Минор (линейная алгебра)

Эта статья о концепции линейной алгебры. О понятии «минор» в теории графов см. Graphminor .

В линейной алгебре минор . матрицы A A — это определитель некоторой меньшей квадратной матрицы , вырезанной из путем удаления одной или нескольких ее строк и столбцов Миноры, полученные удалением всего одной строки и одного столбца из квадратных матриц ( первые миноры ), необходимы для вычисления сомножителей матрицы , которые, в свою очередь, полезны для вычисления как определителя, так и обратного значения квадратных матриц. Требование, чтобы квадратная матрица была меньше исходной, в определении часто опускается.

Определение и иллюстрация

Первые несовершеннолетние

Если A — квадратная матрица, то минор записи в i -й строке и j -м столбце (также называемый ( i , j ) минором или первым минором ) — определитель подматрицы , образованной удалением i- й строки и j -го столбца. Это число часто обозначается Mi _,j . ( i , j ) Кофактор получается путем умножения минора на $(-1)^{i+j}$.

Чтобы проиллюстрировать эти определения, рассмотрим следующую матрицу 3 на 3:

${\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}$

Чтобы вычислить минор M _2,3 и кофактор C _2,3 , мы находим определитель приведенной выше матрицы с удаленными строкой 2 и столбцом 3.

$M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13$

Таким образом, кофактор записи (2,3) равен

$\ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.$

Общее определение

Пусть A — матрица размера m × n , а k — целое число с 0 < k ≤ m и k ≤ n . A k × k минор A A , также называемый младшим определителем порядка k или A , если m = n , ( n - k ) минорным определителем ( -м слово «определитель» часто опускается, а слово «степень» иногда используется вместо «порядок») — это определитель матрицы размера k × k , полученной из A удалением m − k строк и n — k столбцов. Иногда этот термин используется для обозначения матрицы k × k , полученной из A , как указано выше (путем удаления m - k строк и n - k столбцов), но эту матрицу следует называть (квадратной) подматрицей A , оставляя термин «второстепенный» относится к определителю этой матрицы. Для матрицы A , как указано выше, всего существует ${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$ миноры размера k × k . Минор нулевого порядка часто определяется равным 1. Для квадратной матрицы нулевой минор является просто определителем матрицы.

Позволять $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m$ и $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n$ Будучи упорядоченными последовательностями (в естественном порядке, как всегда предполагается, когда речь идет о минорах, если не указано иное) индексов, назовем их I и J соответственно. Несовершеннолетний ${\textstyle \det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$ соответствующий такому выбору индексов, обозначается $\det _{I,J}A$ или $\det A_{I,J}$ или $[A]_{I,J}$ или $M_{I,J}$ или $M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}$ или $M_{(i),(j)}$ (где $(i)$ обозначает последовательность индексов I и т. д.), в зависимости от источника. Также в литературе используются два типа обозначений: минорные, связанные с упорядоченными последовательностями индексов I и J , некоторые авторы означают определитель матрицы, которая формируется, как указано выше, путем взятия элементов исходной матрицы из строк, индексы которых находятся в I, и столбцов, индексы которых находятся в J , тогда как некоторые другие авторы подразумевают под минором, связанным с I и J , определитель матрицы, сформированной из исходной матрицы путем удаления строк в и столбцов в J. I Какие обозначения используются, всегда следует проверять по соответствующему источнику. В этой статье мы используем инклюзивное определение выбора элементов из строк I и столбцов J . Исключительным случаем является случай первого минора или ( i , j )-минор, описанный выше; в этом случае исключительное значение ${\textstyle M_{i,j}=\det \left(\left(A_{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)}$ является стандартным во всей литературе и используется также в этой статье.

Дополнить

Дополнение B _{ijk...,pqr...} минора M _{ijk...,pqr...} квадратной матрицы A формируется определителем матрицы A, из которого все строки ( ijk... ) и столбцы ( pqr... ), связанные с M _{ijk...,pqr...,} были удалены. Дополнением первого минора элемента a _ij является просто этот элемент.

Применение миноров и кофакторов

Кофакторное разложение определителя

Основная статья: расширение Лапласа

Кофакторы занимают видное место в формуле Лапласа для разложения определителей, которая представляет собой метод вычисления больших определителей через меньшие. Учитывая размера n × n матрицу $A=(a_{ij})$, определитель A , обозначаемый det( A ), может быть записан как сумма сомножителей любой строки или столбца матрицы, умноженная на элементы, которые их породили. Другими словами, определение $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ тогда разложение кофактора по j -му столбцу дает:

$\ \det(\mathbf {A} )=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$

Разложение кофактора по i- й строке дает:

$\ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$

Обратная матрица

Основная статья: Обратимая матрица

Можно записать обратную обратимую матрицу , вычислив ее сомножители с помощью правила Крамера следующим образом. Матрица, образованная всеми сомножителями квадратной матрицы A, называется матрицей сомножителей (также называемой матрицей сомножителей или, иногда, коматрицей ):

