Теорема о флуктуации-диссипации

Теорема флуктуации-диссипации ( FDT ) или соотношение флуктуации-диссипации ( FDR ) — мощный инструмент статистической физики для прогнозирования поведения систем, подчиняющихся детальному балансу . Учитывая, что система подчиняется детальному балансу, эта теорема является доказательством того, что термодинамические флуктуации физической переменной предсказывают реакцию, количественно определяемую адмиттансом или импедансом ( в их общем смысле, а не только в электромагнитных терминах) той же физической переменной ( например напряжение, разница температур и т. д.), и наоборот. Теорема о флуктуации-диссипации применима как к классическим , так и к квантово-механическим системам.

Теорема о флуктуации-диссипации была доказана Гербертом Калленом и Теодором Велтоном в 1951 году. и расширен Рёго Кубо . У общей теоремы есть предшественники, в том числе броуновского объяснение Эйнштейном движения. во время его annus mirabilis и Гарри Найквиста объяснения в 1928 году шума Джонсона в электрических резисторах.

Качественный обзор и примеры

Теорема о флуктуации-диссипации гласит, что когда происходит процесс, который рассеивает энергию, превращая ее в тепло (например, трение), происходит обратный процесс, связанный с тепловыми флуктуациями . Лучше всего это понять, рассмотрев несколько примеров:

• Сопротивление и броуновское движение

  Если объект движется через жидкость, он испытывает сопротивление (сопротивление воздуха или жидкости). Сопротивление рассеивает кинетическую энергию, превращая ее в тепло. Соответствующее колебание является броуновским движением . Объект в жидкости не сидит на месте, а движется с небольшой и быстро меняющейся скоростью, когда молекулы жидкости сталкиваются с ним. Броуновское движение преобразует тепловую энергию в кинетическую энергию — противоположность сопротивления.

• Сопротивление и шум Джонсона

  Если электрический ток протекает через проволочную петлю с резистором в ней, ток быстро упадет до нуля из-за сопротивления. Сопротивление рассеивает электрическую энергию, превращая ее в тепло ( Джоулево нагрев ). Соответствующее колебание — это шум Джонсона . Проволочная петля с резистором в ней фактически не имеет нулевого тока, а имеет небольшой и быстроколеблющийся ток, вызванный тепловыми колебаниями электронов и атомов в резисторе. Шум Джонсона преобразует тепловую энергию в электрическую – противоположно сопротивлению.

• Поглощение света и тепловое излучение

  Когда свет падает на объект, некоторая часть света поглощается, делая объект более горячим. Таким образом, поглощение света превращает световую энергию в тепло. Соответствующее колебание — тепловое излучение (например, свечение «раскаленного» объекта). Тепловое излучение превращает тепловую энергию в энергию света — процесс, обратный поглощению света. Действительно, закон теплового излучения Кирхгофа подтверждает, что чем эффективнее объект поглощает свет, тем больше теплового излучения он излучает.

Примеры подробно

Теорема о флуктуации-диссипации является общим результатом статистической термодинамики , который количественно определяет связь между флуктуациями в системе, подчиняющейся детальному балансу , и реакцией системы на приложенные возмущения.

Броуновское движение

Например, Альберт Эйнштейн в своей статье 1905 года о броуновском движении отметил , что те же случайные силы, которые вызывают беспорядочное движение частицы при броуновском движении, также будут вызывать сопротивление, если частицу протягивать через жидкость. Другими словами, колебание покоящейся частицы имеет то же происхождение, что и диссипативная сила трения, против которой нужно совершить работу, если попытаться возмутить систему в определенном направлении.

Благодаря этому наблюдению Эйнштейн смог использовать статистическую механику для вывода соотношения Эйнштейна – Смолуховского.

$D={\mu \,k_{\rm {B}}T}$

которая связывает константу диффузии D и подвижность частиц μ частицы , отношение конечной скорости дрейфа к приложенной силе. k _B — постоянная Больцмана , а T — абсолютная температура .

