Теорема Пикара

В комплексном анализе большая теорема Пикара и малая теорема Пикара являются связанными теоремами о диапазоне аналитической функции . Они названы в честь Эмиля Пикара .

Теоремы

Теорема Маленького Пикара: если функция ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ является полным и непостоянным, то набор значений, который ${\textstyle f(z)}$ Предполагается, что это либо вся комплексная плоскость, либо плоскость минус одна точка.

Эскиз доказательства: оригинальное доказательство Пикара было основано на свойствах модульной лямбда-функции , обычно обозначаемой ${\textstyle \lambda }$ , и который осуществляет, используя современную терминологию, голоморфное универсальное покрытие плоскости дважды проколотой единичным диском. Эта функция явно строится в теории эллиптических функций . Если ${\textstyle f}$ опускает два значения, то композиция ${\textstyle f}$ с обратной модульной функцией отображает плоскость вединичный диск, что означает, что ${\textstyle f}$ постоянна по теореме Лиувилля.

Эта теорема является существенным усилением теоремы Лиувилля, которая утверждает, что образ всей непостоянной функции должен быть неограниченным . Позже было найдено множество различных доказательств теоремы Пикара, и теорема Шоттки является ее количественной версией. В случае, когда значения ${\textstyle f}$ отсутствует одна точка, эта точка называется лакунарным значением функции.

Теорема Великого Пикара: если аналитическая функция ${\textstyle f}$ имеет существенную особенность в точке ${\textstyle w}$ , то на любой окрестности проколотой ${\textstyle w,f(z)}$ принимает все возможные комплексные значения, не более чем за одним исключением, бесконечно часто.

Это существенное усиление теоремы Казорати–Вейерштрасса , которая лишь гарантирует, что диапазон значений ${\textstyle f}$ плотно . в комплексной плоскости Результатом Великой теоремы Пикара является то, что любая целая неполиномиальная функция бесконечно часто, не более чем с одним исключением, принимает все возможные комплексные значения.

«Единственное исключение» необходимо в обеих теоремах, как показано здесь:

и ^С это целая непостоянная функция, которая никогда не равна 0,
${\textstyle e^{\frac {1}{z}}}$ имеет существенную особенность в 0, но все же никогда не достигает 0 как значение.

Доказательство

Теорема Маленького Пикара

Предполагать ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ это целая функция, которая опускает два значения ${\textstyle z_{0}}$ и ${\textstyle z_{1}}$ . рассматривая ${\textstyle {\frac {f(z)-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}}$ мы можем без ограничения общности предположить, что ${\textstyle z_{0}=0}$ и ${\textstyle z_{1}=1}$ .

Потому что ${\textstyle \mathbb {C} }$ просто связен , и диапазон ${\textstyle f}$ опускает ${\textstyle 0}$ , f имеет голоморфный логарифм . Позволять ${\textstyle g}$ быть целой функцией такой, что ${\textstyle f(z)=e^{2\pi ig(z)}}$ . Тогда диапазон ${\textstyle g}$ опускает все целые числа. По аналогичному рассуждению с использованием квадратичной формулы существует целая функция ${\textstyle h}$ такой, что ${\textstyle g(z)=\cos(h(z))}$ . Тогда диапазон ${\textstyle h}$ опускает все комплексные числа вида ${\textstyle 2\pi n\pm i\cosh ^{-1}(m)}$ , где ${\textstyle n}$ является целым числом и ${\textstyle m}$ является неотрицательным целым числом.

По теореме Ландау , если ${\textstyle h'(w)\neq 0}$ , то для всех ${\textstyle {R>0}}$ , диапазон ${\textstyle h}$ содержит диск радиуса ${\textstyle |h'(w)|R/72}$ . Но, как указано выше, любой достаточно большой диск содержит хотя бы одно число, которое отсутствует в диапазоне h . Поэтому ${\textstyle h'(w)=0}$ для всех ${\textstyle w}$ . По основной теореме исчисления , ${\textstyle h}$ является постоянным, поэтому ${\textstyle f}$ является постоянным.

Великая теорема Пикара

Доказательство Великой теоремы Пикара

Suppose f is an analytic function on the punctured disk of radius r around the point w, and that f omits two values z₀ and z₁. By considering (f(p + rz) − z₀)/(z₁ − z₀) we may assume without loss of generality that z₀ = 0, z₁ = 1, w = 0, and r = 1.