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$

Тогда инверсия A представляет собой транспонирование матрицы-сомножителя, умноженное на обратную величину определителя A :

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.$

Транспонирование матрицы-сомножителя называется сопряженной матрицей (также называемой классическим сопряженным ) A. матрицы

Приведенную выше формулу можно обобщить следующим образом: Пусть $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n$ и $1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n$ — упорядоченные последовательности (в естественном порядке) индексов (здесь A — матрица размера n × n ). Затем

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},$

где I' , J' обозначают упорядоченные последовательности индексов (индексы имеют естественный порядок величины, как указано выше), дополнительные к I , J , так что каждый индекс 1,..., n появляется ровно один раз либо в I , либо в I. ′ , но не в обоих (аналогично для J и J′ ) и $[\mathbf {A} ]_{I,J}$ обозначает определитель подматрицы A, образованной путем выбора строк набора индексов I и столбцов набора индексов J . Также, $[\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)$. Простое доказательство можно дать, используя произведение клина. Действительно,

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},$

где $e_{1},\ldots ,e_{n}$ являются базисными векторами. Действуя по А с обеих сторон, получим

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).$

Знак можно разработать так, чтобы он был $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$, поэтому знак определяется суммами элементов в I и J .

Другие приложения

Учитывая матрицу размера m × n с вещественными элементами (или элементами из любого другого поля ) и рангом r , тогда существует хотя бы один ненулевой минор размера r × r , в то время как все большие миноры равны нулю.

Мы будем использовать следующие обозначения для миноров: если A — матрица размера m × n , I — подмножество {1,..., m } с k элементами, а J — подмножество {1,..., n } с k элементами, то мы пишем [ A ] _{I , J} для k × k минора A , который соответствует строкам с индексом в I и столбцам с индексом в J .

• Если I = J , то [ A ] _{I , J} называется главным минором .
• Если матрица, соответствующая главной минорной матрице, представляет собой квадратную верхнюю левую подматрицу большей матрицы (т. е. она состоит из матричных элементов в строках и столбцах от 1 до k , также называемых ведущей главной подматрицей), то главная минорная матрица называется ведущим главным минором (порядка k) или угловым (главным) минором (порядка k) . Для квадратной матрицы размера n × n существует n ведущих главных миноров.
• Базовый минор матрицы — это определитель квадратной подматрицы максимального размера с ненулевым определителем.
• Для эрмитовых матриц ведущие главные миноры могут использоваться для проверки положительной определенности , а главные миноры могут использоваться для проверки положительной полуопределенности . см . в критерии Сильвестра . Подробнее

Как формула обычного умножения матриц , так и формула Коши–Бине для определителя произведения двух матриц являются частными случаями следующего общего утверждения о минорах произведения двух матриц.Предположим, что A — матрица размера m × n , B — матрица размера n × p , I — подмножество {1,..., m } с k элементами, а J — подмножество {1,..., p }. с k элементами. Затем

$[\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,$

где сумма распространяется на все подмножества K из {1,..., n } с k элементами. Эта формула является прямым расширением формулы Коши – Бине.

Подход полилинейной алгебры

Более систематическая, алгебраическая трактовка миноров дается в полилинейной алгебре с использованием клинового произведения : k -миноры матрицы являются элементами k -го внешнего степенного отображения.

Если столбцы матрицы соединяются вместе k одновременно, миноры k × k появляются как компоненты результирующих k -векторов. Например, миноры 2 × 2 матрицы

${\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}$

равны -13 (из первых двух строк), -7 (из первой и последней строки) и 5 ​​(из последних двух строк). Теперь рассмотрим клиновое произведение

$(\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})$

где два выражения соответствуют двум столбцам нашей матрицы. Используя свойства клинового произведения, а именно его билинейность и знакопеременность ,

$\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,$

и антисимметричный ,

$\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},$

мы можем упростить это выражение до

$-13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}$

где коэффициенты согласуются с минорами, вычисленными ранее.

Замечание о других обозначениях

В некоторых книгах вместо кофактора термин адъюнкт . используется При этом он обозначается как Aij _: и определяется так же, как и кофактор

$\mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}$

Используя эти обозначения, обратная матрица записывается следующим образом:

$\mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}$

Имейте в виду, что дополнение не является сопряженным или присоединенным . В современной терминологии под «сопряженным» матрицей чаще всего понимается соответствующий сопряженный оператор .

См. также

• Подматрица
• Сложная матрица

Внешние ссылки

• Лекция по линейной алгебре Массачусетского технологического института о кофакторах в Google Video, от MIT OpenCourseWare
• PlanetMath Запись кофакторов
• Статья в математической энциклопедии Springer для несовершеннолетних