Тепловой шум в резисторе

В 1928 году Джон Б. Джонсон открыл, а Гарри Найквист объяснил шум Джонсона-Найквиста . При отсутствии приложенного тока среднеквадратичное напряжение зависит от сопротивления $R$, $k_{\rm {B}}T$и полоса пропускания $\Delta \nu$ по которому измеряется напряжение:

$\langle V^{2}\rangle \approx 4Rk_{\rm {B}}T\,\Delta \nu .$

Простая схема, иллюстрирующая тепловой шум Джонсона – Найквиста в резисторе.

Это наблюдение можно понять через призму теоремы о флуктуации-диссипации. Возьмем, к примеру, простую цепь, состоящую из резистора с сопротивлением $R$ и конденсатор небольшой емкости $C$. Закон напряжения Кирхгофа дает

$V=-R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}$

и поэтому функция отклика для этой схемы равна

$\chi (\omega )\equiv {\frac {Q(\omega )}{V(\omega )}}={\frac {1}{{\frac {1}{C}}-i\omega R}}$

В низкочастотном пределе $\omega \ll (RC)^{-1}$, его мнимая часть просто

${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\approx \omega RC^{2}$

которую затем можно связать с функцией спектральной плотности мощности $S_{V}(\omega )$ напряжения по теореме о флуктуационной диссипации

$S_{V}(\omega )={\frac {S_{Q}(\omega )}{C^{2}}}\approx {\frac {2k_{\rm {B}}T}{C^{2}\omega }}{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=2Rk_{\rm {B}}T$

Шум напряжения Джонсона – Найквиста $\langle V^{2}\rangle$ наблюдался в небольшой полосе частот $\Delta \nu =\Delta \omega /(2\pi )$ сосредоточен вокруг $\omega =\pm \omega _{0}$. Следовательно

$\langle V^{2}\rangle \approx S_{V}(\omega )\times 2\Delta \nu \approx 4Rk_{\rm {B}}T\Delta \nu$

Общая формулировка

Теорему о флуктуации-диссипации можно сформулировать разными способами; одна особенно полезная форма: .

Позволять $x(t)$ быть наблюдаемой динамической системы с гамильтонианом $H_{0}(x)$ подвержен температурным колебаниям.Наблюдаемый $x(t)$ будет колебаться вокруг своего среднего значения $\langle x\rangle _{0}$с колебаниями, характеризующимися спектром мощности $S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle$.Предположим, что мы можем включить изменяющееся во времени пространственно постоянное поле. $f(t)$ что изменяет гамильтонианк $H(x)=H_{0}(x)-f(t)x$.Реакция наблюдаемого $x(t)$ в поле, зависящее от времени $f(t)$ является характеризуется в первом порядке функцией восприимчивости или линейной функцией отклика $\chi (t)$ системы

$\langle x(t)\rangle =\langle x\rangle _{0}+\int _{-\infty }^{t}\!f(\tau )\chi (t-\tau )\,d\tau ,$

где возмущение адиабатически (очень медленно) включается при $\tau =-\infty$.

Теорема о флуктуации-диссипации связывает двусторонний спектр мощности (т.е. как положительные, так и отрицательные частоты) $x$ к мнимой части преобразования Фурье ${\hat {\chi }}(\omega )$ восприимчивости $\chi (t)$: $$S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\mathrm {B} }T}{\omega }}\operatorname {Im} {\hat {\chi }}(\omega ).$$

что справедливо в соответствии с соглашением о преобразовании Фурье $f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$. Левая часть колебания описывает $x$, правая часть тесно связана с энергией, рассеиваемой системой при накачке колебательным полем $f(t)=F\sin(\omega t+\phi )$. Спектр колебаний демонстрирует линейную реакцию, поскольку прошлые колебания вызывают будущие колебания посредством линейной реакции на себя.

Это классическая форма теоремы; квантовые флуктуации учитываются путем замены $2k_{\mathrm {B} }T/\omega$ с $\hbar \,\coth(\hbar \omega /2k_{\mathrm {B} }T)$ (чей предел для $\hbar \to 0$ является $2k_{\mathrm {B} }T/\omega$). Доказательство можно найти с помощью LSZ-редукции , тождества из квантовой теории поля.

