Статистика Ферми – Дирака

Статистика Ферми-Дирака — это тип квантовой статистики , который применяется к физике системы, состоящей из множества невзаимодействующих идентичных частиц , подчиняющихся принципу исключения Паули . Результатом является распределение частиц по энергетическим состояниям Ферми – Дирака . Оно названо в честь Энрико Ферми и Поля Дирака , каждый из которых независимо вывел это распределение в 1926 году. Статистика Ферми – Дирака является частью области статистической механики и использует принципы квантовой механики .

Статистика Ферми – Дирака применяется к идентичным и неразличимым частицам с полуцелым спином (1/2, 3/2 и т. д.), называемым фермионами , находящимися в термодинамическом равновесии . В случае незначительного взаимодействия между частицами систему можно описать в терминах одночастичных энергетических состояний . В результате возникает распределение частиц Ферми–Дирака по этим состояниям, при котором никакие две частицы не могут находиться в одном и том же состоянии, что существенно влияет на свойства системы. Статистика Ферми-Дирака чаще всего применяется к электронам , типу фермионов со спином 1/2 .

Аналогом статистики Ферми-Дирака является статистика Бозе-Эйнштейна , которая применяется к идентичным и неразличимым частицам с целым спином (0, 1, 2 и т. д.), называемым бозонами . В классической физике статистика Максвелла – Больцмана используется для описания идентичных частиц, которые считаются различимыми. Как для статистики Бозе-Эйнштейна, так и для статистики Максвелла-Больцмана, в одном и том же состоянии может находиться более одной частицы, в отличие от статистики Ферми-Дирака.

Равновесные тепловые распределения для частиц с целым спином (бозоны), полуцелыми спинами (фермионы) и классическими (бесспиновыми) частицами. Средняя заполняемость $\langle n\rangle$ показано в зависимости от энергии $\epsilon$ относительно химического потенциала системы $\mu$, где $T$ - температура системы, и $k_{B}$ — постоянная Больцмана.

История

До введения статистики Ферми – Дирака в 1926 году понимание некоторых аспектов поведения электронов было затруднено из-за, казалось бы, противоречивых явлений. Например, электронная теплоемкость металла при комнатной температуре , по-видимому, состоит из в 100 раз меньшего количества электронов , чем в электрическом токе . Также было трудно понять, почему токи эмиссии, генерируемые при приложении сильных электрических полей к металлам при комнатной температуре, почти не зависят от температуры.

Трудность, с которой столкнулась модель Друде , электронная теория металлов того времени, была связана с тем, что все электроны (согласно классической теории статистики) были эквивалентны. Другими словами, считалось, что каждый электрон вносит в теплоемкость величину порядка постоянной Больцмана   k _B .Эта проблема оставалась нерешенной до тех пор, пока не была разработана статистика Ферми – Дирака.

Статистика Ферми – Дирака была впервые опубликована в 1926 году Энрико Ферми. и Поль Дирак . По мнению Макса Борна , Паскуаль Жордан разработал в 1925 году ту же статистику, которую он назвал Паули статистикой , но она не была опубликована своевременно. По мнению Дирака, ее впервые изучил Ферми, и Дирак назвал ее «статистикой Ферми», а соответствующие частицы — «фермионами».

Статистика Ферми-Дирака была применена в 1926 году Ральфом Фаулером для описания коллапса звезды на белого карлика . В 1927 году Арнольд Зоммерфельд применил его к электронам в металлах и разработал модель свободных электронов . а в 1928 году Фаулер и Лотар Нордхейм применили его к автоэмиссии электронов из металлов. Статистика Ферми – Дирака продолжает оставаться важной частью физики.

Распределение Ферми – Дирака

Для системы идентичных фермионов, находящихся в термодинамическом равновесии, среднее число фермионов в одночастичном состоянии i определяется распределением Ферми-Дирака (F-D) :

${\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}},$

где k _B — постоянная Больцмана , T — абсолютная температура , ε _i — энергия одночастичного состояния i , а μ — полный химический потенциал . Распределение нормируется условием

$\sum _{i}{\bar {n}}_{i}=N$

который можно использовать для выражения $\mu =\mu (T,N)$ в этом $\mu$ может принимать как положительное, так и отрицательное значение.

