Z N Модель

The $Z_{N}$ Модель (также известная как модель часов ) представляет собой упрощенную статистическую механическую модель вращения . Это обобщение модели Изинга . Хотя его можно определить на произвольном графе , он интегрируем только на одномерных и двумерных решетках , в некоторых частных случаях.

Определение

The $Z_{N}$ модель определяется путем присвоения значения вращения в каждом узле $r$ на графике, где спины принимают значения $s_{r}=\exp {\frac {2\pi iq}{N}}$, где $q\in \{0,1,\ldots ,N-1\}$. Таким образом, спины принимают значения в виде комплексных корней из единицы . Грубо говоря, мы можем представить себе спины, присвоенные каждому узлу $Z_{N}$ модель как указывающая на любой из $N$ равноотстоящие направления. Веса Больцмана для общего края $rr'$ являются:

$w\left(r,r'\right)=\sum _{k=0}^{N-1}x_{k}^{\left(rr'\right)}\left(s_{r}s_{r'}^{*}\right)^{k}$

где $*$ обозначает комплексное сопряжение , а $x_{k}^{\left(rr'\right)}$ связаны с силой взаимодействия вдоль края $rr'$. Обратите внимание, что $x_{k}^{\left(rr'\right)}=x_{N-k}^{\left(rr'\right)}$ и $x_{0}$ часто устанавливаются равными 1. (действительнозначные) веса Больцмана инвариантны относительно преобразований $s_{r}\rightarrow \omega ^{k}s_{r}$ и $s_{r}\rightarrow s_{r}^{*}$, аналогично вселенскому вращению и отражению соответственно.

Самодвойственное критическое решение

Существует класс решений $Z_{N}$ модель, определенная на анизотропной квадратной решетке. Если модель самодуальна в смысле Крамерса-Ваннье и, следовательно, критична , а решетка такова, что существует два возможных «веса» $x_{k}^{1}$ и $x_{k}^{2}$ для двух возможных ориентаций ребер мы можем ввести следующую параметризацию в $\alpha$:

$x_{n}^{1}=x_{n}\left(\alpha \right)$

$x_{n}^{2}=x_{n}\left(\pi -\alpha \right)$–

Требуя выполнения соотношения двойственности и отношения звезда–треугольник , обеспечивающего интегрируемость , можно найти решение:

$x_{n}\left(\alpha \right)=\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin \left(\pi k/N+\alpha /2N\right)}{\sin \left[\pi \left(k+1\right)/N-\alpha /2N\right]}}$

с $x_{0}=1$. Этот частный случай $Z_{N}$ Модель часто называют самостоятельно моделью ФЗ, по имени В. А. Фатеева и А. Б. Замолодчикова, впервые вычисливших это решение. Модель FZ приближается к модели XY в пределе как $N\rightarrow \infty$. Это также частный случай киральной модели Поттса и модели Кашивары – Мивы .

Решаемые частные случаи

Как и в случае большинства решетчатых моделей статистической механики , не существует известных точных решений. $Z_{N}$ модель в трех измерениях. Однако в двух измерениях она точно разрешима на квадратной решетке при определенных значениях $N$ и/или «веса» $x_{k}$. Пожалуй, самым известным примером является модель Изинга , которая допускает вращение в двух противоположных направлениях (т.е. $s_{r}=\pm 1$). Это именно то $Z_{N}$ модель для $N=2$, и, следовательно, $Z_{N}$ Модель можно рассматривать как обобщение модели Изинга . Другие точно решаемые модели, соответствующие частным случаям $Z_{N}$ с тремя состояниями Модель включает в себя модель Поттса , в которой $N=3$ и $x_{1}=x_{2}=x_{c}$, где $x_{c}$ – некоторая критическая величина (FZ), а критическая модель Аскина – Теллера, где $N=4$.

Квантовая версия

Квантовая версия ​ $Z_{N}$ Модель часов может быть построена аналогично модели Изинга с поперечным полем . Гамильтониан : этой модели имеет следующий вид

$H=-J(\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger }))$

Здесь индексы относятся к узлам решетки, а сумма $\sum _{\langle i,j\rangle }$ выполняется по парам ближайших соседних сайтов $i$ и $j$. Матрицы часов $X_{j}$ и $Z_{j}$ являются обобщениями матриц Паули, удовлетворяющими

$Z_{j}X_{k}=e^{{\frac {2\pi i}{N}}\delta _{j,k}}X_{k}Z_{j}$

и

$X_{j}^{N}=Z_{j}^{N}=1$

где $\delta _{j,k}$ равно 1, если $j$ и $k$ это один и тот же сайт и ноль в противном случае. $J$ является префактором с размерностями энергии, и $g$ - еще один коэффициент связи, определяющий относительную силу внешнего поля по сравнению с взаимодействием ближайших соседей.

Ссылки

• В. А. Фатеев и А. Б. Замолодчиков (1982); «Самодвойственные решения отношений звезда-треугольник в $Z_{N}$-модели», Physics Letters A , 92, стр. 37–39.
• М. А. Раджабпур и Дж. Карди (2007 г.); «Дискретно голоморфные парафермионы в решетке $Z_{N}$ модели» J. Phys. A 22 40, 14703–14714.