Теорему о флуктуации-диссипации можно напрямую обобщить на случай пространственно-зависимых полей, на случай нескольких переменных или на случай квантовой механики.

Вывод

Классическая версия

Выведем флуктуационно-диссипативную теорему в приведенном выше виде, используя те же обозначения.Рассмотрим следующий тестовый пример: поле f включено бесконечное время и выключается в момент t =0.

$f(t)=f_{0}\theta (-t),$

где $\theta (t)$ – функция Хевисайда .Мы можем выразить математическое ожидание $x$ распределением вероятностей W ( x ,0) и вероятностью перехода $P(x',t|x,0)$

$\langle x(t)\rangle =\int dx'\int dx\,x'P(x',t|x,0)W(x,0).$

Функция распределения вероятностей W ( x ,0) является равновесным распределением и, следовательно,заданное распределением Больцмана для гамильтониана $H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}$

$W(x,0)={\frac {\exp(-\beta H(x))}{\int dx'\,\exp(-\beta H(x'))}}\,,$

где $\beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T$.Для слабого поля $\beta xf_{0}\ll 1$, мы можем расширить правую часть

$W(x,0)\approx W_{0}(x)[1+\beta f_{0}(x-\langle x\rangle _{0})],$

здесь $W_{0}(x)$ — равновесное распределение в отсутствие поля.Подставив это приближение в формулу для $\langle x(t)\rangle$ урожайность

$\langle x(t)\rangle =\langle x\rangle _{0}+\beta f_{0}A(t),$ ( * )

где A ( t ) — автокорреляционная функция x в отсутствие поля:

$A(t)=\langle [x(t)-\langle x\rangle _{0}][x(0)-\langle x\rangle _{0}]\rangle _{0}.$

Заметим, что в отсутствие поля система инвариантна относительно временных сдвигов.Мы можем переписать $\langle x(t)\rangle -\langle x\rangle _{0}$ используя восприимчивостьсистемы и, следовательно, найти с помощью приведенного выше уравнения (*)

$f_{0}\int _{0}^{\infty }d\tau \,\chi (\tau )\theta (\tau -t)=\beta f_{0}A(t)$

Следовательно,

$-\chi (t)=\beta {dA(t) \over dt}\theta (t).$ ( ** )

Чтобы сделать утверждение о частотной зависимости, необходимо преобразовать Фурье уравнения (**) . Интегрируя по частям, можно показать, что

$-{\hat {\chi }}(\omega )=i\omega \beta \int _{0}^{\infty }e^{-i\omega t}A(t)\,dt-\beta A(0).$

С $A(t)$ веществен и симметричен, то отсюда следует, что

$2\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )]=-\omega \beta {\hat {A}}(\omega ).$

Наконец, для стационарных процессов теорема Винера – Хинчина утверждает, что двусторонняя спектральная плотность равна преобразованию Фурье автокорреляционной функции:

$S_{x}(\omega )={\hat {A}}(\omega ).$

Следовательно, отсюда следует, что

$S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\text{B}}T}{\omega }}\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )].$

Квантовая версия

Теорема о флуктуации-диссипации связывает корреляционную функцию интересующей наблюдаемой $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ (мера флуктуации) к мнимой части функции отклика ${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i$ в частотной области (мера рассеивания). Связь между этими величинами можно найти с помощью так называемой формулы Кубо.