При нулевой абсолютной температуре µ равна энергии Ферми плюс потенциальная энергия на фермион, при условии, что она находится в окрестности положительной спектральной плотности. В случае спектральной щели, например, для электронов в полупроводнике, точка симметрии μ обычно называется уровнем Ферми или — для электронов — электрохимическим потенциалом и будет расположена в середине щели.

Распределение Ферми-Дирака справедливо только в том случае, если число фермионов в системе достаточно велико, так что добавление в систему еще одного фермиона оказывает незначительное влияние на µ . Поскольку распределение Ферми-Дирака было получено с использованием принципа исключения Паули , который позволяет не более одному фермиону занимать каждое возможное состояние, в результате получается следующее: $0<{\bar {n}}_{i}<1$ .

• Распределение Ферми – Дирака
• 
  Энергетическая зависимость. Более плавно при более T. высоких ${\bar {n}}=0.5$ когда $\varepsilon =\mu$. Не показано это $\mu$ уменьшается с T. увеличением
• 
  Температурная зависимость для $\varepsilon >\mu$.

Дисперсия для числа частиц в состоянии i может быть рассчитана из приведенного выше выражения ${\bar {n}}_{i}$,

$V(n_{i})=k_{\rm {B}}T{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\bar {n}}_{i}={\bar {n}}_{i}(1-{\bar {n}}_{i}).$

Распределение частиц по энергии

Функция Ферми $F(\epsilon )$ с $\mu =0.55\;{\text{eV}}$ для различных температур в диапазоне $2\;{\text{K}}\leq T\leq 375\;{\text{K}}$

Из распределения частиц по состояниям Ферми – Дирака можно найти распределение частиц по энергии. Среднее число фермионов с энергией $\varepsilon _{i}$ можно найти, умножив распределение Ферми – Дирака ${\bar {n}}_{i}$ из-за вырождения $g_{i}$ (т.е. количество состояний с энергией $\varepsilon _{i}$),

${\begin{aligned}{\bar {n}}(\varepsilon _{i})&=g_{i}{\bar {n}}_{i}\\&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.\end{aligned}}$

Когда $g_{i}\geq 2$, возможно, что ${\bar {n}}(\varepsilon _{i})>1$, поскольку существует более одного состояния, которое могут быть заняты фермионами с одинаковой энергией $\varepsilon _{i}$.

Когда квазиконтинуум энергий $\varepsilon$ имеет связанную плотность состояний $g(\varepsilon )$ (т.е. количество состояний на единицу энергетического диапазона на единицу объема ), среднее число фермионов на единицу энергетического диапазона в единице объема равно

${\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )=g(\varepsilon )F(\varepsilon ),$

где $F(\varepsilon )$ называется функцией Ферми и представляет собой ту же функцию , которая используется для распределения Ферми – Дирака. ${\bar {n}}_{i}$,

$F(\varepsilon )={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}},$

так что

${\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )={\frac {g(\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.$

Квантовые и классические режимы

Распределение Ферми-Дирака приближается к распределению Максвелла-Больцмана в пределе высокой температуры и низкой плотности частиц без необходимости каких-либо специальных предположений:

• В пределе малой плотности частиц ${\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1$, поэтому $e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1\gg 1$ или эквивалентно $e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}\gg 1$. В этом случае ${\bar {n}}_{i}\approx {\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}}}={\frac {N}{Z}}e^{-\varepsilon _{i}/k_{\rm {B}}T}$, что является результатом статистики Максвелла-Больцмана.
• В пределе высоких температур частицы распределены в большом диапазоне значений энергии, поэтому заселенность каждого состояния (особенно высокоэнергетических с $\varepsilon _{i}-\mu \gg k_{\rm {B}}T$) снова очень мал, ${\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1$. Это снова сводится к статистике Максвелла-Больцмана.

