Двойственность Крамерса – Ванье

Двойственность Крамерса -Ваннье — это симметрия в статистической физике . Он связывает свободную энергию двумерной модели Изинга с квадратной решеткой при низкой температуре со свободной энергией другой модели Изинга при высокой температуре. Его открыли Хендрик Крамерс и Грегори Ванньер в 1941 году. С помощью этой двойственности Крамерс и Ванньер нашли точное расположение критической точки модели Изинга на квадратной решетке.

Подобные двойственности устанавливают отношения между свободными энергиями других статистических моделей. Например, в трех измерениях модель Изинга двойственна калибровочной модели Изинга.

Интуитивная идея

Двумерная модель Изинга существует на решетке, которая представляет собой набор квадратов в виде шахматной доски. В конечной решетке ребра можно соединить, образуя тор. В теориях такого рода строится инволютивное преобразование . Например, Ларс Онсагер предположил, что преобразование «Звезда-Треугольник» можно использовать для треугольной решетки. ^{[ 1 ]} Теперь двойственным дискретному тору является он сам . Более того, двойником сильно неупорядоченной системы (высокая температура) является хорошо упорядоченная система (низкая температура). Это связано с тем, что преобразование Фурье преобразует сигнал с широкой полосой пропускания (большее стандартное отклонение ) в сигнал с низкой полосой пропускания (меньшее стандартное отклонение). Таким образом, по сути, мы имеем ту же теорию с обратной температурой.

Когда кто-то повышает температуру в одной теории, он снижает температуру в другой. Если имеется только один фазовый переход , то он будет в точке их пересечения, в которой температуры равны. Поскольку двумерная модель Изинга переходит из неупорядоченного состояния в упорядоченное, существует почти однозначное соответствие между неупорядоченной и упорядоченной фазами .

Теория была обобщена и теперь смешана со многими другими идеями. Например, квадратная решетка заменена кругом, ^{[ 2 ]} случайная решетка, ^{[ 3 ]} неоднородный тор, ^{[ 4 ]} треугольная решетка, ^{[ 5 ]} лабиринт, ^{[ 6 ]} решетки с закрученными границами, ^{[ 7 ]} киральная модель Поттса, ^{[ 8 ]} и многие другие.

Одним из следствий двойственности Крамерса–Ваннье является точное соответствие спектра возбуждений по обе стороны от критической точки. Недавно это было продемонстрировано с помощью ТГц-спектроскопии в одномерных спиновых цепочках. ^{[ 9 ]}

Вывод

Определите эти переменные. Низкотемпературное расширение для (K ^*,Л ^*) является

Z_{N}(K^{*},L^{*})=2e^{N(K^{*}+L^{*})}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}(e^{-2L^{*}})^{r}(e^{-2K^{*}})^{s}

что с помощью преобразования

\tanh K=e^{-2L^{*}},\ \tanh L=e^{-2K^{*}}

дает

Z_{N}(K^{*},L^{*})=2(\tanh K\;\tanh L)^{-N/2}\sum _{P}v^{r}w^{s}

=2(\sinh 2K\;\sinh 2L)^{-N/2}Z_{N}(K,L)

где v = tanh K и w = tanh L. Это дает связь с высокотемпературным расширением. Отношения можно записать более симметрично как

\,\sinh 2K^{*}\sinh 2L=1

\,\sinh 2L^{*}\sinh 2K=1

Со свободной энергией на узел в термодинамическом пределе

f(K,L)=\lim _{N\rightarrow \infty }f_{N}(K,L)=-kT\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\log Z_{N}(K,L)

двойственность Крамерса-Ваннье дает

f(K^{*},L^{*})=f(K,L)+{\frac {1}{2}}kT\log(\sinh 2K\sinh 2L)

В изотропном случае, когда K = L , если есть критическая точка при K = K _c, то есть и другая при K = K. ^*_в . Следовательно, в случае существования единственной критической точки она будет расположена в точке K = K. ^* = К ^*_c , подразумевая sinh 2K _c = 1 , что дает kT _c = 2,2692J .

См. также

Ссылки

^ Сомендра М. Бхаттачарджи и Авинаш Кхаре, Пятьдесят лет точного решения двумерной модели Изинга Онсагера (1995) , arXiv : cond-mat/9511003
^ arXiv : cond-mat/9805301 , Самодвойственное свойство модели Поттса в одном измерении , Ф.Ю. Ву
^ arXiv : hep-lat/0110063 , Оператор Дирака и модель Изинга на компактной двумерной случайной решетке , Л.Богач, З.Бурда, Ю.Юркевич, А.Кшивицкий, К.Петерсен, Б.Петерссон
^ arXiv : hep-th/9703037 , Двойственность двумерной неоднородной модели Изинга на торе , А.И. Бугрий, В.Н. Шадура
^ arXiv : cond-mat/0402420 , Самодуальность для связанных моделей Поттса на треугольной решетке , Жан-Франсуа Ришар, Йеспер Ликке Якобсен, Марко Пикко
^ arXiv : solv-int/9902009 , Критическая модель Изинга в лабиринте , М. Бааке, У. Гримм , Р. Дж. Бакстер
^ arXiv : hep-th/0209048 , Дуальность и конформные искривленные границы в модели Изинга , Уве Гримм
^ arXiv : 0905.1924 , Двойственность и симметрия в киральной модели Поттса , Ши-шир Роан
^ Моррис, CM и др. «Двойственность и динамика доменных стенок в скрученной цепи Китаева». Физика природы 17.7 (2021): 832-836.

Внешние ссылки

Х.А. Крамерс и Г.Х. Ваннье (1941). «Статистика двумерного ферромагнетика». Физический обзор . 60 (3): 252–262. Бибкод : 1941PhRv...60..252K . дои : 10.1103/PhysRev.60.252 .
Ж. Б. Когут (1979). «Введение в калибровочную теорию решетки и спиновые системы». Обзоры современной физики . 51 (4): 659–713. Бибкод : 1979РвМП...51..659К . дои : 10.1103/RevModPhys.51.659 .

[1] Сомендра М. Бхаттачарджи и Авинаш Кхаре, Пятьдесят лет точного решения двумерной модели Изинга Онсагера (1995) , arXiv : cond-mat/9511003

[2] rXiv : cond-mat/9805301 , Самодвойственное свойство модели Поттса в одном измерении , Ф.Ю. Ву

[3] rXiv : hep-lat/0110063 , Оператор Дирака и модель Изинга на компактной двумерной случайной решетке , Л.Богач, З.Бурда, Ю.Юркевич, А.Кшивицкий, К.Петерсен, Б.Петерссон

[4] rXiv : hep-th/9703037 , Двойственность двумерной неоднородной модели Изинга на торе , А.И. Бугрий, В.Н. Шадура

[5] rXiv : cond-mat/0402420 , Самодуальность для связанных моделей Поттса на треугольной решетке , Жан-Франсуа Ришар, Йеспер Ликке Якобсен, Марко Пикко

[6] rXiv : solv-int/9902009 , Критическая модель Изинга в лабиринте , М. Бааке, У. Гримм , Р. Дж. Бакстер

[7] rXiv : hep-th/0209048 , Дуальность и конформные искривленные границы в модели Изинга , Уве Гримм

[8] rXiv : 0905.1924 , Двойственность и симметрия в киральной модели Поттса , Ши-шир Роан

[9] Моррис, CM и др. «Двойственность и динамика доменных стенок в скрученной цепи Китаева». Физика природы 17.7 (2021): 832-836.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]