$\chi (t-t')={\frac {i}{\hbar }}\theta (t-t')\langle [{\hat {x}}(t),{\hat {x}}(t')]\rangle$

которое следует в предположениях теории линейного отклика из временной эволюции ансамблевого среднего наблюдаемой $\langle {\hat {x}}(t)\rangle$ при наличии возмущающего источника. После преобразования Фурье формула Кубо позволяет записать мнимую часть функции отклика в виде

${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]={\frac {1}{2\hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)-{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle e^{i\omega t}dt.$

В каноническом ансамбле второй член может быть перевыражен как

$\langle {\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle ={\text{Tr }}e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)={\text{Tr }}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0)={\text{Tr }}e^{-\beta {\hat {H}}}\underbrace {e^{\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}} _{{\hat {x}}(t-i\hbar \beta )}{\hat {x}}(0)=\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle$

где во втором равенстве мы переставили ${\hat {x}}(t)$ используя циклическое свойство трассировки. Далее в третье равенство мы подставили $e^{-\beta {\hat {H}}}e^{\beta {\hat {H}}}$ рядом со следом и интерпретируется $e^{-\beta {\hat {H}}}$ как оператор эволюции времени $e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\Delta t}$ с времени мнимым интервалом $\Delta t=-i\hbar \beta$. Воображаемый сдвиг времени превращается в $e^{-\beta \hbar \omega }$ коэффициент после преобразования Фурье

$\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt=e^{-\beta \hbar \omega }\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt$

и, следовательно, выражение для ${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]$ можно легко переписать как квантовое соотношение флуктуации-диссипации

$S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+1\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]$

где спектральная плотность мощности $S_{x}(\omega )$ - преобразование Фурье автокорреляции $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ и $n_{\rm {BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}$ — функция распределения Бозе-Эйнштейна . Тот же расчет также дает

$S_{x}(-\omega )=e^{-\beta \hbar \omega }S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\neq S_{x}(+\omega )$

таким образом, в отличие от того, что получается в классическом случае, спектральная плотность мощности не является точно частотно-симметричной в квантовом пределе. Последовательно, $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ имеет мнимую часть, обусловленную правилами коммутации операторов. Дополнительный " $+1$«термин в выражении $S_{x}(\omega )$ на положительных частотах также можно рассматривать как связанное со спонтанным излучением . Часто цитируемым результатом также является симметризованная спектральная плотность мощности.

${\frac {S_{x}(\omega )+S_{x}(-\omega )}{2}}=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+{\frac {1}{2}}\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\hbar \coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right){\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right].$

" $+1/2$«можно рассматривать как связанное с квантовыми флуктуациями или с в нулевой точке ». движением наблюдаемой точки ${\hat {x}}$. При достаточно высоких температурах $n_{\rm {BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1$, т.е. квантовый вклад пренебрежимо мал, и мы восстанавливаем классический вариант.

Нарушения в стеклообразных системах

Хотя теорема о флуктуациях и диссипации обеспечивает общую связь между реакцией систем, подчиняющихся детальному балансу , при нарушении детального баланса сравнение флуктуаций с диссипацией становится более сложным. Ниже так называемой температуры стекла $T_{\rm {g}}$Стеклообразные системы не уравновешены и медленно приближаются к равновесному состоянию. Такое медленное приближение к равновесию является синонимом нарушения детального баланса. Таким образом, эти системы требуют изучения в больших временных масштабах, пока они медленно движутся к равновесию.

Для изучения нарушения флуктуационно-диссипативного соотношения в стеклообразных системах, в частности в спиновых стеклах , было проведено численное моделирование макроскопических систем (т.е. больших по сравнению с их корреляционными длинами), описываемых трехмерной моделью Эдвардса-Андерсона, с использованием суперкомпьютеров. В их моделировании система изначально готовится при высокой температуре, а затем быстро охлаждается до температуры $T=0.64T_{\rm {g}}$ ниже температуры стекла $T_{\rm {g}}$, и оставил для уравновешивания на очень долгое время $t_{\rm {w}}$ под магнитным полем $H$. Затем, в более позднее время $t+t_{\rm {w}}$исследуются две динамические наблюдаемые, а именно функция отклика $$\chi (t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})\equiv \left.{\frac {\partial m(t+t_{\rm {w}})}{\partial H}}\right|_{H=0}$$и спин-временная корреляционная функция $$C(t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})\equiv {\frac {1}{V}}\left.\sum _{x}\langle S_{x}(t_{\rm {w}})S_{x}(t+t_{\rm {w}})\rangle \right|_{H=0}$$где $S_{x}=\pm 1$ это спин, живущий в узле $x$ кубической решетки объема $V$, и ${\textstyle m(t)\equiv {\frac {1}{V}}\sum _{x}\langle S_{x}(t)\rangle }$ – плотность намагничивания. Соотношение флуктуации-диссипации в этой системе можно записать через эти наблюдаемые как $$T\chi (t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})=1-C(t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})$$

Их результаты подтверждают ожидание того, что, поскольку система находится в равновесии в течение более длительного времени, соотношение флуктуации-диссипации становится ближе к удовлетворению.