Классический режим, в котором статистика Максвелла-Больцмана может использоваться как приближение к статистике Ферми-Дирака, находится путем рассмотрения ситуации, которая далека от предела, налагаемого принципом неопределенности Гейзенберга частицы для положения и импульса . Например, в физике полупроводников, когда плотность состояний зоны проводимости намного превышает концентрацию легирования, энергетическую щель между зоной проводимости и уровнем Ферми можно рассчитать с помощью статистики Максвелла-Больцмана. В противном случае, если концентрацией легирования можно пренебречь по сравнению с плотностью состояний зоны проводимости, для точного расчета вместо этого следует использовать распределение Ферми – Дирака. Тогда можно показать, что преобладает классическая ситуация, когда концентрация частиц соответствует среднему расстоянию между частицами. ${\bar {R}}$ это намного больше средней длины волны де Бройля ${\bar {\lambda }}$ частиц:

${\bar {R}}\gg {\bar {\lambda }}\approx {\frac {h}{\sqrt {3mk_{\rm {B}}T}}},$

где h — постоянная Планка , а m — масса частицы .

Для случая электронов проводимости в типичном металле при Т = 300 К (т.е. примерно при комнатной температуре) система далека от классического режима, поскольку ${\bar {R}}\approx {\bar {\lambda }}/25$ . Это связано с малой массой электрона и высокой концентрацией (т. е. малым ${\bar {R}}$) электронов проводимости в металле. Таким образом, статистика Ферми – Дирака необходима для электронов проводимости в типичном металле.

Другим примером системы, не находящейся в классическом режиме, является система, состоящая из электронов звезды, схлопнувшейся до белого карлика. Хотя температура белого карлика высока (обычно T = 10 000 К на его поверхности ), его высокая концентрация электронов и малая масса каждого электрона не позволяют использовать классическое приближение, и снова требуется статистика Ферми – Дирака.

Выводы

Большой канонический ансамбль

Распределение Ферми-Дирака, применимое только к квантовой системе невзаимодействующих фермионов, легко выводится из большого канонического ансамбля . В этом ансамбле система способна обмениваться энергией и обмениваться частицами с резервуаром (температура Т и химический потенциал ц, фиксируемые резервуаром).

Благодаря невзаимодействующему качеству каждый доступный одночастичный уровень (с уровнем энергии ϵ ) образует отдельную термодинамическую систему, контактирующую с резервуаром.Другими словами, каждый одночастичный уровень представляет собой отдельный крошечный большой канонический ансамбль. возможны только два микросостояния По принципу Паули для одночастичного уровня : отсутствие частицы (энергия E = 0) или одна частица (энергия E = ε ). Таким образом, результирующая статистическая сумма для этого одночастичного уровня имеет всего два члена:

${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\exp {\big (}0(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}+\exp {\big (}1(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}\\&=1+\exp {\big (}(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )},\end{aligned}}$

а среднее число частиц для этого подсостояния уровня одной частицы определяется выражением

$\langle N\rangle =k_{\rm {B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp {\big (}(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T{\big )}+1}}.$

Этот результат применим для каждого одночастичного уровня и, таким образом, дает распределение Ферми – Дирака для всего состояния системы.

Также можно определить дисперсию числа частиц (из-за тепловых флуктуаций ) (число частиц имеет простое распределение Бернулли ):

${\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }=k_{\rm {B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}=\langle N\rangle {\big (}1-\langle N\rangle {\big )}.$

Эта величина важна в явлениях переноса, таких как соотношения Мотта для электропроводности и коэффициент термоЭДС для электронного газа. где способность энергетического уровня вносить вклад в явления переноса пропорциональна ${\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }$.

