Спин-1/2

В квантовой механике спин является внутренним свойством всех элементарных частиц . Все известные фермионы , частицы, составляющие обычную материю, имеют спин ⁠ 1 / 2 ⁠ . ^[1]^[2]^[3] Число вращения описывает, сколько симметричных граней имеет частица за один полный оборот; вращение ⁠ 1/2 (на 720°), прежде чем она приобретет ту же конфигурацию , ⁠ означает , что частица должна повернуться на два полных оборота что и в начале.

Частицы, имеющие чистый спин ⁠ 1/2 ⁠  включают протон , нейтрон , электрон , нейтрино и кварки . Динамика спин- ⁠ 1/2 ⁠ объекта ; невозможно точно описать с помощью классической физики они относятся к числу простейших систем, которых требуется квантовая механика для описания . Таким образом, изучение поведения спин- ⁠ 1/2 системы составляют квантовой ⁠ центральную часть механики .

Эксперимент Штерна-Герлаха

Необходимость введения полуцелого спина экспериментально восходит к результатам эксперимента Штерна-Герлаха . Пучок атомов пропускается через сильное гетерогенное магнитное поле, которое затем распадается на N частей в зависимости от собственных угловых моментов атомов. Было обнаружено, что для атомов серебра пучок был разделен на две части - поэтому основное состояние не могло быть целым числом, потому что даже если собственный угловой момент атомов был наименьшим (ненулевым) целым числом, 1, пучок будет разделен на 3 части, соответствующие атомам с L _z = -1, +1 и 0, где 0 - это просто значение, которое, как известно, находится между -1 и +1, но при этом само является целым числом, и, таким образом, в этом случае допустимое число квантованного спина. Существование этого гипотетического «дополнительного шага» между двумя поляризованными квантовыми состояниями потребовало бы третьего квантового состояния; третий луч, который в эксперименте не наблюдается. Был сделан вывод, что атомы серебра имеют чистый собственный угловой момент ⁠ 1 / 2 ⁠ . ^[1]

Общие свойства

Вращаться- ⁠ 1/2 теоремой ⁠ о Все объекты являются фермионами (факт, объясненный спин-статистике ) и удовлетворяют принципу исключения Паули . Вращаться- ⁠ 1/2 взаимодействия , ⁠ магнитный частицы могут иметь постоянный момент вдоль направления их вращения, и этот магнитный момент вызывает электромагнитные зависящие от спина. Одним из таких эффектов, который сыграл важную роль в открытии спина, является эффект Зеемана — расщепление спектральной линии на несколько компонентов в присутствии статического магнитного поля.

В отличие от более сложных квантовомеханических систем, спин спин- ⁠ 1/2 ⁠ линейная комбинация частица может быть выражена как всего двух собственных состояний , или собственных спиноров . Традиционно они обозначаются как вращение вверх и вращение вниз. Благодаря этому квантово-механические спиновые операторы могут быть представлены в виде простых матриц размером 2×2 . Эти матрицы называются матрицами Паули .

Операторы рождения и уничтожения могут быть построены для спин- ⁠ 1/2 ⁠ ; объекта они подчиняются тем же коммутационным соотношениям, что и другие операторы углового момента .

Связь с принципом неопределенности

Одним из следствий обобщенного принципа неопределенности является то, что операторы проекции спина (которые измеряют вращение в заданном направлении, например x , y или z ) не могут быть измерены одновременно. Физически это означает, что ось, вокруг которой вращается частица, неопределенна. Измерение z -компоненты спина уничтожает любую информацию о x- и y -компонентах, которая могла быть получена ранее.

Математическое описание

Спин- ⁠ 1/2 спина ⁠ квантовым числом углового характеризуется момента для s частица ⁠ 1/2 ⁠ . В решениях уравнения Шредингера угловой момент квантовается согласно этому числу, так что полный спиновый угловой момент

S={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {1}{2}}+1\right)}}\ \hbar ={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\hbar .

Однако наблюдаемая тонкая структура , когда электрон наблюдается вдоль одной оси, например оси z , квантуется в терминах магнитного квантового числа , которое можно рассматривать как квантование векторной компоненты этого полного углового момента, который может иметь только значения ± ⁠ 1 / 2 ⁠ ħ .

Обратите внимание, что эти значения углового момента являются функциями только приведенной постоянной Планка (углового момента любого фотона ) и не зависят от массы или заряда. ^[4]

Сложная фаза

Математически квантовомеханический спин не описывается вектором, как классический угловой момент. Он описывается комплексным вектором с двумя компонентами, называемым спинором . Существуют тонкие различия между поведением спиноров и векторов при вращении координат , вытекающие из поведения векторного пространства над комплексным полем.