The function F(z) = f(e^−z) is analytic in the right half-plane Re(z) > 0. Because the right half-plane is simply connected, similar to the proof of the Little Picard Theorem, there are analytic functions G and H defined on the right half-plane such that F(z) = e^2πiG(z) and G(z) = cos(H(z)). For any w in the right half-plane, the open disk with radius Re(w) around w is contained in the domain of H. By Landau's theorem and the observation about the range of H in the proof of the Little Picard Theorem, there is a constant C > 0 such that |H′(w)| ≤ C / Re(w). Thus, for all real numbers x ≥ 2 and 0 ≤ y ≤ 2π,

|H(x+iy)|=\left|H(2+iy)+\int _{2}^{x}H'(t+iy)\,\mathrm {d} t\right|\leq |H(2+iy)|+\int _{2}^{x}{\frac {C}{t}}\,\mathrm {d} t\leq A\log x,

where A > 0 is a constant. So |G(x + iy)| ≤ x^A.

Next, we observe that F(z + 2πi) = F(z) in the right half-plane, which implies that G(z + 2πi) − G(z) is always an integer. Because G is continuous and its domain is connected, the difference G(z + 2πi) − G(z) = k is a constant. In other words, the function G(z) − kz / (2πi) has period 2πi. Thus, there is an analytic function g defined in the punctured disk with radius e⁻² around 0 such that G(z) − kz / (2πi) = g(e^−z).

Using the bound on G above, for all real numbers x ≥ 2 and 0 ≤ y ≤ 2π,

\left|G(x+iy)-{\frac {k(x+iy)}{2\pi i}}\right|\leq x^{A}+{\frac {|k|}{2\pi }}(x+2\pi )\leq C'x^{A'}

holds, where A′ > A and C′ > 0 are constants. Because of the periodicity, this bound actually holds for all y. Thus, we have a bound |g(z)| ≤ C′(−log|z|)^A′ for 0 < |z| < e⁻². By Riemann's theorem on removable singularities, g extends to an analytic function in the open disk of radius e⁻² around 0.

Hence, G(z) − kz / (2πi) is bounded on the half-plane Re(z) ≥ 3. So F(z)e^−kz is bounded on the half-plane Re(z) ≥ 3, andf(z)z^k is bounded in the punctured disk of radius e⁻³ around 0. By Riemann's theorem on removable singularities, f(z)z^k extends to an analytic function in the open disk of radius e⁻³ around 0. Therefore, f does not have an essential singularity at 0.

Therefore, if the function f has an essential singularity at 0, the range of f in any open disk around 0 omits at most one value. If f takes a value only finitely often, then in a sufficiently small open disk around 0, f omits that value. So f(z) takes all possible complex values, except at most one, infinitely often.

Обобщение и текущие исследования

Теорема Великого Пикара верна в несколько более общей форме, которая применима и к мероморфным функциям :

Великая теорема Пикара (мероморфная версия): Если M — риманова поверхность , то точка на M , P ¹( C ) = C ∪ {∞} обозначает сферу Римана и f : M \ { w } → P ¹( C ) — голоморфная функция с существенной особенностью в точке w , то на любом открытом подмножестве M , содержащем w , функция f ( z кроме не более чем двух . ) достигает всех точек P, ¹( C ) бесконечно часто.

Пример: функция f ( z ) = 1/(1 − e ^{1/ з}) мероморфен на C* = C — {0} — комплексной плоскости с удаленным началом координат. Он имеет существенную особенность при z = 0 и бесконечно часто достигает значения ∞ в любой окрестности 0; однако он не достигает значений 0 или 1.

Благодаря этому обобщению теорема Литтла Пикара следует из Великой теоремы Пикара, поскольку целая функция либо является полиномом, либо имеет существенную особенность на бесконечности. Как и в случае с малой теоремой, недостигнутые точки (не более двух) являются лакунарными значениями функции.

Следующая гипотеза связана с «Великой теоремой Пикара»: ^[1]

Гипотеза: Пусть { U ₁ , ..., U _n } — совокупность открытых связных подмножеств C , покрывающих проколотый единичный круг D \ {0}. Предположим, что на каждом U _j существует инъективная голоморфная функция f _j такая, что d f _j = d f _k на каждом пересечении U _j ∩ U _k . дифференциалы склеиваются в мероморфную 1- форму на D. Тогда

Ясно, что дифференциалы склеиваются в голоморфную 1-форму g d z на D \ {0}. В частном случае, когда вычет g в точке 0 равен нулю, гипотеза следует из «Великой теоремы Пикара».

Примечания

^ Элснер, Б. (1999). «Гиперэллиптический интеграл действия» (PDF) . Анналы Института Фурье . 49 (1): 303–331. дои : 10.5802/aif.1675 .

Ссылки

Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной I (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-90328-3 .
Шурман, Джерри. «Набросок теоремы Пикара» (PDF) . Проверено 18 мая 2010 г.

[1] Элснер, Б. (1999). «Гиперэллиптический интеграл действия» (PDF) . Анналы Института Фурье . 49 (1): 303–331. дои : 10.5802/aif.1675 .

[1]