энергия Ферми

Энергия Ферми — это понятие в квантовой механике, обычно относящееся к разнице энергий между высшим и низшим занятыми одночастичными состояниями в квантовой системе невзаимодействующих фермионов при абсолютной нулевой температуре .В ферми-газе считается, что самое низкое занятое состояние имеет нулевую кинетическую энергию, тогда как в металле самое низкое занятое состояние обычно считается дном зоны проводимости .

Термин «энергия Ферми» часто используется для обозначения другого, но тесно связанного понятия — Ферми уровня (также называемого электрохимическим потенциалом ). Есть несколько ключевых различий между уровнем Ферми и энергией Ферми, по крайней мере, в том виде, в каком они используются в этой статье:

• Энергия Ферми определяется только при абсолютном нуле, а уровень Ферми определяется при любой температуре.
• Энергия Ферми представляет собой разность энергий (обычно соответствующую кинетической энергии ), тогда как уровень Ферми представляет собой уровень полной энергии, включая кинетическую энергию и потенциальную энергию.
• Энергию Ферми можно определить только для невзаимодействующих фермионов (где потенциальная энергия или край зоны является статической, четко определенной величиной), тогда как уровень Ферми остается четко определенным даже в сложных взаимодействующих системах, находящихся в термодинамическом равновесии.

Поскольку уровень Ферми в металле при абсолютном нуле представляет собой энергию наивысшего занятого одночастичного состояния,тогда энергия Ферми в металле представляет собой разность энергий между уровнем Ферми и наименьшим занятым одночастичным состоянием при нулевой температуре.

Контекст

Основная статья: Ферми-газ

В квантовой механике группа частиц, известных как фермионы (например, электроны , протоны и нейтроны ), подчиняются принципу запрета Паули . Это означает, что два фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии . Поскольку идеализированный невзаимодействующий ферми-газ можно анализировать с точки зрения одночастичных стационарных состояний , мы можем сказать, что два фермиона не могут занимать одно и то же стационарное состояние. Эти стационарные состояния обычно различаются по энергии. Чтобы найти основное состояние всей системы, мы начинаем с пустой системы и добавляем частицы по одной, последовательно заполняя незанятые стационарные состояния с наименьшей энергией. Когда все частицы помещены внутрь, энергия Ферми представляет собой кинетическую энергию самого высокого занятого состояния.

Как следствие, даже если мы извлекли всю возможную энергию из ферми-газа, охладив его до температуры, близкой к абсолютному нулю , фермионы все равно движутся с высокой скоростью. Самые быстрые из них движутся со скоростью, соответствующей кинетической энергии, равной энергии Ферми. Эта скорость известна как скорость Ферми . Только когда температура превышает соответствующую температуру Ферми , частицы начинают двигаться значительно быстрее, чем при абсолютном нуле.

Энергия Ферми — важное понятие в физике твердого тела металлов и сверхпроводников . Это также очень важная величина в физике квантовых жидкостей, таких как низкотемпературный гелий (как нормальный, так и сверхтекучий). ³ He), и это весьма важно для ядерной физики и для понимания устойчивости звезд белых карликов к гравитационному коллапсу .

Формула и типичные значения

трехмерного нерелятивистского невзаимодействующего ансамбля одинаковых спинов Энергия Ферми для 1 ⁄ 2 фермиона определяется выражением $$E_{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3},$$где N — число частиц, m _{0 —} масса покоя каждого фермиона, V — объем системы, и $\hbar$ приведенная постоянная Планка .

Металлы

В рамках модели свободных электронов можно считать, что электроны в металле образуют ферми-газ. Плотность числа $N/V$ электронов проводимости в металлах колеблется примерно в пределах 10 ²⁸ и 10 ²⁹ электронов/м ³ , что также является типичной плотностью атомов в обычном твердом веществе. Эта числовая плотность дает энергию Ферми порядка от 2 до 10 электронвольт .

Белые карлики

Звезды, известные как белые карлики, имеют массу, сравнимую с Солнцем , но имеют примерно сотую часть его радиуса. Высокие плотности означают, что электроны больше не связаны с отдельными ядрами и вместо этого образуют вырожденный электронный газ. Их энергия Ферми составляет около 0,3 МэВ.

Ядро

Другой типичный пример — нуклоны в ядре атома. Радиус ядра допускает отклонения, поэтому типичное значение энергии Ферми обычно составляет 38 МэВ .

Сопутствующие количества

Используя приведенное выше определение энергии Ферми, могут быть полезны различные связанные величины.

Температура Ферми определяется как $$T_{\text{F}}={\frac {E_{\text{F}}}{k_{\text{B}}}},$$где $k_{\text{B}}$ – постоянная Больцмана и $E_{\text{F}}$ энергия Ферми. Температуру Ферми можно рассматривать как температуру, при которой тепловые эффекты сравнимы с квантовыми эффектами, связанными со статистикой Ферми . Температура Ферми металла на пару порядков выше комнатной температуры.

Другими величинами, определяемыми в этом контексте, являются импульс Ферми. $$p_{\text{F}}={\sqrt {2m_{0}E_{\text{F}}}}$$и скорость Ферми $$v_{\text{F}}={\frac {p_{\text{F}}}{m_{0}}}.$$

Эти величины представляют собой соответственно и групповую скорость фермиона импульс на поверхности Ферми .

Импульс Ферми также можно описать как $$p_{\text{F}}=\hbar k_{\text{F}},$$где $k_{\text{F}}$, называемый волновым вектором Ферми , представляет собой радиус сферы Ферми.

Эти величины не могут быть четко определены в случаях, когда поверхность Ферми несферическая.

См. также

• Статистика Ферми – Дирака : распределение электронов по стационарным состояниям для невзаимодействующих фермионов при ненулевой температуре.
• уровень Ферми
• Почти уровень Ферми

Дальнейшее чтение

• Кремер, Герберт; Киттель, Чарльз (1980). Теплофизика (2-е изд.) . Компания WH Freeman. ISBN  978-0-7167-1088-2 .