При повороте спинора на 360° (один полный оборот) он трансформируется в свое отрицательное значение, а затем после дальнейшего поворота на 360° снова трансформируется обратно в исходное значение. Это связано с тем, что в квантовой теории состояние частицы или системы представляется комплексной амплитудой вероятности ( волновой функцией ) ψ , и при измерении системы вероятность обнаружить систему в состоянии ψ равна | ψ | ² = ψ * ψ , абсолютный квадрат (квадрат абсолютного значения ) амплитуды. С математической точки зрения квантовое гильбертово пространство несет проективное представление группы вращений SO (3).

Предположим, что детектор, который можно вращать, измеряет частицу, у которой на вероятность обнаружения некоторого состояния влияет вращение детектора. Когда система поворачивается на 360°, наблюдаемый результат и физика такие же, как и изначально, но амплитуды изменяются для вращения. ⁠ 1/2 частица в −1 ⁠ . раз или фазовый сдвиг в половину 360° При расчете вероятностей -1 возводится в квадрат (-1). ² = 1 , поэтому предсказанная физика такая же, как и в исходном положении. Также в спин- ⁠ 1/2 У частицы существует только два спиновых состояния, и амплитуды для обоих изменяются на ⁠ один и тот же коэффициент −1, поэтому интерференционные эффекты идентичны, в отличие от случая с более высокими спинами. Комплексные амплитуды вероятности представляют собой нечто вроде теоретической конструкции, которую нельзя наблюдать непосредственно.

Если бы амплитуды вероятности поворачивались на ту же величину, что и детектор, то они изменились бы в -1 раз, когда оборудование было повернуто на 180°, что при возведении в квадрат предсказывало бы тот же выходной сигнал, что и в начале, но эксперименты показывают, что это ошибиться. Если детектор повернуть на 180°, результат со спин- ⁠ 1/2 если бы не вращались, поэтому необходим коэффициент в два раза , частицы могут отличаться от тех, какими они были бы , ⁠ чтобы предсказания теории соответствовали экспериментам.

С точки зрения более прямых доказательств, физические эффекты разницы между вращением спина ⁠ 1 / 2 ⁠ частицы на 360° по сравнению с 720° экспериментально наблюдались в классических экспериментах. ^[5] в нейтронной интерферометрии. В частности, если пучок спин-ориентированных спин- ⁠ 1/2 эффекты ⁠ . частицы расщепляется, и лишь один из лучей поворачивается вокруг оси направления своего движения и затем рекомбинируется с исходным лучом, в зависимости от угла поворота наблюдаются различные интерференционные При повороте на 360° наблюдаются эффекты компенсации, а при повороте на 720° лучи взаимно усиливают друг друга. ^[5]

Нерелятивистская квантовая механика

Квантовое состояние спин- ⁠ 1/2 называемым частица может ⁠ быть описана двухкомпонентным комплексным вектором, спинором . Наблюдаемые состояния частицы затем находятся с помощью операторов спина S _x , S _y и S _z , а также оператора полного спина S .

Наблюдаемые

Когда для описания квантовых состояний используются спиноры, три спиновых оператора ( S _x , S _y , S _z , ) могут быть описаны матрицами 2 × 2, называемыми матрицами Паули, собственные значения которых равны ± ⁠ ħ / 2 ⁠ .

Например, оператор проекции спина S _z влияет на измерение вращения в направлении z .

S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

Два собственных значения S _z , ± ⁠ ħ / 2 ⁠ , то соответствуют следующим собственным спинорам:

\chi _{+}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{z}{=}{+\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle =|{\uparrow }\rangle =|0\rangle

\chi _{-}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{z}{=}{-\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle =|{\downarrow }\rangle =|1\rangle .

Эти векторы образуют полную основу гильбертова пространства, описывающего спин- ⁠ 1/2 ⁠ . частица Таким образом, линейные комбинации этих двух состояний могут представлять все возможные состояния спина, в том числе в x- и y -направлениях.

Операторы лестницы :

S_{+}=\hbar {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},S_{-}=\hbar {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}

Поскольку S _± = S _x ± i S _y , ^[6] отсюда следует, что S _x = ⁠ 1 / 2 ⁠ ( S ₊ + S ₋ ) и S _y = ⁠ 1 / 2 я ⁠ ( S ₊ - S _- ) . Таким образом:

S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}

S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}

Их нормированные собственные спиноры находятся обычным способом. Для S _x это:

\chi _{+}^{(x)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{x}{=}{+\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle

\chi _{-}^{(x)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{x}{=}{-\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle

Для Sy _это :

\chi _{+}^{(y)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{y}{=}{+\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle

\chi _{-}^{(y)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{y}{=}{-\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle

