Функция линейного отклика

Функция линейного ответа описывает взаимосвязь ввода-вывода преобразователя сигнала , например, радио, превращающего электромагнитные волны в музыку, или нейрона, превращающего синаптический вход в ответ. Из-за его многочисленных приложений в теории информации , физике и технике существуют альтернативные названия для конкретных функций линейного отклика, таких как восприимчивость , импульсный отклик или импеданс ; см. также передаточную функцию . понятие функции Грина или фундаментального решения обыкновенного дифференциального уравнения С этим тесно связано .

Математическое определение

Обозначим вход системы через $h(t)$ (например, сила ), а реакция системы на $x(t)$ (например, должность). Как правило, значение $x(t)$ будет зависеть не только от текущей стоимости $h(t)$ , но и прошлых ценностей. Примерно $x(t)$ представляет собой взвешенную сумму предыдущих значений $h(t')$ , с весами, заданными функцией линейного отклика $\chi (t-t')$ : $x(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,\chi (t-t')h(t')+\cdots \,.$

Явный член в правой части является главным членом разложения Вольтерра для полного нелинейного ответа. Если рассматриваемая система сильно нелинейна, члены более высокого порядка в разложении, обозначенные точками, становятся важными, и преобразователь сигнала не может быть адекватно описан только с помощью его линейной функции отклика.

Комплексное преобразование Фурье ${\tilde {\chi }}(\omega )$ Функция линейного отклика очень полезна, поскольку она описывает выходной сигнал системы, если входной сигнал представляет собой синусоидальную волну. $h(t)=h_{0}\sin(\omega t)$ с частотой $\omega$ . Вывод читается

$x(t)=\left|{\tilde {\chi }}(\omega )\right|h_{0}\sin(\omega t+\arg {\tilde {\chi }}(\omega ))\,,$

с усилением амплитуды $|{\tilde {\chi }}(\omega )|$ и фазовый сдвиг $\arg {\tilde {\chi }}(\omega )$ .

Пример

Рассмотрим затухающий гармонический осциллятор с входным сигналом, заданным внешней движущей силой. $h(t)$ ,

${\ddot {x}}(t)+\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=h(t).$

Комплексное преобразование Фурье функции линейного отклика имеет вид

${\tilde {\chi }}(\omega )={\frac {{\tilde {x}}(\omega )}{{\tilde {h}}(\omega )}}={\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}+i\gamma \omega }}.$

Прирост амплитуды определяется величиной комплексного числа ${\tilde {\chi }}(\omega ),$ и фазовый сдвиг на арктан мнимой части функции, деленной на действительную.

Из этого представления мы видим, что для малых $\gamma$ преобразование Фурье ${\tilde {\chi }}(\omega )$ функции линейного отклика дает ярко выраженный максимум (« Резонанс ») на частоте $\omega \approx \omega _{0}$ . Функция линейного отклика гармонического генератора математически идентична функции RLC-цепи . Ширина максимальная, $\Delta \omega ,$ обычно намного меньше, чем $\omega _{0},$ так что добротность $Q:=\omega _{0}/\Delta \omega$ может быть чрезвычайно большим.

Формула куба

Изложение теории линейного отклика в контексте квантовой статистики можно найти в статье Рёго Кубо . ^[1] Это определяет, в частности, формулу Кубо , которая рассматривает общий случай, когда «сила» $h (t)$ является возмущением основного оператора системы, гамильтониана , ${\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')$ где ${\hat {B}}$ соответствует измеримой величине в качестве входных данных, тогда как выходной сигнал $x (t)$ представляет собой возмущение теплового ожидания другой измеримой величины ${\hat {A}}(t)$ . Формула Кубо затем определяет квантово-статистический расчет восприимчивости . $\chi (t-t')$ по общей формуле, включающей только указанные операторы.

Вследствие принципа причинности комплексная функция ${\tilde {\chi }}(\omega )$ имеет полюса только в нижней полуплоскости. Это приводит к соотношениям Крамерса-Кронига , которые связывают действительную и мнимую части ${\tilde {\chi }}(\omega )$ путем интеграции. Простейшим примером снова является затухающий гармонический генератор . ^[2]

См. также

Ссылки

^ Кубо, Р., Статистическая механическая теория необратимых процессов I , Журнал Физического общества Японии, том. 12 , стр. 570–586 (1957).
^ Де Клозо, Теория линейного отклика , в: Э. Антончик и др., Теория конденсированного состояния , МАГАТЭ, Вена, 1968.

Внешние ссылки

Функции линейного отклика в Еве Паварини, Эрике Кохе, Дитере Фоллхардте и Александре Лихтенштейне (ред.): DMFT в 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN 978-3-89336-953-9

[1] Кубо, Р., Статистическая механическая теория необратимых процессов I , Журнал Физического общества Японии, том. 12 , стр. 570–586 (1957).

[2] Де Клозо, Теория линейного отклика , в: Э. Антончик и др., Теория конденсированного состояния , МАГАТЭ, Вена, 1968.

[1]

[2]