Формула аддитивности инерции Хейнсворта

В математике формула аддитивности инерции Хейнсворта , открытая Эмили Вирджинией Хейнсворт (1916–1985), касается количества положительных, отрицательных и нулевых собственных значений эрмитовой матрицы и блочных матриц, на которые она разбита .

Инерция тройка эрмитовой матрицы H определяется как упорядоченная

$\mathrm {In} (H)=\left(\pi (H),\nu (H),\delta (H)\right)$

чьи компоненты являются соответственно числами положительных, отрицательных и нулевых собственных значений H . Хейнсворт рассмотрел разделенную эрмитову матрицу.

$H={\begin{bmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{\ast }&H_{22}\end{bmatrix}}$

где H ₁₁ неособый , а H ₁₂ ^* является транспонированием сопряженным H ₁₂ . Формула гласит:

$\mathrm {In} {\begin{bmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{\ast }&H_{22}\end{bmatrix}}=\mathrm {In} (H_{11})+\mathrm {In} (H/H_{11})$

где H / H ₁₁ — дополнение Шура к H ₁₁ в H :

$H/H_{11}=H_{22}-H_{12}^{\ast }H_{11}^{-1}H_{12}.$

Обобщение

Если H11 _{обратное Мура –} сингулярна , мы все равно можем определить обобщенное дополнение Шура, используя Пенроуза $H_{11}^{+}$ вместо $H_{11}^{-1}$.

Формула не верна, если H ₁₁ сингулярна. Однако обобщение было доказано в 1974 году Карлсоном, Хейнсуортом и Маркхэмом. в том смысле, что $\pi (H)\geq \pi (H_{11})+\pi (H/H_{11})$ и $\nu (H)\geq \nu (H_{11})+\nu (H/H_{11})$.

Карлсон, Хейнсворт и Маркхэм также предоставили достаточные и необходимые условия для соблюдения равенства.

См. также

• Псевдообратная блочная матрица
• Закон инерции Сильвестра