В середине 1990-х годов при исследовании динамики моделей спинового стекла было обнаружено обобщение флуктуационно-диссипативной теоремы, справедливое для асимптотических нестационарных состояний, где температура, входящая в соотношение равновесия, заменяется эффективной температурой с нетривиальная зависимость от временных масштабов. Предполагается, что это соотношение сохраняется и в стеклообразных системах, выходящих за рамки моделей, для которых оно было первоначально обнаружено.

См. также

• Неравновесная термодинамика
• Отношения Грина-Кубо
• Онсагерские взаимные отношения
• Теорема о равнораспределении
• Распределение Больцмана
• Диссипативная система

Ссылки

• Х. Б. Каллен, Т. А. Велтон (1951). «Необратимость и обобщенный шум». Физический обзор . 83 (1): 34–40. Бибкод : 1951PhRv...83...34C . дои : 10.1103/PhysRev.83.34 .
• Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц (1980). Статистическая физика . Курс теоретической физики . Том. 5 (3-е изд.).
• Умберто Марини Беттоло Маркони; Андреа Пуглиси; Ламберто Рондони; Анджело Вульпиани (2008). «Флуктуация-Диссипация: теория отклика в статистической физике». Отчеты по физике . 461 (4–6): 111–195. arXiv : 0803.0719 . Бибкод : 2008ФР...461..111М . doi : 10.1016/j.physrep.2008.02.002 . S2CID   118575899 .

Дальнейшее чтение

• Аудиозапись лекции профессора Э. У. Карлсона из Университета Пердью
• Знаменитый текст Кубо: Теорема о флуктуации-диссипации.
• Вебер Дж (1956). «Теорема о диссипации флуктуаций». Физический обзор . 101 (6): 1620–1626. arXiv : 0710.4394 . Бибкод : 1956PhRv..101.1620W . дои : 10.1103/PhysRev.101.1620 .
• Фельдерхоф БУ (1978). «К выводу флуктуационно-диссипационной теоремы». Журнал физики А. 11 (5): 921–927. Бибкод : 1978JPhA...11..921F . дои : 10.1088/0305-4470/11/5/021 .
• Кристани А, Риторт Ф (2003). «Нарушение теоремы о флуктуации-диссипации в стеклообразных системах: основные понятия и числовые доказательства». Журнал физики А. 36 (21): 181–290 р. arXiv : cond-mat/0212490 . Бибкод : 2003JPhA...36R.181C . дои : 10.1088/0305-4470/36/21/201 . S2CID   14144683 .
• Чендлер Д. (1987). Введение в современную статистическую механику . Издательство Оксфордского университета. стр. 231–265 . ISBN  978-0-19-504277-1 .
• Райхл Л.Е. (1980). Современный курс статистической физики . Остин, Техас: Издательство Техасского университета. стр. 545–595. ISBN  0-292-75080-3 .
• Плишке М., Бергерсен Б. (1989). Равновесная статистическая физика . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл. стр. 251–296. ISBN  0-13-283276-3 .
• Патрия РК (1972). Статистическая механика . Оксфорд: Пергамон Пресс. стр. 443, 474–477. ISBN  0-08-018994-6 .
• Хуан К. (1987). Статистическая механика . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 153, 394–396. ISBN  0-471-81518-7 .
• Каллен Х.Б. (1985). Термодинамика и введение в термостатику . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 307–325. ISBN  0-471-86256-8 .
• Мазонька, Олег (2016). «Просто как Пи: соотношение флуктуации-диссипации» (PDF) . Справочный журнал . 16 .