Модель Изинга с квадратной решеткой

В статистической механике двумерная с квадратной решеткой модель Изинга представляет собой простую решетчатую модель взаимодействующих магнитных спинов . Модель примечательна наличием нетривиальных взаимодействий, но при этом имеет аналитическое решение . Модель была решена Ларсом Онсагером для частного случая, когда внешнее магнитное поле H = 0. Аналитическое решение для общего случая $H\neq 0$ еще предстоит найти.

Определение функции разделения

Рассмотрим двумерную модель Изинга на квадратной решетке. $\Lambda$ с N узлами и периодическими граничными условиями как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях, что эффективно сводит топологию модели к тору . Как правило, горизонтальная связь $J$ и вертикальная муфта $J^{*}$ не равны. С $\textstyle \beta ={\frac {1}{kT}}$ и абсолютная температура $T$ и постоянная Больцмана $k$, функция распределения

$Z_{N}(K\equiv \beta J,L\equiv \beta J^{*})=\sum _{\{\sigma \}}\exp \left(K\sum _{\langle ij\rangle _{H}}\sigma _{i}\sigma _{j}+L\sum _{\langle ij\rangle _{V}}\sigma _{i}\sigma _{j}\right).$

Критическая температура

Критическая температура $T_{\text{c}}$ может быть получено из соотношения двойственности Крамерса–Ваннье . Обозначая свободную энергию на сайт как $F(K,L)$, у одного есть:

$\beta F\left(K^{*},L^{*}\right)=\beta F\left(K,L\right)+{\frac {1}{2}}\log {\big [}\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right){\big ]}$

где

$\sinh \left(2K^{*}\right)\sinh \left(2L\right)=1$

$\sinh \left(2L^{*}\right)\sinh \left(2K\right)=1$

имеется только одна критическая линия Предполагая, что на плоскости ( K , L ) , из отношения двойственности следует, что это определяется формулой:

$\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)=1$

Для изотропного случая $J=J^{*}$, находится знаменитое соотношение для критической температуры $T_{c}$

${\frac {kT_{\text{c}}}{J}}={\frac {2}{\ln(1+{\sqrt {2}})}}\approx 2.26918531421$

Двойная решетка

Рассмотрим конфигурацию спинов $\{\sigma \}$ на квадратной решетке $\Lambda$. Пусть r и s обозначают количество непохожих соседей в вертикальном и горизонтальном направлениях соответственно. Тогда слагаемое в $Z_{N}$ соответствующий $\{\sigma \}$ дается

$e^{K(N-2s)+L(N-2r)}$

Двойная решетка

Построить двойную решетку $\Lambda _{D}$ как показано на схеме. Для каждой конфигурации $\{\sigma \}$, многоугольник связывается с решеткой путем рисования линии на ребре двойственной решетки, если спины, разделенные ребром, различны. Поскольку, пройдя через вершину $\Lambda$ спины должны измениться четное количество раз, чтобы прийти в начальную точку с тем же зарядом, каждая вершина двойственной решетки соединена с четным количеством линий в конфигурации, определяющих многоугольник.

Спиновая конфигурация на двойной решетке

Это сводит функцию раздела к

$Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}$

суммирование по всем многоугольникам в двойной решетке, где r и s - количество горизонтальных и вертикальных линий в многоугольнике, с коэффициентом 2, возникающим в результате инверсии конфигурации спина.

Низкотемпературное расширение

При низких температурах K , L стремятся к бесконечности, так что при $T\rightarrow 0,\ \ e^{-K},e^{-L}\rightarrow 0$, так что

$Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}$

определяет низкотемпературное расширение $Z_{N}(K,L)$.

Высокотемпературное расширение

С $\sigma \sigma '=\pm 1$ у одного есть

$e^{K\sigma \sigma '}=\cosh K+\sinh K(\sigma \sigma ')=\cosh K(1+\tanh K(\sigma \sigma ')).$

Поэтому

$Z_{N}(K,L)=(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{\{\sigma \}}\prod _{\langle ij\rangle _{H}}(1+v\sigma _{i}\sigma _{j})\prod _{\langle ij\rangle _{V}}(1+w\sigma _{i}\sigma _{j})$

где $v=\tanh K$ и $w=\tanh L$. Поскольку имеется N горизонтальных и вертикальных ребер, всего имеется $2^{2N}$ условия в расширении. Каждый терм соответствует конфигурации линий решетки путем сопоставления линии, соединяющей i и j, если терм $v\sigma _{i}\sigma _{j}$ (или $w\sigma _{i}\sigma _{j})$ выбран в продукте. Суммируя конфигурации, используя

$\sum _{\sigma _{i}=\pm 1}\sigma _{i}^{n}={\begin{cases}0&{\mbox{for }}n{\mbox{ odd}}\\2&{\mbox{for }}n{\mbox{ even}}\end{cases}}$

показывает, что только конфигурации с четным числом линий в каждой вершине (многоугольники) будут способствовать статистической сумме, что дает

$Z_{N}(K,L)=2^{N}(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{P\subset \Lambda }v^{r}w^{s}$

где сумма ведется по всем многоугольникам решетки. Поскольку tanh K , tanh L $\rightarrow 0$ как $T\rightarrow \infty$, это дает высокотемпературное расширение $Z_{N}(K,L)$.

