разрешение диофантовых уравнений . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 41. Издательство Кембриджского университета . Глава. 9 . ISBN 0-521-64156-Х .
Нойкирх, Юрген (1986). Теория полей классов . Основные принципы математических наук. Том 280. Шпрингер-Верлаг . стр. 72–73. ISBN 3-540-15251-2 .

Дальнейшее чтение

Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. Том. 9. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-88268-2 .
Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. Том. 4. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-71229-3 . Збл 1130.11034 .

[1] Бойкерс, Ф.; Шликкевей, Х. (1996). «Уравнение x+y=1 в конечно порожденных группах» . Акта Арифметика . 78 (2): 189–199. дои : 10.4064/aa-78-2-189-199 . ISSN 0065-1036 .

[2] «Решение уравнения с единицей S x + y = 1 — Справочное руководство Sage v8.7: Алгебраические числа и числовые поля» . doc.sagemath.org . Проверено 16 апреля 2019 г.

[1]

[2]