Формула Кубо

Формула Кубо , названная в честь Рёго Кубо, который впервые представил формулу в 1957 году. это уравнение, которое выражает линейную реакцию наблюдаемой величины на зависящее от времени возмущение .

Среди многочисленных применений формулы Кубо можно выделить зарядовую и спиновую восприимчивость систем электронов в ответ на приложенные электрические и магнитные поля. Также можно рассчитать реакцию на внешние механические силы и вибрации.

Общая формула Кубо

Рассмотрим квантовую систему, описываемую (не зависящим от времени) гамильтонианом $H_{0}$. Ожидаемое значение физической величины при равновесной температуре $T$, описываемый оператором ${\hat {A}}$, можно оценить как:

$\left\langle {\hat {A}}\right\rangle ={1 \over Z_{0}}\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A}}\right]={1 \over Z_{0}}\sum _{n}\left\langle n\left|{\hat {A}}\right|n\right\rangle e^{-\beta E_{n}}$,

где $\beta =1/k_{\rm {B}}T$ термодинамическая бета , ${\hat {\rho }}_{0}$ — оператор плотности, определяемый формулой

${\hat {\rho _{0}}}=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e^{-\beta E_{n}}$

и $Z_{0}=\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho }}_{0}\right]$ это функция распределения .

Предположим теперь, что чуть выше некоторого времени $t=t_{0}$ к системе приложено внешнее возмущение. Возмущение описывается дополнительной зависимостью от времени в гамильтониане:

${\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0}),$

где $\theta (t)$ — функция Хевисайда (1 для положительных моментов времени, 0 в противном случае) и ${\hat {V}}(t)$ является эрмитовым и определен для всех t , так что ${\hat {H}}(t)$ имеет положительный $t-t_{0}$ снова полный набор действительных собственных значений $E_{n}(t).$ Но эти собственные значения могут меняться со временем.

Однако снова можно найти временную эволюцию матрицы плотности ${\hat {\rho }}(t)$ ответ. статистической суммы $Z(t)=\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho }}(t)\right],$ оценить математическое ожидание

$\left\langle {\hat {A}}\right\rangle ={\frac {\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho }}(t)\,{\hat {A}}\right]}{\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho }}(t)\right]}}.$

Временная зависимость состояний $|n(t)\rangle$ определяется уравнением Шрёдингера

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|n(t)\rangle ={\hat {H}}(t)|n(t)\rangle ,$

что, таким образом, определяет все, что, конечно, соответствует картине Шрёдингера . Но поскольку ${\hat {V}}(t)$ следует рассматривать как небольшое возмущение, вместо этого теперь удобно использовать представление картины взаимодействия : $\left|{\hat {n}}(t)\right\rangle ,$ в низшем нетривиальном порядке. Зависимость от времени в этом представлении определяется выражением $|n(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }\left|{\hat {n}}(t)\right\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }{\hat {U}}(t,t_{0})\left|{\hat {n}}(t_{0})\right\rangle ,$ где по определению для всех t и $t_{0}$ это: $\left|{\hat {n}}(t_{0})\right\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}/\hbar }|n(t_{0})\rangle$

К линейному порядку в ${\hat {V}}(t)$, у нас есть

${\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}{\mathord {\left(t'\right)}}$.

Таким образом, можно получить математическое ожидание ${\hat {A}}(t)$ до линейного порядка по возмущению:

$\left\langle {\hat {A}}(t)\right\rangle =\left\langle {\hat {A}}\right\rangle _{0}-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'{1 \over Z_{0}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\left\langle n(t_{0})\left|{\hat {A}}(t){\hat {V}}{\mathord {\left(t'\right)}}-{\hat {V}}{\mathord {\left(t'\right)}}{\hat {A}}(t)\right|n(t_{0})\right\rangle$,

таким образом

Формула Кубо (общая)

$\langle {\hat {A}}(t)\rangle =\left\langle {\hat {A}}\right\rangle _{0}-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\left\langle \left[{\hat {A}}(t),{\hat {V}}{\mathord {\left(t'\right)}}\right]\right\rangle _{0}$

Скобки $\langle \rangle _{0}$ означают равновесное среднее по отношению к гамильтониану $H_{0}.$ Поэтому, хотя результат имеет первый порядок по возмущению, он включает в себя только собственные функции нулевого порядка, что обычно имеет место в теории возмущений и устраняет все сложности, которые в противном случае могли бы возникнуть для $t>t_{0}$.

Вышеприведенное выражение справедливо для любых операторов. (см. также Второе квантование )

См. также

• Отношения Грина-Кубо