Канонический ансамбль

Также возможно вывести статистику Ферми – Дирака в каноническом ансамбле . Рассмотрим многочастичную систему, состоящую из N одинаковых фермионов, имеющих незначительное взаимное взаимодействие и находящихся в тепловом равновесии. Поскольку взаимодействие между фермионами пренебрежимо мало, энергия $E_{R}$ государства $R$ многочастичной системы можно выразить как сумму одночастичных энергий,

$E_{R}=\sum _{r}n_{r}\varepsilon _{r}$

где $n_{r}$ называется числом занятости и представляет собой число частиц в одночастичном состоянии. $r$ с энергией $\varepsilon _{r}$. Суммирование ведется по всем возможным одночастичным состояниям. $r$.

Вероятность того, что многочастичная система находится в состоянии $R$, задается нормализованным каноническим распределением ,

$P_{R}={\frac {e^{-\beta E_{R}}}{\displaystyle \sum _{R'}e^{-\beta E_{R'}}}}$

где $\beta =1/k_{\rm {B}}T$, и ^{$\scriptstyle -\beta E_{R}$} называется фактором Больцмана , и суммирование ведется по всем возможным состояниям $R'$ многочастичной системы. Среднее значение числа вместимости $n_{i}\;$ является

${\bar {n}}_{i}\ =\ \sum _{R}n_{i}\ P_{R}$

Обратите внимание, что государство $R$ многочастичной системы можно задать заселенностью частицами одночастичных состояний, т.е. задав $n_{1},\,n_{2},\,\ldots \;,$ так что

$P_{R}=P_{n_{1},n_{2},\ldots }={\frac {e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{{n_{1}}',{n_{2}}',\ldots }e^{-\beta ({n_{1}}'\varepsilon _{1}+{n_{2}}'\varepsilon _{2}+\cdots )}}}$

и уравнение для ${\bar {n}}_{i}$ становится

${\begin{alignedat}{2}{\bar {n}}_{i}&=\sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}\ P_{n_{1},n_{2},\dots }\\\\&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}\ e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}}\\\end{alignedat}}$

где суммирование ведется по всем комбинациям значений $n_{1},n_{2},\ldots$ которые подчиняются принципу исключения Паули, и $n_{r}$ = 0 или 1 для каждого $r$. Более того, каждая комбинация значений $n_{1},n_{2},\ldots$ удовлетворяет ограничению, заключающемуся в том, что общее количество частиц равно $N$,

$\sum _{r}n_{r}=N.$

Перестановка сумм,

${\bar {n}}_{i}={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}\ e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\quad \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\qquad \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}}$

где $^{(i)}$ на знаке суммы указывает, что сумма не закончилась $n_{i}$ и подчиняется ограничению, заключающемуся в том, что общее количество частиц, связанных с суммированием, равно $N_{i}=N-n_{i}$. Обратите внимание, что $\Sigma ^{(i)}$ все еще зависит от $n_{i}$ через $N_{i}$ ограничение, поскольку в одном случае $n_{i}=0$ и $\Sigma ^{(i)}$ оценивается с $N_{i}=N,$ а в другом случае $n_{i}=1$ и $\Sigma ^{(i)}$ оценивается с $N_{i}=N-1.$ Чтобы упростить обозначения и четко указать, что $\Sigma ^{(i)}$ все еще зависит от $n_{i}$ через $N-n_{i}$ , определять

$Z_{i}(N-n_{i})\equiv \ \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\ldots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}\;$

так что предыдущее выражение для ${\bar {n}}_{i}$ можно переписать и оценить с точки зрения $Z_{i}$,

${\begin{alignedat}{3}{\bar {n}}_{i}\ &={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}\ e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\ \ Z_{i}(N-n_{i})}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\qquad Z_{i}(N-n_{i})}}\\[8pt]&=\ {\frac {\quad 0\quad \;+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\;Z_{i}(N-1)}{Z_{i}(N)+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\;Z_{i}(N-1)}}\\[6pt]&=\ {\frac {1}{[Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)]\;e^{\beta \varepsilon _{i}}+1}}\quad .\end{alignedat}}$

Следующее приближение будет использоваться для поиска выражения, которое заменяет $Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)$ .