Эти два расширения можно связать с помощью двойственности Крамерса – Ванье .

Точное решение

Бесплатная энергия на сайт в лимите $N\to \infty$ дается следующим образом. Определите параметр $k$ как

$k={\frac {1}{\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)}}$

на Свободная энергия Гельмгольца участок $F$ может быть выражено как

$-\beta F={\frac {\log(2)}{2}}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left[\cosh \left(2K\right)\cosh \left(2L\right)+{\frac {1}{k}}{\sqrt {1+k^{2}-2k\cos(2\theta )}}\right]d\theta$

Для изотропного случая $J=J^{*}$, из приведенного выше выражения можно найти внутреннюю энергию узла:

$U=-J\coth(2\beta J)\left[1+{\frac {2}{\pi }}(2\tanh ^{2}(2\beta J)-1)\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-4k(1+k)^{-2}\sin ^{2}(\theta )}}}d\theta \right]$

а спонтанная намагниченность равна $T<T_{\text{c}}$,

$M=\left[1-\sinh ^{-4}(2\beta J)\right]^{1/8}$

и $M=0$ для $T\geq T_{\text{c}}$.

Ссылки

• Бакстер, Родни Дж. (1982), Точно решенные модели в статистической механике (PDF) , Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN  978-0-12-083180-7 , МР   0690578
• Бакстер, Родни Дж. (2016). «Объемная, поверхностная и угловая свободная энергия модели Изинга с квадратной решеткой». Физический журнал A: Математический и теоретический . 50 (1). Издательство IOP: 014001. arXiv : 1606.02029 . дои : 10.1088/1751-8113/50/1/014001 . ISSN   1751-8113 . S2CID   2467419 .
• Курт Биндер (2001) [1994], «Модель Изинга» , Математическая энциклопедия , EMS Press
• ЩЕТКА, Стивен Г. (1 октября 1967 г.). «История модели Ленца-Изинга». Обзоры современной физики . 39 (4). Американское физическое общество (APS): 883–893. Бибкод : 1967РвМП...39..883Б . дои : 10.1103/revmodphys.39.883 . ISSN   0034-6861 .
• Хуанг, Керсон (1987), Статистическая механика (2-е издание) , Уайли, ISBN  978-0471815181
• Хухт, Альфред (2021). «Модель Изинга с квадратной решеткой на прямоугольнике III: определители Ганкеля и Теплица». Физический журнал A: Математический и теоретический . 54 (37). Публикация IOP: 375201. arXiv : 2103.10776 . Бибкод : 2021JPhA...54K5201H . дои : 10.1088/1751-8121/ac0983 . ISSN   1751-8113 . S2CID   232290629 .
• Изинг, Эрнст (1925), «Вклад в теорию ферромагнетизма», Z. Phys. , 31 (1): 253–258, Бибкод : 1925ZPhy...31..253I , doi : 10.1007/BF02980577 , S2CID   122157319
• Ицыксон, Клод; Друфф, Жан-Мишель (1989), Статистическая теория поля, Том 1 , Современные знания ( CNRS ), EDP Sciences Editions, ISBN  978-2868833600
• Ицыксон, Клод; Друфф, Жан-Мишель (1989), Статистическая теория поля, Том 1: От броуновского движения к перенормировке и калибровочной теории решетки , Cambridge University Press, ISBN  978-0521408059
• Барри М. Маккой и Тай Цун Ву (1973), Двумерная модель Изинга . Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN   0-674-91440-6
• Монтролл, Эллиот В.; Поттс, Ренфри Б.; Уорд, Джон К. (1963), «Корреляции и спонтанная намагниченность двумерной модели Изинга» , Журнал математической физики , 4 (2): 308–322, Бибкод : 1963JMP.....4..308M , doi : 10.1063/1.1703955 , ISSN   0022-2488 , MR   0148406 , заархивировано из оригинала 12 января 2013 г.
• Онсагер, Ларс (1944), «Статистика кристаллов. I. Двумерная модель с переходом порядок-беспорядок», Phys. Rev. , Series II, 65 (3–4): 117–149, Бибкод : 1944PhRv...65..117O , doi : 10.1103/PhysRev.65.117 , MR   0010315
• Онсагер, Ларс (1949), «Дискуссия», Приложение к Nuovo Cimento , 6 : 261
• Джон Палмер (2007), Плоские корреляции Изинга . Биркхойзер, Бостон, ISBN   978-0-8176-4248-8 .
• Ян, CN (1952), «Спонтанное намагничивание двумерной модели Изинга», Physical Review , Series II, 85 (5): 808–816, Bibcode : 1952PhRv...85..808Y , doi : 10.1103/ ФизРев.85.808 , МР   0051740