Релятивистская квантовая механика

Хотя нерелятивистская квантовая механика определяет спин ⁠ 1/2 определяет ⁠ . с 2 измерениями в гильбертовом пространстве с динамикой, описываемой в 3-мерном пространстве и времени, релятивистская квантовая механика спин с 4 измерениями в гильбертовом пространстве и динамикой, описываемой 4-мерным пространством-временем ^{[ нужна ссылка ]}

Наблюдаемые

Вследствие четырехмерной природы пространства-времени в теории относительности релятивистская квантовая механика использует матрицы 4×4 для описания операторов вращения и наблюдаемых. ^{[ нужна ссылка ]}

История

Когда физик Поль Дирак попытался изменить уравнение Шредингера так, чтобы оно соответствовало теории относительности Эйнштейна , он обнаружил, что это возможно только путем включения матриц в полученное уравнение Дирака , подразумевая, что волна должна иметь несколько компонентов, приводящих к вращению. ^[7]

Вращение спинора 4π было экспериментально подтверждено с помощью нейтронной интерферометрии в 1974 году Хельмутом Раухом и его сотрудниками. ^[8] после предложения Якира Ааронова и Леонарда Зюскинда в 1967 году. ^[9]

См. также

Проективное представление

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Резник, Р.; Айсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-87373-0 .
^ Аткинс, PW (1974). Кванта: Справочник концепций . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-855493-1 .
^ Пелег, Ю.; Пнини, Р.; Заарур, Э.; Хехт, Э. (2010). Квантовая механика (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-071-62358-2 .
^ Нейв, Чехия (2005). «Электронный спин» . Государственный университет Джорджии .
^ Jump up to: ^а ^б Раух, Гельмут; Вернер, Сэмюэл А. (2015). Нейтронная интерферометрия: уроки экспериментальной квантовой механики, корпускулярно-волнового дуализма и запутанности . США: Издательство Оксфордского университета.
^ Гриффитс, Дэвид Дж. (2018). Введение в квантовую механику . Даррелл Ф. Шретер (3-е изд.). Кембридж, Соединенное Королевство: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-18963-8 . OCLC 1030447903 .
^ МакМахон, Д. (2008). Квантовая теория поля . США: МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-154382-8 .
^ Раух, Х.; Цайлингер, А.; Бадурек, Г.; Уилфинг, А.; Баусписс, В.; Бонс, У. (октябрь 1975 г.). «Проверка когерентного спинорного вращения фермионов» . Буквы по физике А. 54 (6): 425–427. дои : 10.1016/0375-9601(75)90798-7 . ISSN 0375-9601 .
^ Ааронов, Якир; Сасскинд, Леонард (25 июня 1967 г.). "Наблюдаемость смены знака спиноров при $2\ensuremath{\pi}$ вращениях" . Физический обзор . 158 (5): 1237–1238. дои : 10.1103/PhysRev.158.1237 .

Дальнейшее чтение

Фейнман, Ричард (1963). «Том III, Глава 6. Вращение на половину» . Фейнмановские лекции по физике . Калтех .
Пенроуз, Роджер (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4 .

Внешние ссылки

СМИ, связанные со Spin-½, на Викискладе?

[Atoms,_Molecules_1985-1] Jump up to: ^а ^б Резник, Р.; Айсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-87373-0 .

[Quanta_1974-2] Аткинс, PW (1974). Кванта: Справочник концепций . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-855493-1 .

[3] Пелег, Ю.; Пнини, Р.; Заарур, Э.; Хехт, Э. (2010). Квантовая механика (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-071-62358-2 .

[4] Нейв, Чехия (2005). «Электронный спин» . Государственный университет Джорджии .

[Neutron_Interferometry_2015-5] Jump up to: ^а ^б Раух, Гельмут; Вернер, Сэмюэл А. (2015). Нейтронная интерферометрия: уроки экспериментальной квантовой механики, корпускулярно-волнового дуализма и запутанности . США: Издательство Оксфордского университета.

[6] Гриффитс, Дэвид Дж. (2018). Введение в квантовую механику . Даррелл Ф. Шретер (3-е изд.). Кембридж, Соединенное Королевство: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-18963-8 . OCLC 1030447903 .

[autogenerated1-7] МакМахон, Д. (2008). Квантовая теория поля . США: МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-154382-8 .

[8] Раух, Х.; Цайлингер, А.; Бадурек, Г.; Уилфинг, А.; Баусписс, В.; Бонс, У. (октябрь 1975 г.). «Проверка когерентного спинорного вращения фермионов» . Буквы по физике А. 54 (6): 425–427. дои : 10.1016/0375-9601(75)90798-7 . ISSN 0375-9601 .

[9] Ааронов, Якир; Сасскинд, Леонард (25 июня 1967 г.). "Наблюдаемость смены знака спиноров при $2\ensuremath{\pi}$ вращениях" . Физический обзор . 158 (5): 1237–1238. дои : 10.1103/PhysRev.158.1237 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]