Модель квантовых часов

Модель квантовых часов представляет собой модель квантовой решетки. Это обобщение модели Изинга с поперечным полем . Он определен на решетке с $N$ говорится на каждом сайте. Гамильтониан есть этой модели

$H=-J\left(\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger })\right)$

Здесь индексы относятся к узлам решетки, а сумма $\sum _{\langle i,j\rangle }$ выполняется по парам ближайших соседних сайтов $i$ и $j$. Матрицы часов $X_{j}$ и $Z_{j}$ являются $N\times N$ обобщения матриц Паули, удовлетворяющие

$Z_{j}X_{k}=e^{{\frac {2\pi i}{N}}\delta _{j,k}}X_{k}Z_{j}$ и $X_{j}^{N}=Z_{j}^{N}=1$

где $\delta _{j,k}$ равно 1, если $j$ и $k$ это один и тот же сайт и ноль в противном случае. $J$ является префактором с размерностями энергии, и $g$ - еще один коэффициент связи, определяющий относительную силу внешнего поля по сравнению с взаимодействием ближайших соседей.

Модель подчиняется глобальному $\mathbb {Z} _{N}$ симметрия, порождаемая унитарным оператором $U_{X}=\prod _{j}X_{j}$ где произведение находится по каждому узлу решетки. Другими словами, $U_{X}$ коммутирует с гамильтонианом.

Когда $N=2$ модель квантовых часов идентична модели Изинга с поперечным полем. Когда $N=3$ Модель квантовых часов эквивалентна квантовой модели Поттса с тремя состояниями . Когда $N=4$, модель снова эквивалентна модели Изинга. Когда $N>4$были найдены убедительные доказательства того, что фазовые переходы, демонстрируемые в этих моделях, должны быть определенными обобщениями. перехода Костерлица –Таулесса , физическая природа которого до сих пор во многом неизвестна.

Одномерная модель

Существуют различные аналитические методы, которые можно использовать для изучения модели квантовых часов конкретно в одном измерении.

Двойственность Крамерса – Ванье

Нелокальное отображение матриц часов, известное как преобразование двойственности Крамерса – Ванье, можно выполнить следующим образом: $${\begin{aligned}{\tilde {X_{j}}}&=Z_{j}^{\dagger }Z_{j+1}\\{\tilde {Z}}_{j}^{\dagger }{\tilde {Z}}_{j+1}&=X_{j+1}\end{aligned}}$$ Тогда, в терминах вновь определенных матриц часов с тильдами, которые подчиняются тем же алгебраическим соотношениям, что и исходные матрицы часов, гамильтониан просто $H=-Jg\sum _{j}({\tilde {Z}}_{j}^{\dagger }{\tilde {Z}}_{j+1}+g^{-1}{\tilde {X}}_{j}^{\dagger }+{\textrm {h.c.}})$. Это указывает на то, что модель с параметром связи $g$ двойственна модели с параметром связи $g^{-1}$и устанавливает двойственность между упорядоченной фазой и неупорядоченной фазой.

Обратите внимание, что на границах одномерной цепи есть некоторые тонкие соображения; в результате этого происходит вырождение и $\mathbb {Z} _{N}$ свойства симметрии фаз изменяются в условиях двойственности Крамерса–Ваннье. Более тщательный анализ предполагает сопоставление теории с $\mathbb {Z} _{N}$ калибровочное поле; фиксация калибра воспроизводит результаты преобразования Крамерса-Ванье.

Фазовый переход

Для $N=2,3,4$, происходит уникальный фазовый переход из упорядоченной фазы в неупорядоченную фазу при $g=1$. Модель называется «самодуальной», потому что преобразование Крамерса – Ванье преобразует гамильтониан в самого себя. Для $N>4$, имеются две точки фазового перехода при $g_{1}<1$ и $g_{2}=1/g_{1}>1$. Были найдены убедительные доказательства того, что эти фазовые переходы должны быть классом обобщений. перехода Костерлица –Таулесса . Переход КТ предсказывает, что свободная энергия имеет существенную сингулярность, которая выглядит как $e^{-{\tfrac {c}{\sqrt {|g-g_{c}|}}}}$, в то время как пертурбативное исследование показало, что существенная сингулярность ведет себя как $e^{-{\tfrac {c}{|g-g_{c}|^{\sigma }}}}$ где $\sigma$ идет от $0.2$ к $0.5$ как $N$ увеличивается с $5$ к $9$. Физические изображения Причины этих фазовых переходов до сих пор не ясны.

Преобразование Джордана – Вигнера

Другое нелокальное отображение, известное как преобразование Джордана Вигнера, можно использовать для выражения теории в терминах парафермионов.