${\begin{alignedat}{2}\ln Z_{i}(N-1)&\simeq \ln Z_{i}(N)-{\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\\&=\ln Z_{i}(N)-\alpha _{i}\;\end{alignedat}}$

где $\alpha _{i}\equiv {\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\ .$

Если число частиц $N$ достаточно велик, так что изменение химического потенциала $\mu \;$ очень мала, когда в систему добавляется частица, тогда $\alpha _{i}\simeq -\mu /k_{\rm {B}}T\ .$ по основанию e Берём антилогарифм обеих сторон, заменяя $\alpha _{i}\,$и перестановка,

$Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)=e^{-\mu /k_{\rm {B}}T}.$

Подставив приведенное выше в уравнение для ${\bar {n}}_{i}$и используя предыдущее определение $\beta \;$ заменить $1/k_{\rm {B}}T$ для $\beta \;$, приводит к распределению Ферми – Дирака.

${\bar {n}}_{i}=\ {\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}$

Подобно распределению Максвелла-Больцмана и распределению Бозе-Эйнштейна, распределение Ферми-Дирака также можно получить с помощью Дарвина-Фаулера . метода средних значений

Микроканонический ансамбль

Результата можно добиться, непосредственно анализируя кратности системы и используя множители Лагранжа .

Предположим, у нас есть несколько уровней энергии, помеченных индексом i , каждый уровеньимеющий энергию ε _i и содержащий в общей сложности n _i частиц. Предположим, что каждый уровень содержит g _i различных подуровней, все из которых имеют одинаковую энергию и различимы. Например, две частицы могут иметь разные импульсы (т.е. их импульсы могут быть в разных направлениях), и в этом случае они отличимы друг от друга, но при этом могут иметь одинаковую энергию. Значение g _i, связанное с уровнем i, называется «вырождением» этого энергетического уровня. Принцип исключения Паули гласит, что только один фермион может занимать любой такой подуровень.

Число способов распределения n _i неразличимых частиц по g _i подуровням энергетического уровня, максимум одна частица на подуровень, определяется биномиальным коэффициентом , используя его комбинаторную интерпретацию

$w(n_{i},g_{i})={\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}\ .$

Например, распределение двух частиц по трем подуровням даст числа популяций 110, 101 или 011, всего тремя способами, что равно 3!/(2!1!).

Число способов реализации набора чисел заполнения n _i является произведением способов заполнения каждого отдельного энергетического уровня:

$W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.$

Следуя той же процедуре, что и при выводе статистики Максвелла – Больцмана ,мы хотим найти набор n _i, для которого W максимизируется, при условии, что существует фиксированное число частиц и фиксированная энергия. Мы ограничиваем наше решение, используя множители Лагранжа, образующие функцию:

$f(n_{i})=\ln(W)+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right).$

Используя приближение Стирлинга для факториалов, беря производную по n _i , устанавливая результат равным нулю и решая для ni _, получаем числа населения Ферми – Дирака:

$n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}+1}}.$

С помощью процесса, аналогичного тому, который описан в статье о статистике Максвелла – Больцмана , можно термодинамически показать, что ${\textstyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}$ и ${\textstyle \alpha =-{\frac {\mu }{k_{\rm {B}}T}}}$, так что, наконец, вероятность того, что состояние будет занято, равна:

${\bar {n}}_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.$

См. также

• Большой канонический ансамбль
• Принцип исключения Паули
• Полный интеграл Ферми-Дирака
• уровень Ферми
• Ферми-газ
• Статистика Максвелла – Больцмана
• Статистика Бозе – Эйнштейна
• Парастатистика
• Логистическая функция
• Сигмовидная функция

Дальнейшее чтение

• Рейф, Ф. (1965). Основы статистической и теплофизики . МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-051800-1 .
• Блейкмор, Дж. С. (2002). Статистика полупроводников . Дувр. ISBN  978-0-486-49502-6 .
• Киттель, Чарльз (1971). Введение в физику твердого тела (4-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-14286-7 . OCLC   300039591 .