Полулинейный отклик

Воздействие вызывает переходы между уровнями замкнутой системы, приводящие к диффузии в энергетическом пространстве и, следовательно, к соответствующему нагреву. Коэффициент диффузии можно рассчитать, используя аналогию с резисторной сетью.

Теория полулинейного отклика (SLRT) является расширением теории линейного отклика (LRT) для мезоскопических обстоятельств: LRT применяется, если вызванные переходы намного слабее/медленнее, чем эффект релаксации/дефазировки окружающей среды, в то время как SLRT предполагает противоположные условия. SLRT использует аналогию с резисторной сетью (см. иллюстрацию) для расчета скорости поглощения энергии: движение вызывает переходы между уровнями энергии, и связанные последовательности переходов необходимы для получения неисчезающего результата, как в теории просачивание.

Приложения

Первоначальной мотивацией для внедрения SLRT было исследование мезозопической проводимости. . Термин SLRT был придуман в где он был применен для расчета поглощения энергии металлическими зернами.Позднее теория была применена для анализа скорости нагрева атомов в вибрирующих ловушках..

Определение полулинейного отклика

Рассмотрим систему, управляемую источником $f(t)$ у которого естьспектр мощности ${\tilde {S}}(\omega )$. Последнее определяетсякак преобразование Фурье $\langle f(t)f(0)\rangle$.В теории линейного отклика (LRT) движущий источник вызывает устойчивое состояние.которое лишь незначительно отличается от равновесного состояния.В таких случаях ответ ( $G$) — линейный функционал спектра мощности:

$G=G[{\tilde {S}}(\omega )]=\int _{-\infty }^{\infty }\eta (\omega ){\tilde {S}}(\omega )\,d\omega$

В традиционном контексте LRT $G$ представляет собой скорость нагрева,и $\eta (\omega )$ можно определить как коэффициент поглощения.Всякий раз, когда такое отношение применяется

$[A]\ \ \ \ {\tilde {S}}(\omega )\mapsto \lambda {\tilde {S}}(\omega ){\text{ implies }}G\mapsto \lambda G$

$[B]\ \ \ \ {\tilde {S}}(\omega )\mapsto {\tilde {S}}_{1}(\omega )+{\tilde {S}}_{2}(\omega ){\text{ implies }}G\mapsto G_{1}+G_{2}$

Если воздействие очень сильное, реакция становится нелинейной, а это означает, что оба свойства [A] и [B] не выполняются. Но существует класс систем, реакция которых становится полулинейной, т.е. первое свойство [A] все еще сохраняется, но не [B].

Моделирование резисторной сети

SLRT применяется всякий раз, когда вождение достаточно сильное, когда релаксация до устойчивого состояния происходит медленно по сравнению с динамикой движения. Тем не менее, предполагается, что систему можно смоделировать как сеть резисторов, математически выраженную как $G=[[G_{nm}]]$.Обозначения $[[G_{nm}]]$ означает обычный электротехнический расчет двухполюсной проводимости данной резисторной сети. Например, параллельные соединения подразумевают $G=\sum _{nm}G_{nm}$, тогда как последовательные соединения подразумевают $G=\left[\sum _{nm}G_{nm}^{-1}\right]^{-1}$. Расчет резисторной сети явно полулинейный, поскольку он удовлетворяет $[[\lambda A]]=\lambda [[A]]$, но в целом $[[A+B]]\neq [[A]]+[[B]]$.

Картина золотого правила Ферми

В квантовомеханическом расчете поглощения энергии $G_{nm}$ представляют скорости перехода между уровнями энергии по золотому правилу Ферми. Если связаны только соседние уровни, подразумевается последовательное сложение.

$G=G[{\tilde {S}}(\omega )]=\left[\int _{-\infty }^{\infty }\mu (\omega ){\tilde {S}}(\omega )^{-1}\,d\omega \right]^{-1}$

которая является явно полулинейной. Результаты для разреженных сетей, которые встречаются при анализе слабохаотических систем,более интересны и могут быть получены с использованием схемы обобщенного перескока переменного диапазона (VRH).